第6章力矩分配法

结构力学武夷学院环境与建筑工程系STRUCTUREMECHANICS•第六章：力矩分配法前面两章为求解超静定结构的基本方法，这两种方法都要求建立和求解典型方程。为了避免组成和求解方程组，本章引入另一种方法，即渐进法，这是一种逐渐逼近的方法，计算精度随着计算的轮次增加而提高，最后收敛于精确解。渐进法计算的每一步骤都有明确的物理意义，便于掌握和理解。渐进法包括：力矩分配法、无剪力分配法和剪力分配法。其中，力矩分配法、无剪力分配法是以位移法为基础。§6-1力矩分配法的基本概念力矩分配法理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；计算方法：逐次渐近的方法；适用范围：连续梁和无侧移刚架。一、力矩分配法中的几个概念：1.转动刚度Sij：使等截面直杆某杆端旋转单位角度=1时，在该端所需施加的力矩。表示杆端对转动的抵抗能力在数值上=仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。1SAB=4i1SAB=3iSAB=i1SAB=0SAB与杆的线刚度i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承）有关。二、分配系数：杆件ij的转动刚度与汇交于i结点的所有杆件转动刚度之和的比值。§6-1力矩分配法的基本概念2i12Δ14i12Δ1i13Δ1i13Δ1121212112142MiMi3i14Δ1i12i14i132134M1313131131MiMi141414130MiM§6-1力矩分配法的基本概念根据平衡条件12131410MMMMM1212211212131441432iMMMMiii112131443Miii1313311312131443iMMMMiii121441141213143043iMMMMiii1MM12M13M14§6-1力矩分配法的基本概念1转动刚度：梁端发生单位转角产生的弯矩。远端为自由端远端为平行支链杆远端为铰支端远端为固定端0341ikikikikikikiiiSSM2分配系数：与转动刚度成正比1iikiikikikSS3传递系数：近端发生转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值.远端为平行支链杆远端为铰支端远端为固定端1021ikkiikMMC§6-1力矩分配法的基本概念ABCMABMBAMBCABCMFABMFBAMFBCMBMBMFBAMFBCMB=MFBA+MFBCABC-MBBAMBCMABM0-MBBAMBCM)(BBABAMM)(BBCBCMM+=最后杆端弯矩：MBA=MFBA+BAMMBC=MFBC+BCMMAB=MFAB+ABM然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。固端弯矩带本身符号§6-1力矩分配法的基本概念①求固端弯矩；②将会交于结点的固端弯矩之和按分配系数分配给每一个杆端。③各杆按各自的传递系数向远端传递。④将固端弯矩和分配（或传递的弯矩）相加，得杆端最后弯矩。§6-2：单结点的力矩分配——基本运算6-2单结点的力矩分配——基本运算例题固端弯矩-M分配、传递2M/7←4M/73M/7→0杆端弯矩2M/74M/73M/703/74/72M/74M/73M/7M图iiMii例题3/74/7固端弯矩-ql2/8分配、传递2ql2/56←4ql2/563ql2/56→0杆端弯矩2ql2/56←4ql2/56-4ql2/56→0M图4ql2/562ql2/56qiill§6-2：单结点的力矩分配——基本运算例题固端弯矩-3636-180.60.4最后M-39.628.8-28.80分配、传递-3.6←-7.2-10.8→012kN/m2ii16kN6m3m3m39.6M图(kNm)28.8§6-2：单结点的力矩分配——基本运算例题固端弯矩-FPl杆端弯矩FPl/2FPl-FPl0分配、传递FPl/2FPl0ll2iiFP10FPlFPl/2M图§6-2：单结点的力矩分配——基本运算例题30kN/m100kN4mBACDi=2i=1.5i=24m3m2m§6-2：单结点的力矩分配——基本运算222223240.30.423241.5423241.541.5410.3301660kNm23241.54810021002348kNm72kN55ABACADABADDAMMMm↓-2.4-3.6-4.8-3.6→-1.860-487256.4-4.8-51.6→70.270.4BCDAABACAD0.30.40.3§6-2：单结点的力矩分配——基本运算4.8M图(kNm)2.456.451.670.2§6-2：单结点的力矩分配——基本运算-ql2/12-2ql2/60-7ql2/60ql2/12-4ql2/60-ql2/60ql2/60ql2/60-ql2/60ql2/60例题lqlBACiiCA0.80.2M图ql2/607ql2/60§6-2：单结点的力矩分配——基本运算Sik=4iikSik=Kl2Sik=4iikSik=4iikSik=4iik练习ikikikikSik=3iikSik=0KlikikikEI=∞§6-2：单结点的力矩分配——基本运算Mik=-ql2/12Mki=ql2/12qlik§6-2：单结点的力矩分配——基本运算100kNm12kN/m4m4m2Δi练习iiiii4m4m50kNmΔll练习§6-2：单结点的力矩分配——基本运算§6-2多结点的力矩分配ABCDBCMBAMBCMCBMCDMABMBMCmBAmBCmCB-MB放松，平衡了MC’固定放松，平衡了-MC’固定固定放松，平衡了——渐近运算CB例1.用力矩分配法列表计算图示连续梁。ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN61ABi4182BCi61CDi141432614BCBASS6.04.032132BCBA216131414CDCBSS333.0667.02111CDCB0.40.60.6670.333m-6060-100100分配与传递-33.3-66.7-33.429.4442214.7-14.7-7.3-7.34.42.92.2-1.5-0.7-0.70.30.41.50.2-43.692.6-92.641.3-41.3Mij043.692.6133.141.3ABCD21.9M图（kN·m）ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN43.6133.141.321.9M图（kN·m）92.6ABCDABCD51.868.256.443.66.9Q图（kN）求支座反力68.256.4B124.61）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。3）结点不平衡力矩要变号分配。4）结点不平衡力矩的计算：结点不平衡力矩（第一轮第一结点）固端弯矩之和（第一轮第二、三……结点）固端弯矩之和加传递弯矩传递弯矩（其它轮次各结点）总等于附加刚臂上的约束力矩5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。力矩分配法小结：0.2221114321ABCDFEB3.04.03.0BEBCBAC222.0333.0445.0CFCDCBmBA=40kN·mmBC=-41.7kN·mmCB=41.7kN·m0.30.40.30.4450.33340-41.741.7-18.5-9.3-13.9-9.33.33.34.42.2-1.0-0.5-0.7-0.50.150.150.2-4.651.65-0.250.0743.453.45-46.924.4-9.8-14.61.72-4.9043.546.924.514.73.451.79.84.89M图)(mkN例2.4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFEABC1m5m1mEI=常数D50kN5/61/65025-20.8-4.2-20.8+20.8+50例3.带悬臂杆件的结构的力矩分配法50kN·mABMM/2ABC1m5m1mEI=常数D50kN结点C放松一次后不再重新固定4EI4EI2EI2EI用力矩分配法计算，作M图。取EI=5i=4i=4i=2.5i=2.5↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓2kN/m20kN5m5m1m4m20kN20结点杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCmμ0.2630.3160.4210.6150.38500031.25－20.8320.8300(-20)－2.74－3.29－4.39－1.37－2.20MB=31.25－20.83=10.42MC=20.83－20－2.2=－1.370.840.530.270.42－0.10－0.14－0.18－0.05－0.09ABCEF－2.85结点杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCmμ0.2630.3160.4210.6150.38500031.25－20.8320.8300(-20)－2.74－3.29－4.39－1.37－2.200.840.530.270.42－0.10－0.14－0.18－0.05－0.090.060.030.020.03－0.01－0.01－0.01M0－1.4227.80－24.9619.940.560.29计算之前,去掉静定伸臂,将其上荷载向结点作等效平移。有结点集中力偶时,结点不平衡力矩=固端弯矩之和减去结点集中力偶(顺时针为负)6-3多结点的力矩分配——渐进运算杆端弯矩22.90.50.3-100-200/3200/3-1001/21/24/73/710固端弯矩分配与传递分配系数5050→2516.7←33.3-3.6-3.6→-1.8-2.7←-5.47.2←14.310.7→5.41.3←2.61.9→1-0.7-0.6→-0.3-0.5←-145.754.340.340.3100-1008kN/m0.75EI100kNm10kN10mEIEI10m10m10m22.945.754.340.3100100-100-100+50100163218杆端弯矩1/21/216/259/25固端弯矩分配与传递分配系数45.554.540.2-40.2232142421.73.33.4-6.7-13.4-7.60.20.3-1.1-0.6-0.58kN/mEI100kNm10m100kNmABCD10m10mEI0.75EI23465440100100-125125-125125-62.5-62.5-31.2-31.20.50.50.50.515.615.67.87.8-2-3.9-3.9-2110.50.5-0.3-0.2杆端弯矩-116.7141.6-141.6-66.666.6-33.2100kN5m5m100kNEI=常数ABCD5m5m分配与传递结点杆端分配系数固端弯矩ABCDABBABCCBCDDC141.6116.766.633.2250250M图(kNm)5m5m100kNEI=常数ABCD5m5m100kN10m12.5kN5m5m100kNEI=常数ABCD5m5m100kN125kNmABCD部分:弯矩图一样剪力图一样轴力图不一样6-4计算结果的校核fkikikiikkifikkikiikikMiiMMiiM4224ikfkifikkiikiiMMMM32121因为,汇交于同一刚结点的各杆转角都相等,所以,都应满足上式.消去远端转角k平衡条件:每次分配时,自然满足变形协调条件:分配系数0.60.40.50.5固端弯矩90-250250-187.5112.5分配与传递96