直线与圆锥曲线自家用稿(弦长公式与中点弦)

2.5直线与圆锥曲线岫岩三高中王媛媛设而不求：弦长公式与中点弦一、复习提问：斜率k纵截距b斜率k点00(,)xy11(,)Axy22(,)Bxy(,0),(0,)ab与坐标轴交点ykxb条件直线方程1、直线方程的几种形式：00()yykxx1xyab121121yyyyxxxx12xx2、圆锥曲线的图象与方程：曲线图象方程圆椭圆双曲线抛物线(,)ab圆心r半径222()()xaybr22221xyab0ab22221xyab0,0ab22ypx0p把直线方程代入圆锥曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程计算判别式0=00相交2相切1相离0双曲线，直线与渐近线平行抛物线，直线与对称轴平行或重合相交1相交1二、新课讲授：题型二：直线与圆锥曲线弦长问题例1.已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点F2，与椭圆交于A，B两点，求弦长AB的长及AB中点的坐标。224520xyABxyO方法一：求A，B两点坐标，利用两点间距离公式；方法二：利用韦达定理；2121221||11ABkxxyyk*方法四：弦长公式。*方法三：焦半径公式；弦：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径。直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；通径：=设直线与圆锥曲线相交于两点，则弦AB长0AxByC(,)0fxy1122(,),(,)AxyBxyAB2212121()4kxxxx2121kxx21212211()4yyyyk12211yykAB（设而不求）2214112xyyxmm：，（）（）练习已知椭圆及直线当直线与椭圆有公共点时，求的范围；求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程。xyO121(1)yxm解：将代入椭圆01)(422mxx012522mmxx0)1(20422mm2525m点时，直线与椭圆有公共所以当2525m因为直线和椭圆有公共点即△=20-16m2≥0题型二：弦长公式xyO121AB(2)yxm解：将代入椭圆012522mmxx由弦长公式得：||AB245522m5102||0maxABm时，当xy此时，直线方程为则x1＋x2＝－2m5，x1x2＝m2－15.222211()4(1)5mm22420(1)25mm2214112xyyxmm：，（）（）练习已知椭圆及直线当直线与椭圆有公共点时，求的范围；求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程。题型二：弦长公式练习2：已知斜率为2的直线与抛物线相交于A、B两点，若，求直线的方程；24yxll5AB711,5PB作业：1122:2,(,)(,)lyxbAxyBxy解：设直线点11(,)xyA22(,)Bxy224yxbyx，代入得224(44)0xbxb1221214xxbbxx22212(1)5ABbb2b解，得：22yx所以直线方程为：702PA自主探究：(2010·新课标全国)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值．解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组解：(2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝1－b2.y＝x＋c，x2＋y2b2＝1.化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.则x1＋x2＝－2c1＋b2，x1x2＝1－2b21＋b2.因为直线AB的斜率为1，由弦长公式得|AB|＝2(x1＋x2)2－4x1x2＝43即89＝(x1＋x2)2－4x1x2＝41－b21＋b22－41－2b21＋b2＝8b41＋b22，解得b＝22..036)42(4)21(16)41(222kxkkxk4)41(2)21(1620221kkkxxxM.21k解得，得由1936)4(222yxxky.AxyOMB2(4)ykx由题意知直线斜率存在，设解法1：082)4(212:yxxy即所以所求直线方程为2．已知椭圆x236＋y29＝1的弦AB被点M(4,2)平分，求弦AB所在的直线的方程.题型三：中点弦，点差法701PA习题2－5.AxyOMB1122()()AxyBxy设，，，，解法2：09))((36))((]2[]1[21212121yyyyxxxx得：由21212121369yyxxxxyy即.212241MMAByxk221122221[1]3691[2]369xyxy082)4(212:yxxy即所以所求直线方程为点差法2．已知椭圆x236＋y29＝1的弦AB被点M(4,2)平分，求弦AB所在的直线的方程.7、如图所示，过点P(2,0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)(1)写出直线l的方程；(2)求x1x2与y1y2的值；(3)求证：OM⊥ON.【思路点拨】求x1x2及y1y2的值可考虑用根与系数的关系；证明OM⊥ON，可用kOM·kON＝－1或OM→·ON→＝0来证明．715PA练习：题型四：垂直问题【解】(1)直线l的方程为y＝k(x－2)．(k≠0)(2)由y＝kx－2y2＝2x消去y并整理可得k2x2－2(2k2＋1)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4k2k2＝4，y21·y22＝4x1x2＝16，而y1y20，∴y1y2＝－4.(3)证明：设OM，ON的斜率分别为k1，k2，则k1＝y1x1，k2＝y2x2，由(2)知，y1y2＝－4，x1x2＝4，∴k1·k2＝－44＝－1，即OM⊥ON.