通信原理(陈启兴版)第8章课后习题答案

第8章最佳接收机8.1学习指导8.1.1要点最佳接收机的要点主要包括数字信号的统计特性、数字信号的最佳接收和确知信号的最佳接收。1.数字信号的统计特性假设通信系统中的噪声是均值为0的高斯白噪声，其单边功率谱密度为n0，发送的二进制码元为“0”和“1”，其发送概率分别为P(0)和P(1)，显然，P(0)+P(1)=1。如果通信系统的基带截止频率小于fH，则根据低通信号抽样定理，接收噪声电压可以用其抽样值表示，抽样速率要求不小于其奈奎斯特速率2fH。设在一个码元持续时间Ts内以2fH的速率抽样，共得到k个抽样值，即k＝2fHTs。由于每个噪声电压抽样值ni都是正态分布的随机变量，k维联合概率密度函数又可以表示为s200n11()exp()d(8-1)2πTkfnttnn其中，n=(n1,n2,…,nk)是k维矢量，表示一个码元内噪声的k个抽样值。码元持续时间Ts、噪声单边功率谱密度n0和抽样数k给定后，f(n)仅决定于该码元期间内噪声的能量s20()dTntt。由于噪声的随机性，每个码元持续时间内噪声的波形和能量都是不同的，这就使被传输的码元中有一些会发生误码。设接收电压r(t)为信号电压s(t)和噪声电压n(t)之和，即r(t)=s(t)+n(t)。在发送码元确定之后，接收电压r(t)的随机性将完全由噪声决定，故它仍服从高斯分布，其方差仍为n2，但是均值变为s(t)。所以，当发送码元“0”的信号波形为s0(t)时，接收电压r(t)的k维联合概率密度函数为s20000n11()exp()()d(8-2)2πTkfrtsttnr其中，r=s+n是k维矢量，表示一个码元内接收电压的k个抽样值；s是k维矢量，表示一个码元内信号电压的k个抽样值。同理，当发送码元“1”的信号波形为s1(t)时，接收电压r(t)的k维联合概率密度函数为s21100n11()exp()()d(8-3)2πTkfrtsttnr2.数字信号的最佳接收在数字通信系统中，传输质量的主要技术指标是误码率。因此，可以将误码率最小作为数字信号接收的最佳准则。设在一个二进制通信系统中发送码元“1”的概率为P(1)，发送码元“0”的概率为P(0)，则总误码率Pe等于e(1)(0/1)(0)(1/0)(8-4)PPPPP其中，P(0/1)和P(1/0)分别是发送符号“1”时错判为“0”、发送符号“0”时错判为“1”的条件概率或转移概率。接收端收到的每个码元持续时间内的电压可以用一个k维矢量表示，接收机对每个接收矢量作判决，判定它是发送码元“1”，还是“0”。判决接收矢量的两个联合概率密度函数分别为f0(r)和f1(r)。总的误码率为00'e10'(1)(0/1)(0)(1/0)(1)()d(0)()d(8-5)rrPPPPPPfrrPfrr决准则可以表示为：若01()(1)(0)()fPPfrr，则判为“0”；反之，若01()(1)(0)()fPPfrr，则判为“1”。如果发送“0”和发送“1”的先验概率相等时，上述判决准则还可以简化为：若f0(r)f1(r)，则判为符号“0”；反之，若f0(r)f1(r)，则判为符号“1”。这个判决准则常称为最大似然准则。3.确知数字信号的最佳接收机确知信号是指其取值在任何时间都是可以预知的信号。在理想的恒参信道中传输数字信号时，接收到的信号可以被认为是确知信号。以二进制数字通信系统为例，介绍确知数字信号的最佳接收机。接收到的两种波形s1(t)和s0(t)是确知的，设它们的持续时间为Ts，且功率相同，高斯白噪声的平均功率和单边功率谱密度分别为σ2和n0。当发送码元为“0”时，波形为s0(t)；当发送码元为“1”时，波形为s1(t)。如果ss2210000011(1)exp()()d(0)exp()()d(8-6)TTPrtsttPrtsttnn则判决接收到的波形为s0(t)，发送符号为“0”；如果ss2210000011(1)exp()()d(0)exp()()d(8-7)TTPrtsttPrtsttnn则判决接收到的波形为s1(t)，发送符号为“1”。将上两式的两端分别取对数，判决准则可以表示为：如果ss22010000ln(1)()()dln(0)()()d(8-8)TTnPrtsttnPrtstt则判决接收到的波形为s0(t)，发送符号为“0”；如果ss22010000ln(1)()()dln(0)()()d(8-9)TTnPrtsttnPrtstt则判决接收到的波形为s1(t)，发送符号为“1”。由于事先假设了两种符号的功率相等，即ss220100()d()dTTsttstt判决准则可以进一步简化为：如果ss0100011ln(1)()()dln(0)()()d(8-10)22TTonPrtsttnPrtstt则判决接收到的波形为s0(t)，发送符号为“0”；如果ss0100011ln(1)()()dln(0)()()d(8-11)22TTonPrtsttnPrtstt则判决接收到的波形为s1(t)，发送符号为“1”。8.1.2难点最佳接收机的难点主要包括确知数字信号的最佳接收机的误码率和数字通信系统的匹配滤波接收法。1.确知数字信号的最佳接收机的误码率以二进制数字通信系统为例，介绍确知数字信号的最佳接收机的误码率。接收到的两种波形分别是s1(t)和s0(t)，设它们的持续时间为Ts，且功率相同，高斯白噪声的平均功率和单边功率谱密度分别为σ2和n0。由式(8-7)可知，在求总误码率之前，需要计算出错误转移概率P(0/1)和P(1/0)。概率P(1/0)就是使不等式(8-9)成立的概率，即ss22010000ln(1)()()dln(0)()()dTTnPrtsttnPrtstt把r(t)=s0(t)+n(t)带入上式，可得ss22001000ln(1)()()()dln(0)()dTTnPststnttnPntt化简为ss2001010(1)1()()()d()()d2(0)2TTonPntststtststtP上不等式的右边仅与先验概率P(0)和P(1)、确知信号s1(t)和s0(t)、噪声的单边功率谱密度n0有关，左边与噪声电压n(t)有关的随机过程。如果用一个随机过程ξ代表上不等式的左边，用参数a代表上不等式的右边，则上不等式可以表示为ξa其中，ss0102001()()()d(1)1()()d2(0)2TTontststtnPaststtP由于噪声电压n(t)是一个高斯平稳过程，它经过积分运算后，仍然为高斯平稳过程。随机过程ξ的数学期望和方差分别为ssξ010010()()()d()()()d0(8-12)TTaEEntststtEntststtssss22ξ010100010100()()()(')(')(')dd'()(')()()(')(')dd'TTTTDEEntststntststttEntntststststtt上式中，E[n(t)n(t’)]是噪声电压n(t)的自相关函数，即0n()(')()()2nEntntR随机过程ξ的方差又可以表示为s220ξ010()()d(8-13)2Tnststt高斯随机过程ξ在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，其一维概率密度为2ξ2ξξ1()exp22πaf因此，不等式ξa成立的概率为2aξ2-ξξ22ξξ1()()dexpd22π1expd22πaaaPaf所以，概率P(1/0)可以表示为22ξξ1(1/0)()expd(8-14)22πaPPa其中，s2001(1)1()()d2(0)2TonPaststtPs220ξ010()()d2Tnststt同理，概率P(0/1)可以表示为22ξξ1(0/1)()expd(8-15)22πbPPb其中，s20010(0)1()()d2(1)2TnPbststtP总的误码率为2222ξξe22ξξ(1)(0/1)(0)(1/0)11(1)ed(0)ed(8-16)2π2πbaPPPPPPP下面，就先验概率相等的情况，讨论两种接收波形s0(t)和s1(t)对误码率的影响。它们的相关系数可以表示为ssss01010022010100()()()()d(8-17)()()TTTTststdtststtEEstdtstdt其中，接收信号的码元能量s2000()dTEstt，s2110()dTEstt。显然，当s0(t)=s1(t)时，＝1，为最大值；当s0(t)=-s1(t)时，＝－1，为最小值。所以，的取值范围在-1+1。当接收信号的两码元能量相等时，令E0=E1=Eb，则相关系数可以表示为s010b()()d(8-18)TststtE参数α可以表示为ss2010220011b01[()()]d21[()2()()()]d(1)(8-19)2TTststtststststtE误码率可以表示为222222bξξξb(1)222e(1)ξξξ111ededed(8-20)2π2π2πEEP令ξ2x，则222ξ2x，ξdd2x，误码率又可以表示为22bξbξ22bξ2bξeξ(1)/2(1)/2ξ0(1)/20(1)/2b0ξ11e2ded2ππ1ededπ(1)1π1ed1erf(8-21)22π2xxEExxEExPxxxxEx其中，误差函数202erf()dπaxaex。由于s220ξ100b0()[()()]d(1)2TnDststtnE误码率又可以表示为bbe00(1)(1)111erferfc(8-22)2222EEPnn其中互补误差函数erfc(x)=1-erf(x)。上式是一个先验概率相等情况下计算误码率的理论公式。实际通信系统中得到的误码率只可能比它差，不可能优于它。当＝1时，Pe=0.5，此时误码率最大；当＝-1时，Pe=0.5erfc[(Eb/n0)0.5]，此时误码率最小；当＝0时，Pe=0.5erfc[(0.5Eb/n0)0.5]。对于2PSK信号，相关系数＝-1；对于2FSK信号，等于或近似等于0；对于2ASK信号，相关系数不确定，计算误码率时，需要首先计算参数αss222011b00111[()()]d=()d222TTststtsttE再计算误码率2222bξξ122b2e0ξξ111edderfc242π2πEEPen2.数字通信系统的匹配滤波接收法用线性滤波器对接收信号滤波，使抽样时刻上输出信号的信噪比最大，此线性滤波器被称为匹配滤波器。假设线性接收滤波器的传输函数为H(f)，冲激响应为h(t)，滤波器输入信号为s(t