积分变换第5讲ppt-工程数学第20讲

1积分变换第5讲本文件可从网址上下载(单击ppt讲义后选择'工程数学2'子目录)2拉普拉斯变换3对于一个函数j(t),有可能因为不满足傅氏变换的条件,因而不存在傅氏变换.因此,首先将j(t)乘上u(t),这样t小于零的部分的函数值就都等于0了.而大家知道在各种函数中,指数函数ebt(b0)的上升速度是最快的了,因而e-bt下降的速度也是最快的.因此,几乎所有的实用函数j(t)乘上u(t)再乘上e-bt后得到的j(t)u(t)e-bt傅氏变换都存在4tf(t)Otf(t)u(t)e-btO5对函数j(t)u(t)e-bt(b0)取傅氏变换,可得-------000)j(jde)()(j)()()()(,jde)(de)(dee)()()(ttfsFsGsFtuttfsttfttfttutGststttt则得若再设其中bjbjbbbb6定义设函数f(t)当t0时有定义,而且积分)(de)(0是一个复参量sttfst-)1.2(de)()(0-ttfsFst在s的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为称此式为函数f(t)的拉普拉斯变换式(简称拉氏变换式),记为F(s)=L[f(t)]F(s)称为f(t)的拉氏变换(或称为象函数).而f(t)称为F(s)的拉氏逆变换(或象原函数)记为f(t)=L-1[F(s)]也可记为f(t)F(s).7例1求单位阶跃函数的拉氏变换0100)(tttu-0de)]([ttustL根据拉氏变换的定义,有这个积分在Re(s)0时收敛,而且有).0)(Re(1)]([10e1de0---sstusstststL所以8例2求指数函数f(t)=ekt的拉氏变换(k为实数).根据(2.1)式,有---0)(0dedee)]([tttftksstktL).)(Re(1][e1e1de0)(0)(kskskskstkttkstks-------L所以这个积分在Re(s)k时收敛,而且有其实k为复数时上式也成立,只是收敛区间为Re(s)Re(k)9拉氏变换的存在定理若函数f(t)满足:1,在t0的任一有限区间上分段连续2,当t时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数M0及c0,使得|f(t)|Mect,0t则f(t)的拉氏变换-0de)()(ttfsFst在半平面Re(s)c上一定存在,右端的积分在Re(s)c1c上绝对收敛而且一致收敛,并且在Re(s)c的半平面内,F(s)为解析函数.10MMectf(t)tO11证由条件2可知,对于任何t值(0t),有|f(t)e-st|=|f(t)|e-btMe-(b-c)t,Re(s)=b,若令b-ce0(即bc+e=c1c),则|f(t)e-st|Me-et.所以eeeMtMttftt--00dede)(根据含参量广义积分的性质可知,在Re(s)c1c上拉氏变换的积分不仅绝对收敛而且一致收敛.12在(2.1)式的积分号内对s求导,则200)(00dede)(ddee|e)(|de)(de)(ddeeebMtMtttfsMtMtttftttfttfststttcststst----------所以而由此可见,上式右端的积分在半平面Re(s)c1c内也是绝对收敛且一致收敛,从而微分与积分可以交换13因此得)]([de)(d]e)([ddde)(dd)(dd000ttftttfttfsttfssFsststst-----L这就表明,F(s)在Re(s)c内是可微的.根据复变函数的解析函数理论可知,F(s)在Re(s)c内是解析的.14例3求f(t)=sinkt(k为实数)的拉氏变换220)j(0)j(0)j(0)j(0jj0j1j12jj1j12jdede2jde)e(ej21desin][sinkskksksekseksttttktkttkstkstkstksstktktst--------------------L15同理可得220)j(0)j(0)j(0)j(0jj0j1j121j1j121dede21de)e(e21decos][coskssksksekseksttttktkttkstkstkstksstktktst-------------L16G-函数(gamma函数)简介,在工程中经常应用的G-函数定义为--mttmΓmt0,de)(01!)1(1ede)1()(dedeedede)1(00010000mmmtmmtmttttttmttmtmttmtmmt-----------GGGG为正整数因此如而且利用分部积分公式可证明17例4求幂函数f(t)=tm(常数m-1)的拉氏变换.-0de][tttstmmL22,de1dedej0100----resuussusuttsRummsRumRstm再设为求此积分,若令st=u,s为右半平面内任一复数,则得到复数的积分变量u.因此,可先考虑积分18积分路线是OB直线段,B对应着sR=rRcos+jrRsin,A对应着rRcos,取一很小正数e,则C对应se=recos+jresin,D对应recos.考察R,e的情况.aODCAt(实轴)虚轴Bv19根据柯西积分定理,有-----------0101111010coscos111de1de1de1de1)1(de1de1de101de1uusuusuusuussmttsuusuussuusummRsRsummCBummBCummmtmmRrRrummDAummCDBCABDAmDABCDummeeeeG20-----|sin|0cos1sin0)jcos(1sinjcoscos1sinjcoscos11d|)jcos(e|||1d)jcos(ejde1jdd,jcosde1de1rRmrRmrRmvrRmrRrRrRummrRrRrRummABummvvrRsvvrRsuusvuvrRuuusuus令21----ABRRmmrRmmmrRmrRmrRmrRmrRmrRsrRsrRvrRvvvRrsvvrRs00dsec)cos(e||1dsec)cos(e||1dseccosd,tancosd)cos(e||1d|)jcos(e|||1||021cos1||021cos12|sin|022222cos1|sin|0cos1即上式令aaaaaaa22同理-----CDmmrmrrrummDCummCDummrsuusuusuus00dsec)cos(e||1de1de1de100||021cos1sinjcoscos111eeeeeeaae即23)0)(Re(!][,)0)(Re()1(][)1(de1de10de1de111101010101-----ssmtmssmtsmttsuusuusttsmmmmmtmmummummtmmLL为正整数时当即故GG24例5求周期性三角波-btbtbbtttf220)(且f(t+2b)=f(t)的拉氏变换bOb2b3b4btf(t)25---------bskbsbkbsbkkbstkbkkbstbkkbstbbstbststfkbfttfkbtttfttfttfttfttftf20220)2()1(220)1(22)1(2242200de)(ede)2(de)(,2de)(de)(de)(de)(de)()]([则令L2622222220202020)e1(1eee112e10e1eede12)2(de101de)2(1de1de)2(dede)(bssbsbsbststsbsbbbststbststbbstbstbbstbstbstssbbsbssbsbtsbbestbtsbtestbststtbttttf-----------------------------272tanh1e1e111)e1(e11de)(e11)]([e11e,0)Re(de)(e)]([222222022020202bssssttftfsttftfbsbsbsbsbstbsbskkbskbstkbs---------------LL则时当28满足拉氏变换存在定理条件的函数f(t)在t=0处有界时,积分-0de)()]([ttftfstL中的下限取0+或0-不会影响其结果.但如果f(t)在t=0处包含脉冲函数时,就必须明确指出是0+还是0-,因为)]([de)(de)()]([de)()]([0000tfttfttftfttftfststst------LLL29当f(t)在t=0处有界时,则当f(t)在t=0处包含了脉冲函数时,则)]([)]([,0de)(00tftfttfst---LL即)]([)]([,0de)(00tftfttfst---LL即30为了考虑这一情况,需将进行拉氏变换的函数f(t),当t0时有定义扩大为当t0及t=0的任意一个邻域内有定义.这样,原来的拉氏变换的定义但为了书写方便起见,仍写成(2.1)式的形式.----00de)()]([)1.2(de)()]([ttftfttftfststLL应为31例6求单位脉冲函数d(t)的拉氏变换.1ede)(de)()]([000----tstststtttttdddL32例7求函数f(t)=e-btd(t)-be-btu(t)(b0)的拉氏变换.bbbbbbdbdbbbbbb-----------sssstttttutttftftsttststsstttst10eedede)(de)](e)([ede)()]([)(0)(0)(0)(00L33在今后的实际工作中,我们并不要求用广义积分的方法来求函数的拉氏变换,有现成的拉氏变换表可查,就如同使用三角函数表,对数表及积分表一样.本书已将工程实际中常遇到的一些函数及其拉氏变换列于附录II中,以备查询.34例8求sin2tsin3t的拉氏变换)1)(25(1212252415j1j1j15j141]3sin2[sin)eee(e41)e)(ee(e413sin2sin22225jjj5j3j3j2j2j--------------sssssssssssttttttttttttL35作业习题一第58页第1题36请提问