选修2—1第二章§2.2.2椭圆及其简单几何性质

1、1高二数学选修2—1第二章§2.2.2椭圆及其简单几何性质(1)（2014/11/19）班级姓名学习目标1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．学习过程二、新课导学椭圆方程：22221(0)xyabab1.图形：2.范围：x：y：3.对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；4.顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；5.离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比ca称为离心率，记cea，且01e．(e大则扁，e小则圆)练习1：求椭圆221169xy的以下几何性质：图形：（1）范围：x的取值范围：y的取值范围：（2）对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；（3）顶点：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；长轴长为；短轴长为；（4）离心率：e=．反思：ba或cb的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？练习2：求椭圆22981xy的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．解：（1）长轴长为；短轴长为；（2）离心率：e=．（3）焦点坐标：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

2、＿；（4）顶点：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；※典型例题例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程（1）长轴长是短轴长的2倍且经过点A（2,0）；（2）短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3.变式1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x轴上，6a，13e；⑵焦点在y轴上，3c，35e；⑶经过点(3,0)P，(0,2)Q；⑷长轴长等到于20，离心率等于35．例2、点(,)Mxy与定点(4,0)F的距离和它到直线25:4lx的距离的比是常数45，求点M的轨迹．小结：椭圆第二定义：平面内到定点的距离与到定直线的距离的比为常数(小于1)的点的轨迹是椭圆．例3、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A.54B.53C.52D.51变式2、B为椭圆222210xyabab的上顶点CA,为椭圆的焦点，若90ABC，则该椭圆的离心率为（）A.251B.221C.12D.222三、总结提升※学习小结1．椭圆的几何性质：图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；2．理解椭。

3、圆的离心率．课后作业一、基础训练题1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于()A.13B.33C.12D.322．一个顶点的坐标为(0,2)，焦距的一半为3的椭圆的标准方程为()A.x24＋y29＝1B.x29＋y24＝1C.x24＋y213＝1D.x213＋y24＝13．椭圆x225＋y29＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是()A．8,2B．5,4C．9,1D．5,14．椭圆x225＋y29＝1与x29－k＋y225－k＝1(0＜k＜9)的关系为()A．有相等的长、短轴B．有相等的焦距C．有相同的焦点D．有相同的顶点5．已知F1、F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e＝32，则椭圆的方程是()A.x24＋y23＝1B.x216＋y24＝1C.x216＋y212＝1D.x216＋y23＝16．若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()A.x281＋y272＝1B.x281＋y29＝1C.x281＋y245＝1D.x281＋y23。

4、6＝17．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为()A.12B.32C.34D.648．离心率e＝12，一个焦点是F(0，－3)的椭圆标准方程为__________．9．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．10．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．11．求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆过(3,0)，离心率e＝63；(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.二、提高训练题12．过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()A.22B.33C.12D.1313．已知椭圆x25＋y2m＝1的离心率e＝105，则m的值为________．14．设P(x，y)是椭圆x225＋y216＝1上的点且P的纵坐标y≠0，点A(－5,0)、B(5,0)，试判断kPA·kPB是否为定值？若是定值，。

5、求出该定值；若不是定值，请说明理由．3选修2—1第二章§2.2.2椭圆及其简单几何性质(1)参考答案1、解析：由题意知，2a＝4b，又b2＝a2－c2，得到4c2＝3a2，e2＝34，e＝32.答案：D2、解析：由椭圆中a＞b，a＞c＝3，且一个顶点坐标为(0,2)知b＝2，b2＝4，且椭圆焦点在x轴上，a2＝b2＋c2＝13.故所求椭圆的标准方程为x213＋y24＝1.故选D.答案：D3、解析：因为a＝5，c＝4，所以最大距离为a＋c＝9，最小距离为a－c＝1.答案：C4、解析：a2－b2＝(25－k)－(9－k)＝25－9＝16＝c2，∴c1、c2相等．答案：B5、解析：由题意知4a＝16，即a＝4，又∵e＝32，∴c＝23，∴b2＝a2－c2＝16－12＝4，∴椭圆的标准方程为x216＋y24＝1.答案：B6、解析：由已知得a＝9,2c＝13·2a，于是c＝13a＝3.又∵焦点在x轴上，∴椭圆方程为x281＋y272＝1.答案：A7、解析：依题意，△BF1F2是正三角形，∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，∴acos60°＝c，∴ca＝12，。

6、即椭圆的离心率e＝12，故选A.答案：A8、解析：依题意ca＝12，c＝3，所以a＝6，b＝27，焦点在y轴上，所以椭圆标准方程为y236＋x227＝1.答案：y236＋x227＝19、解析：依题意，得b＝3，a－c＝1.又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，∴椭圆的离心率为e＝ca＝45.答案：4510、解析：依题意设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，∴2a＝12，即a＝6.∵椭圆的离心率为32，∴a2－b2a＝32，∴36－b26＝32，∴b2＝9，∴椭圆G的方程为x236＋y29＝1.答案：x236＋y29＝111、解：(1)若焦点在x轴上，则a＝3，∵e＝ca＝63，∴c＝6，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴椭圆的方程为x29＋y23＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，∵e＝ca＝1－b2a2＝1－9a2＝63，解得a2＝27.∴椭圆的方程为y227＋x29＝1.综上，所求椭圆的方程为x29＋y23＝1或y227＋x29＝1.(2)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜。

7、边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，故所求椭圆的方程为x232＋y216＝1.12、解析：法一：将x＝－c代入椭圆方程可解得点P(－c，±b2a)，故|PF1|＝b2a，又在Rt△F1PF2中∠F1PF2＝60°，所以|PF2|＝2b2a，根据椭圆定义得3b2a＝2a，从而可得e＝ca＝33.法二：设|F1F2|＝2c，则在Rt△F1PF2中，|PF1|＝233c，|PF2|＝433c.所以|PF1|＋|PF2|＝23c＝2a，离心率e＝ca＝33.答案：B13、解析：若m＜5，则5－m5＝105，∴m＝3.若m＞5，则m－5m＝105，∴m＝253.答案：3或25314、解析：因为点P的纵坐标y≠0，所以x≠±5.设P(x，y)．所以kPA＝yx＋5，kPB＝yx－5.所以kPA·kPB＝yx＋5·yx－5＝y2x2－25.因为点P在椭圆x225＋y216＝1上，所以y2＝16×1－x225＝16×25－x225.把y2＝16×25－x225代入kPA·kPB＝y2x2－25，得kPA·kPB＝16×25－x22。

8、5x2－25＝－1625.所以kPA·kPB为定值，这个定值是－1625.。