西安工业信号检测与估计SDE_05ch3cCRLB39310+应用举例

Ch3CRLBChapter3Cramer-RaoLowerBound(c)应用举例lecture5第五讲雷斌13809194497QQ：[e-mail]@163.comSignalDetectionandEstimation信号检测与估值信息与通信工程专业研究生学位课程2019/12/16SDE_05ＣＲＬＢ(C)2对于所有的θ定理3.1标量情况下的CRLBTheorem3.1CRLBforScalarParameter•假设PDFp(X;θ)满足“正则”条件，既0);(lnxpEAssume“regularity”conditionismet:则有Then222);(ln1varxpE其中whiledxxpxpxpE);();(ln);(ln2222Fisher信息FisherInformation3.4Cramer-RaoLowerBound•信息越多，估计的方差越小，估计越准1.非负的；2.对于独立观测，具有可加性。进一步2019/12/16SDE_05ＣＲＬＢ(C)3Example3.3CRLBforDCinAWGNx[n]=A+w[n],n=0,1,2,……,N-1w[n]=WGN~N(0,σ2)单独观测的概率密度函数PDFofanindividualdatasample:无关的高斯随机变量是统计独立的UncorrelatedG-RVsareIndependent…联合概率密度函数是各自PDF相乘JointPDF=productoftheindividualPDFs:AxNAnxAApNn2102][1);(lnxxgA)(xNAApECRLB222);(ln1x])()[();(lnxxgIp通过多次观测降低估计噪声2019/12/16SDE_05ＣＲＬＢ(C)4未知参量与信号的依赖程度:SignalinAWGNAWGN信号对参数变化很敏感，则CRLB较小，估计很准Ifsignalisverysensitivetoparameterchange.thenCRLBissmall.cangetveryaccurateestimate!•x[n]=s[n;θ]+w[n],似然函数likelihoodfunction:未知参量与信号的依赖程度2019/12/16SDE_05ＣＲＬＢ(C)53.6参数的变换TransformationofParameters•已知θ的CRLBθ，但实际关心的α，它是θ的函数Example:SpeedofVehicleFromElapsedTimeTestT,wanttomeasurespeedV=d/T线性变换非线性变换•幅度估计A＝》功率估计A2•则有Isthisanefficientestimatorofα???anefficientestimator破坏了估计的有效性渐近有效AsymptoticEfficiency22222)var()()(ANAxxExE参数变换估计的有效性2019/12/16SDE_05ＣＲＬＢ(C)6Example:SpeedofVehicleFromElapsedTimeTestT,But.reallywanttomeasurespeedV=d/T2019/12/16SDE_05ＣＲＬＢ(C)73.7CRLB矢量情况•假设PDFp(X;θ)满足“正则”条件，既0);(lnθθXpE其中数学期望是对p(X;θ)求出的。那么，任何无偏估计的协方差矩阵满足0)(1θICθθjiijpE);(ln)(2θXθIFisher信息矩阵半正定矩阵positivesemi-definite引申到得到MVU估计•VectorParameter:θ=[θ1θ2...θp]T对于所有的θ标量参数我们看其方差Forascalarparameterwelookedatitsvariance.矢量参数我们看其协方差阵foravectorparameterwelookatitscovariancematrix:2019/12/16SDE_05ＣＲＬＢ(C)8Ex.3.6:高斯白噪声中的DC电平•Aδ2均未知；参数矢量θ=[Aδ2]T10222)][(21ln22ln2);(lnNnAnxNNXp42200)(NNINAVar2)(NVar422)(2019/12/16SDE_05ＣＲＬＢ(C)9Ex.3.7:直线拟合的引申BBAANNNNNNNNnBnAnxBnAnxBpAppNnNn22221021026)12)(1(2)1(2)1()][(1)][(1);(ln);(ln);(lnθXθXθθX1010][)1(6][)1()12(2NnNnnnxNNnxNNNA102222][21exp)2(1),(NnNBnAnxpθx10210][)1(12][)1(6NnNnnnxNNnxNNB)1()12(2)var(2NNNA)1(12)var(22NNB2019/12/16SDE_05ＣＲＬＢ(C)103.8VectorTransformations矢量参数变换的CRLB•将前述标量变换的结论推广到矢量，则当)(θga•可以证明：)30.3(0)()()(1TggθθθIθθCa•其中prrrppθgθgθgθgθgθgθgθgθgg)()()()()()()()()()(212221212111θθθθθθθθθθθ雅克比矩阵JacobianMatrix半正定矩阵positivesemi-definite2019/12/16SDE_05ＣＲＬＢ(C)11参数的变换TransformationofParametersBAθθa)(g其中A是rxp阶矩阵，B是rx1矢量BθAaaBAθa)(ETTTaggθθθIθθAθAIAACC)()()()(11•已知θ的CRLBθ，但实际关心的α，它是θ的函数•对于非线性变换，有效性只有当N趋近无穷大时保持–因为那时，θ的估计集中在真值附近–统计线性2019/12/16SDE_05ＣＲＬＢ(C)12Example3.8：DCinWGN信噪比的估计Example3.822Aa42200)(NNθITA2θNNANAAANNAAggT24422422424221242422002)()()(θθθIθθN224)var(2019/12/16SDE_05ＣＲＬＢ(C)13Example2通过方位和距离估计XY坐标Example2:UsuallycanestimateRange(R)andBearing(ϕ)directly,Butmightreallywantemitter(x,y)在基于雷达和光电经纬仪的弹道测试系统中，通过方位和距离估计XY坐标2019/12/16SDE_05ＣＲＬＢ(C)143.9CRLBforGeneralGaussianCase一般高斯情况的CRLB推广到以下的情况Nowgeneralizetothecasewhere:数据仍然是高斯分布的DataisstillGaussian,but均值不一定为0Parameter-DependencenotrestrictedtoMean噪声非白NoisenotrestrictedtoWhite…协方差不一定为对角阵CovnotnecessarilydiagonalInSect.3.5wesawtheCRLBfor“signal+AWGN”确定信号DeterministicSignalw/标量确定参数ScalarDeterministicParameterOnewaytogetthiscase:“signal+AGN”RandomGaussianSignalw/VectorDeterministicParameterNon-WhiteNoise均值和方差均与待估参量有关①X=A+W~N(0,σ2)一般高斯情况X~N(A,σ2×I)②X=S(θ)+W~N(0,σ2)X~N(S(θ),σ2×I)2019/12/16SDE_05ＣＲＬＢ(C)153.9CRLBforGeneralGaussianCase一般高斯情况的CRLBcon.•信号加噪声的统一描述：–确定性信号：协方差部分仅为噪声协方差–信号随机：期望和方差均与待估参量有关•噪声相关的情况–噪声电压等于电子随机运动的积累•前一时刻的电压+这一时段的电子迁移–噪声通过带宽受限的信道•低通滤波≈积分电路2019/12/16SDE_05ＣＲＬＢ(C)16Gen.Gauss.Ex.:Time-Difference-of-Arrival一般高斯情况举例：到达时间差异考察这两部分2019/12/16SDE_05ＣＲＬＢ(C)17Est.Cov.usesaverageoveronlynoiseVariabilityofCovw.r.t.parametersVariabilityofMeanw.r.t.parametersFisher信息jiiTiijθθtrθuθu)()()()(21)()()()(111θCθCθCθCθθCθθIThisshowstheimpactofsignalmodelassumptions信号模式假设的影响•deterministicsignal+AGN确定性信号加平稳高斯噪声•randomGaussiansignal+AGN随机高斯信号加平稳高斯噪声Est.Cov.usesaverageoversignal&noise方阵的迹＝对角线元素之和iNiiiθuθuθuθu)()()()(21θθθθiNNiNiNiNiiiNiiiθθθθθθθθθθ)()()()()()()()()()(212222111211θCθCθCθCθCθCθCθCθCθC附录3C中有证明2019/12/16SDE_05ＣＲＬＢ(C)18协方差矩阵与θ无关，即下式＝0Example3.9WSN中信号参数jNniiTijiiTiijθnsθnsθuθuθθtrθuθu],[],[1)(1)()()()()(21)()()()(1022111θθθIθθCθCθCθCθθCθθI•SignalModel:x[n]=s[n;θ]+w[n],n=0,1,2,.,N-1•例中，w[n]独立同分布，IC2与θ无关2019/12/16SDE_05ＣＲＬＢ(C)19Example3.10噪声参数4222222111122121)()(21)()()()(21)()()()(NtrtrθθtrθuθujiiTi