资料处理中的反褶积.

地震资料处理中的反褶积处理黄大云2002年5月地震资料处理中的反褶积处理•反褶积概述（2001年已讲）•预备知识•预测反褶积的基本原理和计算方法•Omega系统的主要反褶积处理模块反褶积概述•褶积•地震记录的褶积模型•地震记录的分辨率•反褶积的定义•反褶积的类型预备知识•信号•信号的频谱•信号的离散化•Z变换•信号的相位特征•相关分析•两种特殊信号•反信号信号什么叫信号？随时间变化的物理量称为信号。即，信号是以时间为自变量的函数。物理可实现信号：信号x(t),当t0时，x(t)=0地震记录是物理可实现信号00tt信号的频谱在某个时间区间内的地震记录通常是如下图所是的一个比较复杂的信号。为了说明频谱的意义，先从最简单的信号说起。在物理学中，最简单的波是描述简谐振动的简谐波，它可用正弦函数表示：Asin(2πft+φ)。A：振幅，f:频率，φ：初始相位（简称相位）在某个区间内最简单的简谐波是Asin（2πf0（t-t0)+φ）。其中，f0=1/T该简谐波的周期正好是时间区间长度T。稍复杂一点的是频率为fn=nf0的正弦波：Asin(2πnf0（t-t0)+φ)，这时正弦波的周期是T/nf0：基频，Asin(2πnf0（t-t0)+φ)：n次谐波。一次谐波称为基波。t0t0+Tt0t0+TΦ=0t0t0+TΦ≠0多个简谐信号相加可得到一个复杂信号：一个复杂信号可分解为多个简谐信号的叠加：各简谐信号的振幅构成信号的振幅谱A(f)，各简谐信号的初始相位构成信号的相位谱Φ(f)，振幅谱和相位谱合称频谱。频谱可用复数表示：频谱表示成复数后可做数学运算nnntnfAAtx)2sin()(00)()()(fiefAfXX(t)=x1(t)+x2(t)频谱的计算用付氏变换公式：正变换反变换X(f)是复数,称为x(t)的复频谱,它可表示为：X(f)=u(f)+iv(f)由此可得：振幅谱:相位谱:)()()()(22fvfufXfA)()()(fufvarctgfdtetxfXfti2)()(dfefXtxfti2)()(信号的离散化实际地震记录是连续信号，数字仪记录时，要间隔一定的时间间隔Δ记录一个值，由此将地震记录x(t)变成时间序列x(nΔ)(n=1,2,…N)Δ称为采样间隔。这就是信号的离散化。对于离散化有以下采样定理：若连续信号x(t)有截止频率fc，则当时，离散x(nΔ)可完全确定X(t):nttnxtx)()(sin)()(cf21奈魁斯特频率如果x(t)不存在截止频率fc，或时，x(nΔ)不能完全恢复x(t)，但x(t)的频谱X(f)与x(nΔ)的频谱xΔ(f)之间有以下关系：该式表明：1、xΔ(f)是一个周期函数（周期为1/Δ）2、它在一个周期的值等于将X(f)以为基础分为若干小段，每段长1/Δ，然后将各段的X(f)值相加。由此可见，当采样率为Δ时，离散序列的最大频率为1/2Δ，这就是奈魁斯特频率，也称折叠频率。)()(mmfXfX21,21频率折叠示意图Z变换序列(a0,a1,a2,…an)的Z变换定义为A(z)=a0+a1z,+a2z2+…anzn(z是复数)使A(z)=0的z值称为Z变换的根，该序列的Z变换有n个根。信号的相位特征设一两项信号a=(a1,a2),则1、若a1a2,称a是最小相位延迟信号2、若a1a2,称a是最大相位延迟信号3、若a1=a2,称a是等延迟信号任一n+1项信号b=(b0,b1,…,bn)可分解为n个两项信号的褶积。如果1、所有两项信号都是最小相位延迟信号，则b是最小相位2、所有两项信号都是最大相位延迟信号，则b是最大相位3、既有最大相位延迟也有最小相位延迟，则b是混合相位信号的相位特征也可用其z变换来定义：1、z变换的根都在单位圆外，信号是最小相位2、z变换的根都在单位圆内，信号是最大相位3、单位圆内外都有根，信号是混合相位相关分析•相关函数的定义•相关与褶积的关系•相关函数的频谱相关函数的定义1、互相关函数2、自相关函数（Xn、yn为离散信号）nmnnxyyxmr)(nmnnxxxxmr)(相关与褶积的关系信号xn与gn的褶积为：xn*yn=信号xn与yn的相关函数：两个信号的互相关函数等于将后一个信号的翻转信号与前一信号的褶积：mmmngxnmnnxyyxmr)(nnxyyxnr)(相关函数的频谱由：有：或特别地，对于自相关函数有：Rxx(f)=|X(f)|2以上公式说明：1、自相关函数的频谱是实数；2、由信号的振幅谱可确定其自相关函数的频谱进而确定自相关函数。反过来，由自相关函数也可求振幅谱。nnxyyxnr)()()()(fYfXfRxy)()()(fYfXfRxy两种特殊信号1、单位脉冲δ(t)(狄拉克函数）（当t=0时）（当t≠0时）δ(t)频谱是Δ(f)=12、白噪声b(t)∑b(t)=0Rbb(t)=δ(t)01)(t反信号对信号x(t)，如果有信号a(t)，使x(t)*a(t)=δ(t)，则称a(t)是x(t)的反信号。由于写成指数形式：所以，反信号的频谱与原信号的频谱有以下关系：1、2、φx=-φa并非任何信号都有反信号。如在某些频率点f，使，则反信号不存在。1)()()()(2dtetffAfXfti011)()(iiieefAefXax1)()(fAfX0)(fX预测反褶积的基本原理和计算方法•脉冲反褶积•预测反褶积的基本原理和计算方法脉冲反褶积1、脉冲反褶积的假设条件2、脉冲反褶积的基本原理3、脉冲反褶积的计算1、脉冲反褶积的假设条件两个假设条件（1）反射系数函数：白噪声（2）地震子波：最小相位2、脉冲反褶积的原理设地震记录x(t)可表示为反射系数函数g(t)和地震子波b(t)的褶积：x(t)=g(t)*b(t)要把x(t)变为g(t)，只需设计一个算子a(t)，使a(t)*b(t)=δ(t)（1）即可。假定有那么一个a(t)，满足（1）式。在（1）式两端同用b(-t)褶积，得a(t)*b(t)*b(-t)=δ(t)*b(-t)a(t)*rbb(t)=b(-t)（2）rbb(t)为b(t的自相关函数。在离散有限的情况下，将（2）式写成矩阵形式：)(...)1()()(...)1()()0(...)1()(........)1(...)0()1()(...)1()0(mkbkbkbmkakakarmrmrmrrrmrrrbbbbbbbbbbbbbbbbbb在反射系数函数是白噪声的前提下，有：rbb(t)=rxx(t)；在地震子波b(t)为最小相位物理可实现信号时，有：当t0时，a(t)=0。于是上面的方程变成为：再将方程两端同除以b(0),则有：0...0)0()(...)1()0()0(...)1()(........)1(...)0()1()(...)1()0(bmaaarmrmrmrrrmrrrxxxxxxxxxxxxxxxxxx0...01)0(/)(...)0(/)1()0(/)0()0(...)1()(........)1(...)0()1()(...)1()0(bmababarmrmrmrrrmrrrxxxxxxxxxxxxxxxxxx该方程可以求解，所得的解与反子波算子a(t)只差一个常数{b(0)}倍。3、脉冲反褶积的计算（1）求解方程得到a(t)/b(0),认为它就是a(t)。（2）用a(t)对地震记录褶积0...01)0(/)(...)0(/)1()0(/)0()0(...)1()(........)1(...)0()1()(...)1()0(bmababarmrmrmrrrmrrrxxxxxxxxxxxxxxxxxx预测反褶积的原理和计算方法•什么叫预测•预测的条件•预测滤波•预测反褶积•预测反褶积的计算•预测反褶积的几个主要参数什么叫预测预测就是根据过去和现在已发生的事实判定将来会出现的情况。在数学上，对一个时间函数的预测是指该函数某一点的值用其前面若干个值的线性组合表示出来。这种预测称为线性预测。预测的条件并非所有事物都可线性预测。函数x(t)可线性预测的条件是，x(t)为平稳随机过程，即它的统计特征：数学期望和方差是与时间无关的量，且自相关函数rxx(τ)只与时差τ有关。我们认为地震记录满足以上条件，因而可做预测。)]([txEX2])([)]([XtxEtxD预测滤波在地震勘探中，我们认为地震记录是平稳随机过程，因而可以预测。根据地震记录褶积模型的假设，地震记录x(t)由地震子波b(t)和地层反射系数g(t)的褶积构成：我们先假定b(t)为一物理可实现的最小相位信号，g(t)为白噪序列。在时刻(t+τ),地震记录的振幅值可表示为：在右端第二项中，令j=s-τ,上式变为：记设b(t)的反信号为a(t)，有a(t)*x(t))=a(t)*b(t)*g(t)=δ(t)*g(t)=g(t)因为b(t)为一物理可实现的最小相位信号，因此有：当t0时，a(t)=0将g(t)=a(t)*x(t)带入x’(t+τ),得：0)()()()()(sstgsbtgtbtx)()()(0stgsbtxs10)()()()(ssstgsbstgsb100)()()()()(sjjtgjbstgsbtx0)()()('jjtgjbtx令s=j+k,上式变为：再令得到：上式为一褶积表达式，它说明：x’(t+τ)是c(s)对x(t)的过去和现在值的滤波结果，称它为x(t+τ)的预测值，c(s)称为预测滤波因子。实际值与预测值的差e(t+τ)=x(t+τ)-x’(t+τ)称为预测误差。τ叫做预测间隙、预测步长或预测距离。00)()()()('jsstxjsajbtx00)()]()([sjstxjsajb0)]()()[()('jtxtajbtx00)]()()[(jkkjtxkajb0)()()(jjsajbsc0)()()('sstxsctx预测反褶积将x(t+τ)和x’(t+τ)代入预测误差公式，得：当τ=1时，有：e(t+1)=b(0)g(t+1)该式表明，当预测距离等于1时，预测误差与反射系数只差一个常数因子，因而可视为反射系数。于是，只要在预测滤波中输出预测误差就达到预测反褶积的目的，这就是预测反褶积。但通常不用τ=1这种理想情形，而是令τ为大于1的某个数。当τ=1时，预测反褶积就是脉冲反褶积。10)()()(sstgsbte预测反褶积的计算预测反褶积计算的关键是求得预测滤波因子c(s)。由于子波未知，不能用公式直接计算。可用最小平方法。最小平方法的数学模如下：输入信号：x(t)设预测滤波因子：c(t)=[c(0),c(1),…,c(m)]期望输出：x(t+τ)(τ0)预测输出：预测误差：误差总能量：0)()()(jjsajbscmsstxsctxtctx0)()()()()('msstxsctxtxtxte0)()()()(')()(202])()()([)(tmststxsctxteQ选取c(s)，