走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学8-3

基础巩固强化一、选择题1．(文)圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能[答案]C[解析]∵直线2t(x－1)－(y＋2)＝0过圆心(1，－2)，∴直线与圆相交．[点评]直线方程中含参数t，故可由直线方程过定点来讨论，∵2t(x－1)－(y＋2)＝0，∴直线过定点(1，－2)，代入圆方程中，12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)－4＝－90，∴点(1，－2)在圆内，故直线与圆相交．(理)直线xsinθ＋ycosθ＝1＋cosθ与圆x2＋(y－1)2＝4的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能[答案]C[解析]圆心到直线的距离d＝|cosθ－1－cosθ|sin2θ＋cos2θ＝12，∴直线与圆相交．2．(文)(2013·山东省实验中学诊断)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于()A．33B．23C.3D．1[答案]B[解析]圆心到直线的距离d＝|－5|32＋42＝1，∵R2－d2＝(AB2)2，∴AB2＝4(R2－d2)＝4×(4－1)＝12，所以AB＝12＝23，选B.(理)若a、b、c是直角三角形的三边(c为斜边)，则圆x2＋y2＝2截直线ax＋by＋c＝0所得的弦长等于()A．1B．2C.3D．23[答案]B[解析]∵a、b、c是直角三角形的三条边(c为斜边)，∴a2＋b2＝c2.设圆心O到直线ax＋by＋c＝0的距离为d，则d＝|c|a2＋b2＝1，∴直线被圆所截得的弦长为222－12＝2.3．(文)(2013·广州一模)动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线段的中点的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1D．(x＋32)2＋y2＝12[答案]C[解析]设中点M(x，y)，则点A(2x－3,2y)，∵A在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，即(2x－3)2＋4y2＝1，故选C.(理)(2013·山东潍坊一中月考)在平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OC→＝λ1OA→＋λ2OB→(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是()A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线[答案]A[解析]设C(x，y)，因为OC→＝λ1OA→＋λ2OB→，所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即x＝3λ1－λ2，y＝λ1＋3λ2，解得λ2＝3y－x10，λ1＝y＋3x10，又λ1＋λ2＝1，所以y＋3x10＋3y－x10＝1，即x＋2y－5＝0，所以点C的轨迹为直线，故选A.4．(2013·山东理，9)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为()A．2x＋y－3＝0B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0D．4x＋y－3＝0[答案]A[解析]过点(3,1)与切点A、B的圆的直径为PC1，其中P(3,1)，C1(1,0)，∴圆心(2，12)半径r＝52，∴圆的方程为(x－2)2＋(y－12)2＝54，两圆的方程相减可得2x＋y－3＝0，即为直线AB的方程．[解法探究]原解析利用相交两圆公共弦所在直线方程的特性求解．求直线AB的方程一般解法是设AB：y＝k(x－3)＋1，由圆心(1,0)到AB距离等于圆的半径1，求出k＝0或43，再求出交点A、B坐标，求得AB方程，作为选择题，可用淘汰法求解，由切线的性质知，AB⊥PC1，其中P(3,1)，C1(1,0)，∴kAB＝－2，排除B、C、D，选A.5．若动圆C与圆C1：(x＋2)2＋y2＝1外切，与圆C2：(x－2)2＋y2＝4内切，则动圆C的圆心的轨迹是()A．两个椭圆B．一个椭圆及双曲线的一支C．两双曲线的各一支D．双曲线的一支[答案]D[解析]设动圆C的半径为r，圆心为C，依题意得|C1C|＝r＋1，|C2C|＝r－2，∴|C1C|－|C2C|＝3，故C点的轨迹为双曲线的一支．6．(文)若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为()A．2x＋y－3＝0B．x＋y－1＝0C．x－y－3＝0D．2x－y－5＝0[答案]C[解析]由题知圆心C的坐标为(1,0)，因为CP⊥AB，kCP＝－1，所以kAB＝1，所以直线AB的方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0，故选C.(理)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25，则圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为()A.56B.16C.13D.23[答案]B[解析]⊙C上的点到直线l：4x＋3y＝25的距离等于2的点，在直线l1：4x＋3y＝15上，圆心到l1的距离d＝3，圆半径r＝23，∴⊙C截l1的弦长为|AB|＝2r2－d2＝23，∴圆心角∠AOB＝π3，AB的长为⊙C周长的16，故选B.二、填空题7．已知A、B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________．[答案](x－1)2＋(y＋1)2＝9[解析]设圆心为M(x，y)，由|AB|＝6知，圆M的半径r＝3，则|MC|＝3，即x－12＋y＋12＝3，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝9.8．(2013·江苏南京一模)如果三角形三个顶点为O(0,0)，A(0,15)，B(－8,0)，那么它的内切圆方程是________．[答案](x＋3)2＋(y－3)2＝9[解析]易知△AOB是直角三角形，所以其内切圆半径r＝|OA|＋|OB|－|AB|2＝8＋15－172＝3.又圆心坐标为(－3,3)，故所求内切圆方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝9.9．(文)已知直线kx－y＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，若点M在圆C上，且有OM→＝OA→＋OB→(O为坐标原点)，则实数k＝________.[答案]0[解析]画图分析可知(图略)，当A，B，M均在圆上，平行四边形OAMB的对角线OM＝2，此时四边形OAMB为菱形，故问题等价于圆心(0,0)到直线kx－y＋1＝0的距离为1.所以d＝1k2＋1＝1，解得k＝0.(理)若在区间(－1,1)内任取实数a，在区间(0,1)内任取实数b，则直线ax－by＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交的概率为________．[答案]516[解析]由题意知，圆心C(1,2)到直线ax－by＝0距离d1，∴|a－2b|a2＋b21，化简得3b－4a0，如图，满足直线与圆相交的点(a，b)落在图中阴影部分，E34，1，∵S矩形ABCD＝2，S梯形OABE＝14＋1×12＝58，由几何概型知，所求概率P＝582＝516.三、解答题10．(文)已知圆C：x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线l：x＋2y－3＝0.(1)若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．[解析](1)将圆的方程配方，得(x＋12)2＋(y－3)2＝37－4m4，故有37－4m40，解得m374.将直线l的方程与圆C的方程组成方程组，得x＋2y－3＝0，x2＋y2＋x－6y＋4m＝0，消去y，得x2＋(3－x2)2＋x－6×3－x2＋m＝0，整理，得5x2＋10x＋4m－27＝0，①∵直线l与圆C没有公共点，∴方程①无解，∴Δ＝102－4×5(4m－27)0，解得m8.∴m的取值范围是(8，374)．(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由OP⊥OQ，得OP→·OQ→＝0，由x1x2＋y1y2＝0，②由(1)及根与系数的关系得，x1＋x2＝－2，x1·x2＝4m－275③又∵P、Q在直线x＋2y－3＝0上，∴y1·y2＝3－x12·3－x22＝14[9－3(x1＋x2)＋x1·x2]，将③代入上式，得y1·y2＝m＋125，④将③④代入②得x1·x2＋y1·y2＝4m－275＋m＋125＝0，解得m＝3，代入方程①检验得Δ0成立，∴m＝3.[点评]求直线l与⊙C没有公共点时，用圆心到直线距离d大于半径R更简便．(理)已知圆C的一条直径的端点分别是M(－2,0)，N(0,2)．(1)求圆C的方程；(2)过点P(1，－1)作圆C的两条切线，切点分别是A、B，求PA→·PB→的值．[解析](1)依题意可知圆心C的坐标为(－1,1)，圆C的半径为2，∴圆C的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2.(2)PC＝22＋22＝22＝2AC.∴在Rt△PAC中，∠APC＝30°，PA＝6，可知∠APB＝2∠APC＝60°，PB＝6，∴PA→·PB→＝6·6cos60°＝3.能力拓展提升一、选择题11．(文)(2013·福建龙岩质检)直线x＋3y－23＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，则OA→·OB→＝()A．4B．3C．2D．－2[答案]C[解析]由x＋3y－23＝0，x2＋y2＝4消去y得：x2－3x＝0，解得x＝0或x＝3.设A(0,2)，B(3，1)，∴OA→·OB→＝2，选C.(理)(2013·长春调研)已知直线x＋y－k＝0(k0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|OA→＋OB→|≥33|AB→|，那么k的取值范围是()A．(3，＋∞)B．[2，＋∞)C．[2，22)D．[3，22)[答案]C[解析]当|OA→＋OB→|＝33|AB→|时，∵O，A，B三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA＝OB，∴|OD→|＝33|BD→|，∴∠OBD＝30°，∠AOB＝120°，从而圆心O到直线x＋y－k＝0(k0)的距离为1，此时k＝2；当k2时，|OA→＋OB→|33|AB→|，又直线与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，故k22，综上，k的取值范围为[2，22)．12．(2013·安徽名校联考)已知圆C：x2＋(y＋1)2＝4，过点M(－1，－1)的直线l交圆C于点A，B，当∠ACB最小时，直线l的倾斜角为()A.π6B.π4C.π3D.π2[答案]D[解析]由题意得，点M在圆内，圆心角∠ACB最小时，所对劣弧最小，从而弦AB也最小．易知当直线AB⊥CM时，弦AB最小，又直线CM∥x轴，故直线AB∥y轴，此时直线的倾斜角为π2.13．(文)(2013·江西理，9)过点C(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A.33B．－33C．±33D．－3[答案]B[分析]y＝1－x2表示上半圆C：x2＋y2＝1(y≥0)，当直线l与C交于A、B两点时，∠AOB∈(0，π)，从而S△AOB＝12OA·OBsin∠AOB＝12sin∠AOB≤12，等号成立时∠AOB＝π2，据此可求出O到l的距离，进而得出l的斜率．[解析]由于y＝1－x2与l交于A、B两点，∴OA＝OB＝1，∴S△AOB＝12OA·OBsin∠AOB≤12，且当∠AOB＝π2时，S△AOB取到最大值，此时AB＝2，点O到直线l的距离d＝22，∴∠OCB＝π6，∴直线l的斜率k＝tan(π－π6)＝－33，故选B.(理)(2013·重庆理，7)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．52－4B.17－1C．6－22D.17[答案]A[解析]依题意，⊙C1关于x轴的对称圆为⊙C′，圆心C′为(2，－3)，半径为1，⊙C2的圆心为(3,4)，半径为3，则(|PC′|＋|PC2|)min＝|C′C2|＝52，|PM|≥|PC1|－1，|PN|≥|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4＝|PC′|＋|PC2|－4，所以(|PM|