线性代数自己

１、三阶Ｄ３＝（线性代数）２、左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线。３、三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。４、三角形行列式的值为主对角线的三个数之积５、在n阶行列式Dij中，划去它的第i行和第j列，余下的数按照原来相对顺序组成的一个(n-1)阶行列式叫元素aij的余子式，记作Mij６、符号Aij叫元素aij的代数余子式定义：（系数其实是个正负符号）偶正奇负７、三阶行列式D3等于它的第一列的元素与对应的代数余子式的积的和＝（i=1,2,…,n）８、凡含零行（行中元素全为零）或零列（列中元素全为零）的行列式，其值必为零。９、将行列式D的第一行改为第一列，第二行改为第二列……第n行改为第n列，仍得到一个n阶行列式，这个新的行列式称为D的转置行列式，记为或行列式和它的转置行列式相等１０、用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD。这也就是说，行列式可以按某一行和某一按列提出公因数１１、用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD。这也就是说，行列式可以按某一行和某一按列提出公因数，如果Ｄ＝-则Ｄ＝０１２、互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号，如果行列式中有两行（列）相同，则此行列式的值等于零１３、n阶行列式的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零１４、范德蒙德公式：第一行乘（-X1）加到第二行上；第二行乘（-X1）加到第三行上１５、每行或是每列中的和是一样的，故每行或是每列都乘“1”加到第一行或是第一列上去，再把这个数当公因数提取，形成有一行或是列全为“1”的行列式，然后再化简１６、记号①②写在等号下面，表示交换行列式的第一列和第二列，②+5×①写在等号下面，表示将行列式的第一列乘以5后加到第二列。a2-b2=(a-b)(a+b)１７、克拉默法则当D≠0时，二元一次方程组有唯一解若系数行列式D≠0，方程组只有零解;若系数行列式D=0,则方程组（2）除有零解外，还有非零解1.由m×n个数aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排成一个m行n列的数表，用大括号表示A=（aij）m×n或（aij）m×n或Am×n通常用大写字母A，B，C等表示矩阵２．元素全为零的矩阵称为零矩阵。用Om×n或者O（大写字）表示。当m=1时，称α=（a1，a2，…，an）为n维行向量。它是1×n矩阵。或不是“Ａ”，念“尖”对角矩阵必须是方阵，当对角矩阵的主对角线上的元素都相同时为ａ，称它为数量矩阵。当a=1时，称它为n阶单位矩阵，n阶单位矩阵记为En或In，零矩阵可以是方阵也可以不是方阵A=（aij）m×n，B=（bij）k×l，若m=k，n=l且aij=bij，i=1，2，…，m；j=1两个矩阵A与B的行数与列数分别相等时，只有当两个矩阵是同型矩阵时，它们才可相加。行列式相加：阶数相同，所有的行（列）中除某一行（列）不相同外，其余的行都一样才可以相加，方法是除了这两个不同的行（列）相加外，其它的不变。阶数大于1的方阵与数不能相加。（1）交换律A+B=B+A.（乘法没有交换律）（2）结合律（A+B）+C=A+（B+C）.（3）A+O=O+A=A.（4）消去律A+C=B+CA=B.两个矩阵A=（aij）和B=（bij）可以相乘当且仅当A的列数与B的行数相等。当C=AB时，C的行数=A的行数，C的列数=B的列数。C的第i行第j列元素等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和矩阵A是3×3矩阵，而B是3×2矩阵，由于B的列数与A的行数不相等，所以BA没有意义。(1)单位矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换：EnA=AEn=A（2）数量矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换：（aEn）A=A（aEn）.（3）在一般情形下，矩阵的乘法不满足交换律，即一般AB≠BA。（4）当AB=O时，一般不能推出A=O或B=O。这说明矩阵乘法不满足消去律。（5）当AB=AC时，一般不能推出B=C。（消去律)把矩阵的行与列互换得到的n×m矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记作AT或A’，(1）（AT）T=A（2）（A+B）T=AT+BT（3）（kA）T=kAT，k为实数。（4）（AB）T=BTAT，（A1A2…An）T=AnTAn-1T…A1Taij=aji，i，j=1，2，…，n，则称A为实对称矩阵,AT=A.aij=-aji，i，j=1，2，…，n，此时必有aii=0，i=1，2，…，n，则称A为实反对称矩阵。任意一个实方阵A都可以惟一地表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。+=A｜kAn｜=kn｜A｜由n阶方阵A的元素按原来的顺序构成的行列式称为方阵A的行列式，记作｜Ａ｜或det（A）。矩阵的行数与列数未必相等，但行列式的行数与列数必须相等。设A是一个n阶方阵。若存在一个n阶方阵B，使得（其中是阶单位阵），则称A是可逆矩阵（或非奇异矩阵），并称方阵B为A的逆矩阵。A的逆矩阵记为，即.设，为的元素的代数余子式（i,j=1,2,…,n），则矩阵称为A的伴随矩阵，记为。＝验证一个矩阵是另一个矩阵的逆矩阵时，只需要证明一个等式或成立即可。n阶方阵A为可逆矩阵｜A｜≠０分块矩阵转置时，不但看做元素的子块要转置，而且每个子块是一个子矩阵，它内部也要转置，这一现象不妨称为“内外一起转”。１、若对某个1≤i≤r，不是同阶方阵，则上面的两个分块对角矩阵(准对角矩阵)不能相乘。２、准上(下)三角矩阵的行列式都是它们的主对角线上各子块的行列式的乘积，即３、计算行列式是求值过程，前后用等号连接，对矩阵施行初等变换则是变换过程，除恒等变换以外，一般来说变换前后的两个矩阵是相等的，因此，我们用箭号“→”连接变换前后的矩阵，而且不需要将矩阵改号或提取公因数。矩阵A经过若干次初等变换变为B，则称A与B等价记为＝（i）交换A的某两行（列）。Ｐij对n阶单位矩阵E施行三种初等变换得到以下三类n阶初等方阵（ii）用一个非零数K乘A的某一行（列）。Ｄi（k）初等矩阵（iii）把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上Ｔij（k）.将E的第j行的k倍加到第i行上４、Pij左（右）乘A就是互换A的第i行（列）和第j行（列）Di（k）左（右）乘A就是用非零数k乘A的第i行（列）。Tij（k）左乘A就是把A中第j行的k倍加到第i行上。Tij（k）右乘A就是把A中第i列的k倍加到第j列上。任意一个m×n矩阵A，一定可以经过有限次初等行变换和初等列变换化成如下形式的m×n矩阵矩阵的等价标准形（A，E）→（E，A-1）n阶方阵A是可逆矩阵的存在可逆矩阵P，Q使得PAQ＝En（即A等价于单位矩阵）A可以写成若干个初等方阵的乘积.用初等行变换方法求逆矩阵时不能同时用初等列变换，而且在求出A-1以后，最好验证式子AA-1＝En，AX＝B公式（A，B）→（E，A-1B）则x=A-1BXA＝B公式（AT，BT）→（E，XT）关于矩阵方程的另一种常用求解方法是：先求出逆矩阵A-1，然后，求出AX＝B的解X＝A-1B，或者XA＝B的解X＝BA-1在m×n矩阵A中，非零子式的最高阶称为A的秩，记为r（A），有时也可用秩（A）表示A的秩定理1：对矩阵施行初等变换，不改变矩阵的秩（1）设A＝（aij）m×n,则r（A）≤min{m,n}。（2）r（AT）=r（A）,实际上，A与AT中的最高阶非零子式的阶数必相同。（3）n阶方阵A为可逆矩阵所以，可逆矩阵常称为满秩矩阵,秩为m的m×n矩阵称为行满秩矩阵，秩为n的m×n矩阵称为列满秩矩阵。A叫系数矩阵，x叫未知列向量，b叫常数向量,当b1=b2=…bm=0时，方程（2-10）叫齐次线性方程组。当b1，b2，…bm中有非0数时，方程（2-10）叫非齐次线性方程组.增广矩阵中间是虚号一、基本概念1.n维向量及其线性运算，零向量，负向量。2.向量的线性组合，向量组之间的线性表出关系及其矩阵表示，等价向量组。3.向量的线性相关性与线性无关性。4.向量组的极大无关组和向量组的秩。5.向量空间的基与维数，一个向量在取定的基下的坐标。二、基本结论与公式1.n维列向量?能表示成同维列向量组的线性组合当且仅当非齐次线性方程组Ax=?有解，这里，A=（）为n×m矩阵。2.向量组（m≥2）线性相关当且仅当至少存在某个向量可以表示成其余向量的线性组合。3.n维列向量组线性无关当且仅当齐次线性方程组Ax=0只有零解。这里，A=（）为n×m矩阵。4.单个向量线性相关当且仅当=0两个向量线性相关当且仅当它们的对应分量成比例。向量个数大于向量维数的向量组必为线性相关组。5.n个n维列向量组线性相关当且仅当A=（）的行列式为零，即它为不可逆矩阵。6.线性相关向量组的扩充向量组必为线性相关组。线性无关向量组的部分组必为线性无关组。线性无关向量组的接长向量组必为线性无关组。7.等价的向量组必同秩。三、重点练习内容1.当一个向量表示成同维向量组的线性组合时，求组合系数。2.判定向量组的线性相关性和线性无关性。3.通过求矩阵的秩来求向量组的秩。4.向量空间的判定，求向量空间的基以及向量在此基下的坐标。二、一、基本概念1.齐次线性方程组与非齐次线性方程组以及它们的解。2.齐次线性方程组的解空间和基础解系以及通解。3.非齐次线性方程组的通解。二、基本结论与公式1.齐次线性方程组Ax=0的任意有限个解的任意线性组合必是它的解。2.在齐次线性方程组Am×nx=0中，（n表示未知数，m表示方程个数）①若r（A）=r=n，则Am×nx=0只有零解，这时没有基础解系。②r（A）=rn，则Am×nx=0有非零解，且基础解系中有（n-r）个解向量ξ1，ξ2…ξn-r而且解向量空间中任何（n-r）个线性无关解都可以作为基础解系，它的通解为：x=k1ξ1+k2ξ2+…kn-rξn-r特别情形，当m=n时，Am×n是方阵，则有结论①时，Am×n=0只有零解②时，Am×n=0有非0解（无穷多个）（3）在非零齐次线性方程组Am×n=b中，若η*是Am×n=b的一个特解ξ是它的导出组Am×nx=0的一个解。是Am×nx=b的解。（4）在非零齐次方程组，Am×nx=b中，①若r（A）≠r（A,b），则说明方程组，Am×nx=b中有无解方程，∴Am×nx=b无解。②若r（A）=r（A,b），则说明方程组，Am×nx=b中没有无解方程，∴Am×nx=b有解。（i）当r（A）=r（A，b）=n（未知数个数）时，说明保留方程与未知数个数相同，所以Am×nx=b的解惟一。（ii）当r（A）=r（A,b）=rn（未知数个数）时，说明保留方程的个数r小于未知数个数，所以Am×nx=b的解有无穷多个，且它的通解：x=η*+k1ξ1+k2ξ2+…kn-rξn-r其中，η*是Ax=b的一个特解。ξ1，ξ2…ξn-r是它的导出组Am×n=0的基础解系。特别情形，当m=n时，则有①时，则有Am×nx=b有惟一解。②时，则有Am×nx=b或者没有解，或者解无限多。三、重点练习内容1.求齐次方程组Ax=0的通解，只用初等行变换把系数矩阵化成简化行阶梯形矩阵，据此，列出同解方程组，选定n-r（A）个自由变量，求出基础解系和通解。2.判定非齐次线性方程组Ax=b是否有解。3.求非齐次线性方程组Ax=b的通解，只用初等行变换把增广矩阵（A，b）化成最简化行阶梯形矩阵，据此，列出同解方程组，求出某个特解η，在其导出组中选定n-r（A）个自由未知量，求出其基础解系S={ξ1，ξ2…ξn-r},于是可求出Ax=b的通解。η=η*+k1ξ1+k2ξ2+…kn-rξn-r，k1,k2,…kn-r为任意实数,r=r（A）4.带参数的线性方程组的讨论题，特别是非齐次线性方程是否有解的判定条件和齐次方程组有非0解的条件。