第二十四章相似三角形单元教学研究

第二十四章相似三角形单元教学研究一、本单元教学总目标：1、经历对形状相同图形从直观感知到数学抽象的过程，通过实物图形的放缩，了解相似形的意义。2、知道两条线段的比的意义，理解比例线段及其有关概念，掌握比例的性质；知道黄金分割的意义。3、掌握三角形一边平行线的性质定理和判定定理，掌握平行线分线段成比例定理；知道三角形的重心及其性质。二、本单元知识结构框架：第二十四章相似三角形第二节一、比例线段第一节放缩与相似形如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例如果a：b=c：d，那么（a+b）：b=（c+d）：d①如果a：b=c：d，那么（a-b）：b=（c-d）：d②结论①、②叫做比例的合比性质如果a：b=c：d=k，那么（a+c）：（b+d）=a：b=c：d=k③结论③叫做比例的等比性质如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP＞PB）两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P称为线段AB的黄金分割点AP与AB的比值（根号5-1）：2称为黄金分割数（黄金数）。黄金分割数是一个无理数，近似值为0.618三角形一边的平行线三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得三角形的三边与原三角形的三边对应成比例三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等第2页共11页二、本单元教学重点：引进两条线段的比和比例线段；导出比例线段的性质并进行初步的运用。学生通过例题学习，体验在一定条件下三角形的面积比与线段比相互转化的过程；了解黄金分割的意义。引进三角形一边的平行线性质定理，学生经历这个定理的导出和证明过程，并初步掌握它的运用。引进三角形一边的平行线性质定理的推论和三角形的重心及其性质。导出三角形一边的平行线判定定理及其推论，并进行初步运用。导出平行线分线段成比例定理，并进行初步运用。三、本单元教学难点：1、通过对图形放缩运动的探究，认识缩放运动中的不变量，知道相似多边形的特征及相似形与全等形的关系。2、合比、等比性质的运用。3、熟练并灵活运用黄金分割的意义解题。4、三角形一边的平行线性质定理的理解和应用.5、成比例的线段中，对应线段的确认.6、三角形一边的平行线性质定理推论的理解和应用；7、三角形一边的平行线性质定理推论和性质定理的联系和区别；8、三角形的重心的性质.9、三角形一边的平行线的判定定理10、三角形一边的平行线的判定定理的应用.11、平行线分线段成比例定理及其推论的应用和选择合适的定理解决问题.四、突破难点的方法：24.1放缩与相似形：在学生对“形状相同”已经有了一定的认识基础上，通过实物图形，感知生活中有很多这样的图形，它们形状相同但大小不一定相同。引进图形的放缩运动，进一步认识形状形同的图形，理解相似形的概念；得到两个多边形相似其实是它们的对应角相等、对应边的长度成比例，初步认识相似多边形的本质和放缩运动中不变量。通过例题教学解决了如何寻找对应角和对应边及相关计算；理解放缩是对应角度不变化而对应各边的长度“同样程度”地放缩。24.2比例线段：本节主要由四部分组成，第一部分是有关线段比例的基本概念和性质及相关的计算；第二部分是比例的拓展性质；第三部分是线段的比例中项问题；第四部分是黄金分割及黄金数的有关知识。本节在已经学过比例的基本性质，首先利用类比的方法使学生得到了线段的有关比和比例的基本性质。在此过程中特别强调线段的比实际也是和数字有关的，帮助学生能够过渡好。第3页共11页本节另一研究对象是“黄金分割”，采用从“美学”——“数学”的逻辑顺序去阐述这个课题，提高学生探究的兴趣。并且引用了四个生活中的例子，使学生在不断享受“美”的过程中掌握知识，体验数学的社会功能。24.3三角形一边的平行线：本节主要由四部分组成，第一部分是有关三角形一边的平行线性质定理及相关的计算；第二部分是三角形一边的平行线性质定理推论和三角形重心的概念及其性质的应用；第三部分是三角形一边的平行线的判定定理及推论；第四部分平行线分线段成比例和平行线等分线段定理及相关的计算。第一部分三角形一边的平行线对学生而言是全新的知识，在学生的知识结构中，平行线只能推出角的关系，而本节课平行线还可以推出比例式。这节课学生较难理解，讲课中应将对应线段成比例要解释清楚，由平行能推出几个比例式要写出来。本节课要注重过程教学，让学生真正理解定理.第二部分内容是三角形一边的平行线性质定理推论和三角形重心的概念及其性质的应用，知识难度较高，因此，在课堂教学过程中，尽量采用学生能够解决的就让学生自己去解决，学生困难的，教师加以引导，帮助学生完成学习任务。在练习配备方面，三角形重心的应用应增加例题，让学生会利用重心的定义和性质去解决数学问题，并能从中体会出利用重心性质解决问题时的常规添线方法。在学生练习过程中，允许学生在独立完成问题的基础上，开展交流、探讨活动，教师进行巡回辅导，帮助学困生解决.第三部分内容是三角形一边平行线的判定定理，是第一节课性质定理的逆定理，课堂上通过三角形中位线定理复习和推广，引出三角形一边平行线的判定定理。第三部分内容是三角形一边平行线的最后两个定理，而平行线分线段成比例定理的图形有很多变形，这节课把几种变形列举出来，让学生学会识图。平行线分线段成比例定理形象的称之为“井字型”定理，这个定理的图形变化很多，可以把前面学过的定理图形全部变形出来.要让学生熟悉不同的图形用相同的定理可以得到相同的比例式，相同的图形用不同的定理得到不同的结论.六、本单元课时安排：24.1放缩与相似形1课时24.2比例线段2课时24.3三角形一边的平行线4课时七、知识点学习要求：（各学科根据学科特点做不同的处理）学习内容能力要求典型例题备注第二十四24.1放缩与相似形如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的经历对形状相同图形从直观感知到数学抽象的过程，通过实物图形例题如图，△ABC与△DEF是相似图形，且点A与点D对应，点B与E对应，点C与点F对应AB=1.7cm,BC=2.9cm,AC=3.7cm,DE=3.4cm,50,70AB求DF,EF的第4页共11页ABCDEG章相似三角形对应角相等，对应边的长度成比例的放缩，了解相似形的意义长度,并求∠C,∠D,∠E,∠F的度24.2比例线段线段比例的基本概念和性质及相关的计算.1.知道两条线段比的意义.2.理解比例线段及其有关概念.3.知道比例线段的性质.4.掌握合比和等比性质,能结合具体图形进行简单的比例线段变形.例：已知：，求证：.例题3已知：ECAEDBAD求证：（1）ECACDBAB；（2）AEACADAB线段的比例中项问题；黄金分割及黄金数的有关知识.1.会运用同高(或等高)的两个三角形的面积之比等于对应底边的比,进行三角形的面积比与线段比的转化.2.在比例线段性质的证明与运用过程中,体会方程思想的作用.3.会找出一条线段的黄金分割点，找出一个图形中的黄金分割点.4.经历黄金分割点的探索过程，从中体会转化、分类讨论的思想方法.例题1如图，线段AB的长度是l，点P为线段AB上的一点，ABAPAPPB，求线段AP的长.24.3三角形一边的平行线三角形一边的平行线性质定理及相关的计算1.通过对三角形中位线的概念与性质的分析,从特殊到一般，提出关于三角形一边平行线的研究问题；2.经历运用分类思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学地思考的策略；3.掌握三角形一边的平行线性质定理的应用.例题如图,已知DE∥BC,AB=15,AC=10,BD=例题CE.如图，在⊿ABC,DG∥EC,EG∥BC,求证：2AE=AB·AD.ABCDEABCDE第5页共11页GABCEF三角形一边的平行线性质定理推论和三角形重心的概念及其性质的应用1.经历三角形一边的平行线性质定理推论的推导；2.掌握三角形一边的平行线性质定理推论的应用；3.理解该定理的不同图形情况，并能灵活运用4.了解三角形的重心的意义和性质并能应用它解题.例1如图，线段BD与CE相交于点A,DE∥BC,已知2BC=3ED,AC=8,求AE的长.，例2已知：如图CFBE,是ABC的中线，交于点G求证：21GCGFGBGE.例3已知：在RtABC中，∠090C，AEBDAB,,12是中线交于G点，求CG的长.例4已知：在RtABC中，∠090C，GBCAB,4,5是重心，GHAB于H，求GH的长.三角形一边的平行线的判定定理及推论掌握三角形一边的平行线的判定定理；能运用该定理证明有关两直线平行的问题.1.已知：如图，点D,F在ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE//BCABADADAF求证：EF∥DC.BCDEFA2.如图，已知：AC∥A′C′，BC∥B′C′;求证：AB∥A′B′.黄金分割及黄金数的有关知识本节课主要讲平行线分线段成比例定理和它的推论的证明和应用，要使学生学会并且不要和前面的定理混淆.例题1如图AD∥BE∥CF，AB=3，AC=8，DF=10，求DE,EF的长.例题2已知线段a,b,c,求作线段x,使a:b=c:xADBEC第6页共11页八、拓展题或补充材料第7页共11页一、填空题：1、若bmma2,3，则_____:ba。2、在比例尺为1∶10000的地图上,相距5厘米的两地A、B的实际距离米。3、已知653zyx，且623zy，则__________,yx。4、在Rt△ABC中，斜边长为c，斜边上的中线长为m，则______:cm。5、反向延长线段AB至C，使AC＝21AB，那么BC：AB＝。6、点P是线段AB的黄金分割点，AB=10，则AP＝。如果a=3cm，c=13cm，则a与c的比例中项是。7、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若∠A＝30°，则BD：BC＝。若BC＝6，AB＝10，则BD＝，CD＝。第6题图第7题图第8题图8、如图，梯形ABCD中，DC∥AB，DC＝2cm，AB＝3.5cm，且MN∥PQ∥AB，DM＝MP＝PA，则MN＝，PQ＝。9、如图，四边形ADEF为菱形，且AB＝14厘米，BC＝12厘米，AC＝10厘米，那BE＝厘米。10、梯形的上底长1.2厘米，下底长1.8厘米，高1厘米，延长两腰后与下底所成的三角形的高为厘米。二、选择题：11、下面四组线段中，不能成比例的是（）A、4,2,6,3dcbaB、3,6,2,1dcbaC、10,5,6,4dcbaD、32,15,5,2dcba12、等边三角形的中线与中位线长的比值是（）A、1:3B、2:3C、23:21D、1：3CBDADCMPNQABADBFEC第8页共11页13、已知754zyx，则下列等式成立的是（）A、91yxyxB、167zzyxC、38zyxzyxD、xzy314、已知直角三角形三边分别为babaa2,,，0,0ba，则ba:（）A、1：3B、1：4C、2：1D、3：115、△ABC中，AB＝12，BC＝18，CA＝24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是（）A、27B、12C、18D、2016、已知cba,,是△ABC的三条边，对应高分别为cbahhh,,，且6:5:4::cba，那么cbahhh::等于（）A、4：