线性矩阵不等式

第二章线性矩阵不等式0110mmFxFxFxF(2.1.1)的一个表达式。其中1x,……,mx,是m个实数变量，称为线性矩阵不等式（2.1.1）的决策变量，mTmR，xxx),(1是由决策变量构成的向量，称为决策向量，nnTiiRFF,i=0,1,…，m是一组给定的实对称矩阵，（2.1.1）中的不等号“＜”指的是矩阵F(x)是负定的，即对所有非零的向量mRv,0)(vxFvT或者F(x)的最大特征值小于零。2.1线性矩阵不等式的一般表示一个线性矩阵不等式是具有形式在许多系统与控制问题问题中，问题的变量是以矩阵的形式出现的。例如Lyapunov矩阵不等式：0)(QXAXAXFT(2.1.2)其中：A，nnRQ是给定的常数矩阵，且Q是对称的，nnRX是对称的未知矩阵变量因此该矩阵不等式中的变量是一个矩阵。设E1,E2,…，EM是Sn中的一组基，则对任意对称nnRX，存在x1，x2，…xM，使得MiiiExX1。因此，QAExExAExFXFMIIiMiMIIiTii)()()()(111)()(111AEEAxAEEAxQMMTMT＜0即Lyapunov矩阵不等式（2.1.1）写成了线性矩阵不等式的一般形式（2.1.1）。2.2可转化成线性矩阵不等式表示的问题系统与控制中的许多问题初看起来不是一个线性矩阵不等式的问题，或不具有（2.1.1）式的形式，但可通过适当的处理将问题转换成具有（2.1.1）式形式的一个线性矩阵不等式的问题。下面给出了这方面的一些典型的例子。1、多个线性矩阵不等式0)(,,0)(1xFxFK称为一个线性矩阵不等式系统。引进)(),()(1x，FxFdiagxFk,则0)(1xF…，0)(xFk同时成立当且仅0)(xF。因此，一个线性矩阵不等式系统也可以用一个单一的线性矩阵不等式来表示。2、在许多一些非线性矩阵不等式转化成线性矩阵不等式的问题中，我们常常用到矩阵的Schur补性质。考虑一个矩阵nnRS,并将S进行分块：22211211SSSSS其中的S11是r×r维的。假定S11是非奇异的，则121112111SSSS称为S11在S中的Schur补。以下引理给出了矩阵的Schur补性质。引理2.1.1对给定的对称矩阵22211211SSSSS，其中S11是r×r维的。以下三个条件是等价的：（ⅰ）0S（ⅱ）0,012111122211SSSSST（ⅲ）0,012122121122TSSSSS在一些控制问题中，经常遇到二次型矩阵不等式：01QPBPBRPAPATT(2.1.6)其中：0,,TQQBA,0TRR是给定的适当维数的常数矩阵，P是对称矩阵变量，则应用引理2.1.2，可以将矩阵不等式（2.1.6）的可行性问题转化成一个等价的矩阵不等式0RPBPBQPAPATT（2.1.7）的可行性问题，而后者是一个关于矩阵变量P的线性矩阵不等式。2.3一些标准的线性矩阵不等式问题例2.1.1稳定性问题考虑线性自治系统)()(tAxtx(2.2.3)的渐近稳定性问题，其中nnRA。Lyapunov稳定性理论告诉我们：这个系统渐近稳定的当且仅当存在一个对称矩阵nnRX使得0X,0XAXAT。因此系统（2.2.3）的渐近稳定性问题等价于线性矩阵不等式000XAXAXT的可行性问题。例2.2.2分析问题在分析中，通常要求确定一个对角矩阵D，使得11DED，其中E是一个给定的常数矩阵。由于1111DEDDEDDEDTTTDDDEDETTT0XXEET其中0DDXT。因此，使得11DED成立的对角矩阵D的存在性问题等价于线性矩阵不等式0XXEET的可行性问题。例2.2.3最大奇异值问题考虑最小化问题))(()(minmaxxFxf,其中nmSRxF:)(是一个仿射的矩阵值函数。由于0)()())((2maxIxFxFxFT根据矩阵的Schur补性质，0)()(0)()(2IxFxFIIxFxFTT因此，可以通过求解：min,x(2.2.4)0)()(.IxFxFItsT来得到所求问题的解。显然，问题（2.2.4）是一个具有线性矩阵不等式约束的线性目标函数的最优化问题。2.4LMI工具箱介绍线性矩阵不等式（LMI）工具箱是求解一般线性矩阵不等式问题的一个高性能软件包。由于其面向结构的线性矩阵不等式表示方式,使得各种线性矩阵不等式能够以自然块矩阵的的形式加以描述。一个线性矩阵不等式问题一旦确定，就可以通过调用适当的线性矩阵不等式求解器来对这个问题进行数值求解。LMI工具箱提供了确定、处理和数值求解线性矩阵不等式的一些工具，它们主要用于：●以自然块矩阵形式来直接描述线性矩阵不等式；●获取关于现有的线性矩阵不等式系统的信息；●修改现有的线性矩阵不等式系统；●求解3个一般的线性矩阵不等式问题；●验证结果。本附录将详细介绍LMI工具箱所提供的用于解决以上各个问题的有关函数和命令。2.4.1线性矩阵不等式及相关术语0NIDBDICXBXCXAXANTTTTT其中：A、B、C、D、N是给定的矩阵，X=XT∈Rn×n和∈R是问题的变考虑H∞控制中的一个线性矩阵不等式：N称为外因子，块矩阵IDBDICXBXCXAXATTTTXL）（,称为内因子。外因子可以不是一个正方矩阵，它在许多问题中常常不出现。●X和是问题的矩阵变量。注意，标量也可以看成是一个1×1维的矩阵。●内因子L（X，）是一个对称块矩阵。根据对称性，L（X，）可以由对角线及其上方的块矩阵完全确定。●L（X，）中的每一块都是矩阵变量X和的仿射函数。这一函数由常数项和变量项这两类基本项组成，其中常数项就是常数矩阵或以一些常数矩阵组成的算术表达式，例如L（X，）中的B和D；变量项是包含一个矩阵变量的项，例如XA、-I等。一个线性矩阵不等式不论多么复杂，都可以通过描述其中每一块的各项内容来确定这个线性矩阵不等式。2.4.2线性矩阵不等式的确定LMI工具箱可以处理具有以下一般形式的线性矩阵不等式。NTL（X1，…，Xk）NMTR（X1，…，XK）M其中：X1…，XK是具有一定结构的矩阵变量，左、右外因子N和M是具有相同维数的给定矩阵，左、右内因子L（﹒）和R（﹒）是具有相同块结构的对称块矩阵。注意，在线性矩阵不等式的描述中，左边总是指不等式较小的一边，例如对线性矩阵不等式X0，X称为是不等式的右边，0称为是不等式的左边，常表示成0X.。要确定一个线性矩阵不等式系统，需要做以下两步：给出每个矩阵变量X1，…，XK的维数和结构；描述每一个线性矩阵不等式中各个项的内容。这个过程产生所描述线性矩阵不等式系统的一个内部表示，它以一个单一向量的形式储存在计算机内，通常用一个名字，例如lmisys来表示。该内部表示lmisys可以在后面处理这个线性矩阵不等式时调用。下面将通过LMI工具箱中的一个例子来说明线性矩阵不等式系统的确定。运行lmidem可以看到这个例子的完整描述。用命令lmivar和lmiterm给出线性矩阵不等式系统（A.2.3）~（A.2.5）的内部描述如下：setlmis([])X=lmivar(1,[61])S=lmivar(1,[20;21])﹪lstLMIlmiterm([111x],1,A,’s’)lmiterm([111s],c’,c)lmiterm([112x],1,B)lmiterm([122s],-1,1)﹪2ndLMIlmiterm([-211X],1,1)﹪3rdLMIlmiterm([-311s],1,1)lmiterm([3110],1)lmisys=getlmis其中：函数lmivar定义了两个矩阵变量X和S，lmiterm则描述了每一个线性矩阵不等式中各项的内容。getlmis回到了这个线性矩阵不等式系统的内部表示lmisys，lmisys也称为是储存在机器内部的线性矩阵不等式系统的名称。以下将详细介绍这几个函数的功能和用法。setlmis和getlmis一个线性矩阵不等式系统的描述以setlmis开始，以getlmis结束。当要确定一个新的系统时，输入：setlmis([])如果需要将一个线性矩阵不等式添加到一个名为lmiso的现有的线性矩阵不等式系统中,则输入:setlmis(lmiso)当线性矩阵不等式系统被完全确定好后，输入：lmisys=getlmis该命令返回这个线性矩阵不等式系统的内部表示lmisys。lmivar函数lmivar用来描述出现在线性矩阵不等式系统中的矩阵变量，每一次只能描述一个矩阵变量。矩阵变量的描述包括该矩阵变量的结构。该函数的一般表达是：X=lmivar(type,struct)这一函数定义了一个新的矩阵变量X。函数中的第一个输入量type确定了矩阵变量X的类型，第二个输入量struct进一步根据变量X的类型给出该变量的结构。变量的类型分成三类：Type=1：对称块对角结构。这种结构对应于具有以下形式的矩阵变量：rDDD00000021其中对角线上的每一个矩阵块Dj是方阵，它可以是零矩阵、对称矩阵或数量矩阵。这种结构也包含了通常意义的对称矩阵和数量矩阵（分别相当于只有一块）。此时，struct是一个r×2维的矩阵。如果该矩阵的第i行是（m，n）则其中的m表示对称矩阵块Di的阶数，而n只能取1、0或-1。其中n=1表示Di是一个满的对称矩阵（或无结构的对称矩阵）；n=0表示Di是一个数量矩阵；n=-1表示Di是一个零矩阵。Type=2：长方型结构。这种结构对应于任意的长方矩阵。此时，struct=(m,n)表示矩阵的维数。Type=3：其他结构。这种结构用来描述更加复杂的矩阵，也可以用于描述矩阵变量之间的一些关联。X的每一个元或者是0，或者是±Xn,其中Xn是第n个决策变量。相应地，struct是一个和变量X有相同维数的矩阵，其中的每一个元取值如下：0,如果X(i,j)=0struct(i,j)=n,如果X（i,j）=Xn-n,如果X(i,j)=-Xn例A.2.2考虑具有三个矩阵变量X1、X2和X3的线性矩阵不等式系统，其中●X1是一个3×3维的对称矩阵；●X2是一个2×4维的长方矩阵；●2213000000IX，其中△是5×5维的对称矩阵，δ1和δ2是两个标量，I2表示2×2维的单位矩阵。可以应用lmivar来定义这些矩阵变量：setlmis([])X1=lmivar(1,[31])X2=lmivar(2,[24])X3=lmivar(1,[51;10;20])lmiterm在确定了矩阵变量之后，还需要确定每一个线性矩阵不等式中各项的内容。线性矩阵不等式的项指构成这个线性矩阵不等式的块矩阵中的求和项。这些项可以分成三类：常数项；变量项，即包含了矩阵变量的项，例如（A.1.3）式中的ATX和CTSC。一般的变量项具有形式PXQ，其中的X是一个变量，P和Q是给定的矩阵，分别称为该变量项的左系数和右系数；外因子。在描述一个具有多个块的线性矩阵不等式时，LMI工具箱提供了这样的功能，即只需要确定对角线上和对角线上方的项的内容，或者只描述对角线上和对角线下方的项的内容，其他部分项的内容可以根据线性矩阵不等式的对称性得到。用命令lmiterm每次可以确定线性矩阵不等式的一个项的内容。例如，对线性矩阵不等式0SXBXBSCCXAXATTT可以用以下一组命令来描述lmiterm([111X],1,A,’s’)lmiterm