线性代数教程第一章行列式

第1章行列式§1.1行列式的定义§1.2行列式的性质与计算§1.1行列式的定义1.1.1排列、逆序与对换1,1,2n阶行列式§1.1行列式定义行列式起源于解线性方程组，但解线性方程组后来被矩阵理论所代替，再也不用行列式来求解线性方程组了.行列式的价值主要体现在理论推导上，是研究方阵性质的重要工具.其中有三个重要的定理:(1)行列式展开定理;(2)行列式乘法定理;(3)Cramer法则.1.排列与逆序把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列(或排列).n级排列共有种.1231322132313123211221如：特别：把n个不同的数码１、２、…、n组成的有序数组称为一个n级（阶、元）排列.1212...nnorpppxxx!n记作：２级排列共有２种：３级排列共有６种：1.1.1排列、逆序与对换1.1.1排列、逆序与对换1.排列与逆序1injpppp,jipp例如排列３２５１４中，我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.32514定义1.1逆序逆序逆序逆序逆序分析ipipip的逆序数.则称这两个数组成一个逆序.中，若数在一个排列前面比大的元素的个数称为元素排在元素逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列.例1计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.(1)２１７９８６３５４定义1.2一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.1....()ijntNPPPPoror记为解018故此排列为偶排列.10013445217986354010013445012(1)n解在此排列中，前n个数135…(2n−1)之间不构成逆序，后n个数(2n)(2n−2)…2之间构成逆序，且前前n个数与后n个数之间构成逆序.135(21)(2)(22)42nnn(13(21)(2)(22)2)nnn12(1)(1)(2)1nnn(1)n(2)n10(1)(1)(1).22nnnnnn(2)135…(2n−1)(2n)(2n–2)…2.特别：将相邻两个元素对调，叫做相邻对换.2.对换在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这样的一个变换叫做对换.例如11lmbaaabb11lmabaabb111lmnaabbcbca111lmnaabbcacb(1)(2)2.对换11lmbaaabb11lmabaabb定理1.1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.证明：设排列为(1)易见除a,b外，其它元素的逆序数不改变，若ab，对换,ab对换后，a的逆序数不变，而b的逆序数减1；若ab，对换后，a的逆序数增1，而b的逆序数不变.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.111lmnaabbcbca111lmnaabbcacb设排列为(2)对换,ab次相邻对换m111lmnaabbcbca111,lmnbaaabbcc111,lmnaabbacbc所以任意两个元素对换，排列改变奇偶性.111lmnaabbcbca111lmnaabbcacb次相邻对换21m欲即次相邻对换1m推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.定理1.2n个元素(n＞１)共有n!个n阶排列，其中证明:故必有s=t.奇排列偶排列st所以前两个数对换s个s个偶排列奇排列ts所以前两个数对换t个t个奇、偶排列各占一半.设共有s个奇排列，t个偶排列，现证s＝t.练习1求下面排列的逆序数，并确定奇偶性.解从前往后求排在元素前面且比元素大的数的个数，然后求和.012(2)(1)nn(1)(2)210nn(1)nn(2n-1)(2n-3)(2n-5),…,531246,…,(2n-2)(2n)在此排列中，前n个数(2n−1)(2n-3),…,531之间构成逆序，后n个数246,…,(2n-2)(2n)之间不构成逆序，前n个数与后n个数之间构成逆序.(2n-1)(2n-3)(2n-5),…,531246,…,(2n-2)(2n)012(1)n(1)n1011112212112222,.axaxbaxaxb,2212221212211abxaaxaa,1222221212112abxaaxaa两式相减消去，得2x;212221121122211baabxaaaa）（类似的，消去，得1x,211211221122211abbaxaaaa）（1.二元线性方程组和二阶行列式①①×：②②×：22a12a1.1.2n阶行列式1.二阶行列式1.1.2n阶行列式(1.1)方程组的解为，211222112122211aaaabaabx.211222112112112aaaaabbax由方程组的四个系数确定.112212210aaaa当时，定义1.3由四个数排成二行二列(横排称行、竖排11122122aaaa所确定的表达式称列)的数表11221221aaaa11122122aaaa称为二阶行列式，记为(1.2),22211211aaaaD11a21a22a21a主对角线副对角线2211aa若记11112212112222,.axaxbaxaxb对于二元线性方程组系数行列式.2112aa二阶行列式的计算：对角线法则行标列标.,22221211212111bxaxabxaxa11122122,aaDaa11112212112222,.axaxbaxaxb11122122,aaDaa.2211112babaD记1121222,baDba记则二元线性方程组的解为1122221111122122,babaDxaaDaa1112122211122122.ababDxaaDaa系数行列式系数行列式5225D例2解二元线性方程组12125210,258.xxxx5225D254210,1D34,20,DDx1134,21DDx2220.211085225D2D108解2.三阶行列式称为三阶行列式.111213212223313233aaaaaaaaa记为111213212223313233aaaaaaaaa构成数表112233122331132132aaaaaaaaa所确定的表达式，由九个数排成三行三列(横排称行、竖排称列)112332122133132231aaaaaaaaa2三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaaD323122211211aaaaaa.312213332112322311aaaaaaaaa(2)沙路法322113312312332211aaaaaaaaaD三阶行列式的计算：(1)对角线法则332211aaa.322311aaa322113aaa312312aaa312213aaa332112aaa以上两种方法只适用于二阶与三阶行列式.123456.789D解按对角线法则，有例3求行列式2111230.49xx解按对角线法则，有例4求解方程1229184322xxxxD2560,xx0.951D762843753942861.32xorx;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa若系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD,0,3332323222131211aabaabaabD,3333123221131112abaabaabaD三元线性方程组.3323122221112113baabaabaaD则,11DDx,22DDx.33DDx(1.3)例5解线性方程组.0,132,22321321321xxxxxxxxx解由于方程组的系数行列式为121213,111D111D1321211111221315,0且同理可得1103111221D,51013121212D,100111122213D,5故方程组的解为：,111DDx,222DDx.133DDx其中为将系数行列式的第i列分别用常数项来代替而得的新的行列式.123,,DDD11122122aaDaa1122aa1221.aa3.n阶行列式二阶行列式二阶行列式表示所有不同的行不同的列的两个元素乘积的代数和.两个元素的乘积可以表示为：为2级排列，当取遍了2级排列12，212！=2项.时，即得到二阶行列式的所有项(不包含符号)，共为2121jjaa21jj21jj3.N阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD112233122331132132aaaaaaaaa132231112332122133.aaaaaaaaa三阶行列式三阶行列式表示所有位于不同的行不同的列的3个元素乘积的代数和.3个元素乘积可表示为：为3级排列，当取遍了3级排列时，即得到三阶行列式的所有项(不包含符号)，共为3！=6项.321321jjjaaa321jjj321jjj取正号，是奇排列则取负号.每一项的符号是：当这一项元素的行标按自然数顺序排列后，如果对应的列标构成的排列是偶排列则例如1221aa列标排列的逆序数为奇322113aaa列标排列的逆序数为偶112332aaa列标排列的逆序数为奇负号正号负号11122122aaDaa1122aa1221aa二阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD112233122331132132aaaaaaaaa132231112332122133aaaaaaaaa三阶行列式.121212121jjjjjjaa.1321321321321jjjjjjjjjaaan阶行列式猜想111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa阶行列式是项的代数和;n!nn阶行列式的每项都是位于不同行、不同列的n个元素的乘积;猜每项.1212121nnnjjjjjjnaaaDnnjjjaaa2121.121njjj的符号为定义1.4称为n阶行列式，它表示一个数值，这个数值是n!项的代数和，每一项是取自行列式中不同行不同列的n个元素的乘积：该项符号当用个元数(i，j=1,2,…n)组成的记号ijannnnnnaaaaaaaaa2122221112112nnnjjjaaa2121njjj21为偶排列时取“+”号，为奇排列时取“–”号.即排列求和.行列式有时简记作()..ijijoerDtaa.表示对所有的n级一阶行列式|a|就是a..121212121nnnnjjjjjjjjjaaanjjj21njjj21其中nnnnnnaaaaaaaaa212222111211(1.4)为n级排列，说明：(1)行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的；(5)一阶行列式|a|=a不要与绝对值记号相混淆.(4)每项(2)n阶行列式是n！项的代数和；(3)n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积；nnjjjaaa2121;121njjj的符号为定义1.4通常称为行列式的“排列逆序”定义，它具有以下特点：为排列4.n阶行列式的另一种表示法121122(2)(1)nnijijijDaaa