群论第6章

6-1广义空间群第六章群论与固体物理1.转动平移算符在直角坐标系中某点P的坐标为，其位矢为，现有一变换，使P点坐标变为，位矢为),,(///321xxx),,(321xxx/rijR333323213132323222121213132121111txRxRxRxtxRxRxRxtxRxRxRx///r其中是实数，也是实数，且与无关。若以过上述变换后两点间距离的平方不变，这种变换称为转动平移变换，记为：。itijRtR说明：,333231232221131211RRRRRRRRRR333323213132323222121213132121111txRxRxRxtxRxRxRxtxRxRxRx///（1）当所有时，变换即为正交变换，即为转动算符的各分量。ijR0it可表示为321tttt（2）运用转动平移算符，则tRtRrrtR其中（3）转动平移算符作用在位矢上，相当于先将绕过某点的轴转动，然后整体平移一距离，得到一新位矢，并保证。rtRrRt/r/rr32.转动平移算符组成广义空间群纯转动操作纯平移操作:}0|{:}|{RtE(1)单位元：}0|{E(2)连续两个转动平移操作，仍为同类型的操作：封闭性}|{}|}{|{121212211ttRRRtRtR}|{)()}(|{}|}{|{1212112121122122112211ttRRRttRrRRttrRRtrRtRrtRtR证明：4(3)逆元存在，且左逆元与右逆元相同.(4)满足结合律：}|{}|{111tRRtR}|}]{|}{|[{}]|}{|}[{|{332211332211tRtRtRtRtRtR可见，全部转动平移算符的集合满足群的四个条件，构成群，称为广义空间群。说明：转动平移算符不是线性算符，纯转动算符是线性算符。5纯平移算符也为非线性算符.(1)纯转动算符构成了广义空间群的一个子群：三维转动反演群)3(O(2)平移群：而且是广义空间群的正规子群。3、广义空间群的子群}|{}')'(|{}'|}{'|{}'|}{|{}'|{1111111tREtRttRRRttEERtRRtRtEtR证明：6纯转动算符是幺正算符：函数变换算符作用于平面波：)()(1}|{111)}|({)(trRkitRrRkikktReertRrPrkiker)(rkiRtkiRtrkiRtrRkitrRkiktReeeeerP)()()(}|{1)(kRk'令：)()(''}|{rerPktkiktR4.函数变换算符)}|({)(1}|{rtRrPtR7布拉菲格子：格矢6-2晶体空间群1、基本概念格点：点阵：晶格：332211anananRn描述晶体对称操作的整体构成晶体空间群，要求满足：1）为等距操作；2）满足晶体平移对称性.这样，转动、平移操作必然受到更多的限制。123aaa其中、、沿原胞的三个边作出的基本矢量2、晶体空间群群元性质：nRt(1)若平移操作是晶体的对称操作，则其平移矢量只能是格矢，即。这是由于只有移动一个格矢后，晶体才会自身重合。}|{tE(2)若是晶体空间群某群元的转动算符，是格矢，则亦必然是格矢。RnRnRR证明：取晶体空间群中的任一群元，作的共轭元：}|{nRE}|{})(|{}(|}{|{}|}{|}{|{11111nnnnRREtRtRRRRRtREERtRtRREtR由性质1，平移矢量必须是格矢，得证。9nCR1nn2(3)晶体空间群的任一群元,若转动部分,则:1）转轴必在格矢方向，当时，该转轴必与格矢垂直；2）转动的角度只能是，其中.}|{tR64321、、、、n(4)晶体空间群的群元中，转动部分相同的两个群元及的平移部分满足：}|{1tR}|{2tR格矢21tt}|{}(|{}|}{|{211211121ttEttRRRRtRtR证明：10nRLRtRtnn0)2)1其中是转轴方向上的单位格矢，是整数，是转动的阶，n0RLERn(5)在晶体空间群群元中，平移部分只有两种可能}|{tR113.晶体空间群的分类：简单空间群：群中的各元素都是型的算符非简单空间群：群中的元素可以是如下两种类型的算符：简单空间群，每一个群元都可表示为纯平移和纯转动算符的乘积可见，简单空间群可由晶体的32个点群与相应的布拉菲格子组合而成：}|{nRR}|{nRR}|{0nRLRRn}0|}{|{}|{RRERRnn如对立方晶系，布拉菲格子有简单立方、面心立方、体心立方三种，而立方对称性的点群有5个，因而共有15个。事实上，简单空间群共有73个，非简单空间群共有157个，构成全部的230个空间群。12周期性边界条件要求：1.晶格平移群是晶体空间群的不变子群6-3晶体空间群的结构平移群是广义空间群的不变子群；同理，晶格平移群T是晶体空间群的不变子群。}|{tE}|{nRE由算符及其幂生成的平移群是平移群的不变子群，且是阿贝尔群，满足}|{iaE）、、321(iTi321TTTT}0|{}|{}|{}|{332121EaEaEaENNN其中是晶体在三个方向上的周期数（即原胞数）321NNN、、所以，平移群及的不可约表示都是一维的，它们的类及不可约表示的数目分别为iTTNNi、13因此，空间群的阶等于点群的阶乘以平移群的阶2、空间群的点群如果它是空间群的子群，则空间群是简单空间群，否则，空间群就是非简单空间群。晶体空间群实例：氯化纳、金刚石、金红石等TRTRTGpp}|{}|{220G平移部分为零，转动部分构成的群称为空间群的点群0G3.空间群的商群TG/将空间群按平移群展开，就是空间群的商群：GTTG/空间群的商群同构于空间群的点群TG/0G141.晶格平移群的不可约表示6-4平移群的不可约表示故可先求的不可约表示，其群元为}|{11alE1T平移群是阿贝尔群，满足321TTTT}0|{}|{11EaEN故得到个不同的不可约表示。1N平移群是阶的阿贝尔群，有个一维不可约表示，以表示其不可约表示，因为1kD1T1N1N1})0|({)}|({1111EDaEDkNk1})]|({[)}|({111111NkNkaEDaED而：)1(210})|({1121111NPeaEDNPik、、、、15同理可求及的不可约表示：2T3T)1(210})|({3323333NPeaEDNPik、、、、)1(210})|({2222222NPeaEDNPik、、、、对的一般群元：，不可约表示为}|{11alE1T1111211})|({lNPikealED由于一维不可约表示的直积，就是直接相乘，故一般格矢群元的不可约表示为：332211anananRn)(2332211333222111321})|({})|({})|({})|({NPlNPlNPlikkknkealEDalEDalEDRED16定义倒格子空间中的矢量：定义倒格子空间：2、倒格子空间中的表示平移群的不可约表示可写为：1111bNPk||2,||2,||2321213321132321321aaaaabaaaaabaaaaab满足关系式：ijjiba2其中，称为波矢量，其量纲是长度的倒数321kkkk2222bNPk3333bNPknRkinkeRED})|({173、不可约表示矩阵元的正交性，特征标的正交性当，与等价，（请自己证明）所以，只需在简约（第一）布里渊区类选取波矢即可得平移群的全部不可约表示。由于是一维不可约表示，表示矩阵就是其特征标为正、负整数及零、、为倒格矢，321332211hhhbhbhbhKhkkDhKkk''kDkD''}|{})|({*})|({kknknkRENREDREDnhKkk':或满足18另一方面，按照定义：一维不可约表示空间也是一维的，即每个不可约表示空间只由一个基函数来确定：布洛赫函数4.平移群不可约表示的基函数从而得到布洛赫定理：)(rk)()(}|{)(}|{rerREDrPkRkiknkkREnn)()}|({)(1}|{nknkkRERrrRErPn)()(reRrkRkinkn它指出了在周期场中运动的电子的本征函数应具有的性质.19应具有晶格周期性：函数变换算符的具体形式：布洛赫函数可写成如下形式：调幅的平面波)()()()(!)1()()(0}|{rerrRnRrrPPRinnnnnnREnn)()(ruRruknk)()(ruerkrkik201.波矢群6-5波矢群与波矢星是倒格矢hhKKkkR晶体空间群的点群，阶数为，任一群元作用于波矢得到：，与有什么关系？0G0gkkRk有两种可能：1）与不等价，即kRk2）与等价：kRk是倒格矢hhKKkkR波矢群：空间群的群元中具有性质的转动与平移矢量组成的算符的集合组成的群，称为波矢群，记作.}|{tRR）（kG0GhKkkR简单空间群的波矢群是一个点群，记作）（kG021证明：1）共轭类波矢平移群:满足方程2）满足方程：1nRkie)(kT显然，波矢平移群是平移群的子群，从而也是波矢群的子群，而且是不变子群T)(kT}|{})(|{}(|}{|{}|}{|}{|{11111nnnnRREtRtRRRRRtREERtRtRREtR1nRkie1)(nnhRkiRRKkiee所以，可以作出波矢群的商群：具有的形式，恒等元为)(}|{kTtR)(/)(kTkG)(}0|{kTE的晶格平移算符的集合。222.波矢星（星）陪集代表元的个数为：)(/00kggk)(}0|{)(0200kGRkGG取属于空间群G而不属于波矢群的所有群元，作用于波矢上，则得到全部不等价的个波矢，这些波矢的集合称为波矢星)(kGk)(kM对简单空间群，波矢群是空间点群的子群，作陪集分解：）（kG00G它们作用于波矢，得到k是倒格矢hhKKkkR)(21,kMkkk从而得到波矢星中个波矢与群的个陪集代表元是一一对应的，这样，所有的的集合就形成了波矢星)(kM0G)(kMkR23非简单空间群可类似地分析例、二维正方格子的波矢星二维正方格子的布里渊区如图：共有8个群元：群元符号214224141xdxdCCCE正方格子的空间群：,其点群为：14vCGvC4标号87654321RRRRRRRR作用结果zyyzyzzyzyyzzyyzkykz24由8个波矢组成：这一点的波矢星如何？1)任取二维正方格子的布里渊区中的一点共有8个群元：k四个波矢星，如图24761354232181,,kkkRkRkkkRkRkkR