第二章数列单元检测(人教A版必修5)

第二章数列一、选择题1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若63SS＝13，则126SS＝()．A．310B．13C．18D．192．数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7，则有()．A．a3＋a9＜b4＋b10B．a3＋a9≥b4＋b10C．a3＋a9≠b4＋b10D．a3＋a9与b4＋b10的大小不确定3．在等差数列{an}中，若a1003＋a1004＋a1005＋a1006＝18，则该数列的前2008项的和为()．A．18072B．3012C．9036D．120484．△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为23，那么b＝()．A．231B．1＋3C．232D．2＋35．过圆x2＋y2＝10x内一点(5，3)有k条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为数列的末项ak，若公差d∈2131，，则k的取值不可能是()．A．4B．5C．6D．76．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是()．A．15B．30C．31D．647．在等差数列{an}中，3(a2＋a6)＋2(a5＋a10＋a15)＝24，则此数列前13项之和为()．A．26B．13C．52D．1568．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于()．A．160B．180C．200D．2209．在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于()．A．2n＋1－2B．3nC．2nD．3n－110．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝41，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝()．A．16(1－4－n)B．16(1－2－n)C．332(1－4－n)D．332(1－2－n)二、填空题11．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为.12．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q＝_____.13．已知数列{an}中，an＝1221－nn则a9＝(用数字作答)，设数列{an}的前n项和为Sn，则S9＝(用数字作答).14．已知等比数列{an}的前10项和为32，前20项和为56，则它的前30项和为．15．在等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝8，a4＋a5＋a6＝－4，则a13＋a14＋a15＝，该数列的前15项的和S15＝.16．等比数列{an}的公比q＞0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝．三、解答题17．设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，且21S＝9S2，S4＝4S2，求数列{an}的通项公式．(n为正奇数)(n为正偶数)18．设{an}是一个公差为d(d≠0)的等差数列，它的前10项和S10＝110且a1，a2，a4成等比数列．(1)证明a1＝d；(2)求公差d的值和数列{an}的通项公式.19．在等差数列{an}中，公差d≠0，a1，a2，a4成等比数列．已知数列a1，a3，1ka，2ka，…，nak，…也成等比数列，求数列{kn}的通项kn．20．在数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1．(1)设bn＝an＋1－2an，求证数列{bn}是等比数列；(2)设cn＝nna2，求证数列{cn}是等差数列；(3)求数列{an}的通项公式及前n项和的公式.参考答案一、选择题1．A解析：由等差数列的求和公式可得63SS＝dada1563311＋＋＝31，可得a1＝2d且d≠0所以126SS＝dada661215611＋＋＝dd9027＝103．2．B解析：解法1：设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d，由a6＝b7，即a1q5＝b7．∵b4＋b10＝2b7，∴(a3＋a9)－(b4＋b10)＝(a1q2＋a1q8)－2b7＝(a1q2＋a1q8)－2a1q5＝a1q2(q6－2q3＋1)＝a1q2(q3－1)2≥0．∴a3＋a9≥b4＋b10．解法2：∵a3·a9＝a26，b4＋b10＝2b7，∴a3＋a9－(b4＋b10)＝a3＋a9－2b7．又a3＋a9－293aa＝(3a－9a)2≥0，[∴a3＋a9≥293aa·．∵a3＋a9－2b7≥293aa－2b7＝2a6－2a6＝0，∴a3＋a9≥b4＋b10．3．C解析：∵a1＋a2008＝a1003＋a1006＝a1004＋a1005，而a1003＋a1004＋a1005＋a1006＝18，a1＋a2008＝9，∴S2008＝21(a1＋a2008)×2008＝9036，故选C．4．B解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，又S△ABC＝21acsin30°＝23，∴ac＝6，∴4b2＝a2＋c2＋12，a2＋c2＝4b2－12，又b2＝a2＋c2－2accos30°＝4b2－12－63，∴3b2＝12＋63，b2＝4＋23＝(1＋3)2．∴b＝3＋1．5．A解析：题中所给圆是以(5，0)为圆心，5为半径的圆，则可求过(5，3)的最小弦长为8，最大弦长为10，∴ak－a1＝2，即(k－1)d＝2，k＝d2＋1∈[5，7]，∴k≠4．6．A解析：∵a7＋a9＝a4＋a12＝16，a4＝1，∴a12＝15．7．A解析：∵a2＋a6＝2a4，a5＋a10＋a15＝3a10，∴6a4＋6a10＝24，即a4＋a10＝4，∴S13＝2＋13131)(aa＝2＋13104)(aa＝26．8．B解析：∵78＝＋＋24＝－＋＋209118321aaaaaa∴(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝54，即3(a1＋a20)＝54，∴a1＋a20＝18，∴S20＝2＋20201)(aa＝180．9．C解析：因数列{an}为等比数列，则an＝2qn－1．因数列{an＋1}也是等比数列，则(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)21＋na＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2an＋an＋2＝2an＋1an(1＋q2－2q)＝0(q－1)2＝0q＝1．由a1＝2得an＝2，所以Sn＝2n．10．C解析：依题意a2＝a1q＝2，a5＝a1q4＝41，两式相除可求得q＝21，a1＝4，又因为数列{an}是等比数列，所以{an·an＋1}是以a1a2为首项，q2为公比的等比数列，根据等比数列前n项和公式可得222111qqaan－)－(＝332(1－4－n)．二、填空题11．－2．解析：当q＝1时，Sn+1＋Sn+2＝(2n＋3)a1≠2na1＝2Sn，∴q≠1．由题意2Sn＝Sn+1＋Sn+2Sn+2－Sn＝Sn－Sn+1，即－an+1＝an+2＋an+1，an+2＝－2an+1，故q＝－2．12．1．解析：方法一∵Sn－Sn－1＝an，又Sn为等差数列，∴an为定值．∴{an}为常数列，q＝1nnaa＝1．方法二：an为等比数列，设an＝a1qn－1，且Sn为等差数列，∴2S2＝S1＋S3，2a1q＋2a1＝2a1＋a1＋a1q＋a1q2，q2－q＝0，q＝0(舍)q＝1.所以答案为1．13．256，377．解析：a9＝28＝256，S9＝(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＋(a2＋a4＋a6＋a8)＝(1＋22＋24＋26＋28)＋(3＋7＋11＋15)＝341＋36＝377．14．74．解析：由{an}是等比数列，S10＝a1＋a2＋…＋a10，S20－S10＝a11＋a12＋…＋a20＝q10S10，S30－S20＝a21＋a22＋…＋a30＝q20S10，即S10，S20－S10，S30－S20也成等比数列，得(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，得(56－32)2＝32(S30－56)，∴S30＝3232－562)(＋56＝74．15．21，211．解析：将a1＋a2＋a3＝8，①a4＋a5＋a6＝－4．②两式相除得q3＝－21，∴a13＋a14＋a15＝(a1＋a2＋a3)q12＝8·421－＝21，S15＝21＋121－－185＝211．16．152．解析：由an+2＋an+1＝6an得qn+1＋qn＝6qn－1，即q2＋q－6＝0，q＞0，解得q＝2，又a2＝1，所以a1＝21，S4＝2121214－)－(＝152．三、解答题17．解析：设等差数列{an}的公差为d，由前n项和的概念及已知条件得a21＝9(2a1＋d)，①4a1＋6d＝4(2a1＋d)．②由②得d＝2a1，代入①有21a＝36a1，解得a1＝0或a1＝36．将a1＝0舍去．因此a1＝36，d＝72，故数列{an}的通项公式an＝36＋(n－1)·72＝72n－36＝36(2n－1)．18．解析：(1)证明：因a1，a2，a4成等比数列，故22a＝a1a4，而{an}是等差数列，有a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d，于是(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即21a＋2a1d＋d2＝21a＋3a1d．d≠0，化简得a1＝d．(2)由条件S10＝110和S10＝10a1＋d2910，得到10a1＋45d＝110，由(1)，a1＝d，代入上式得55d＝110，故d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n．因此，数列{an}的通项公式为an＝2n(n＝1，2，3，…)．19．解析；由题意得22a＝a1a4，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，d(d－a1)＝0，又d≠0，∴a1＝d．又a1，a3，1ka，2ka，…，nak，…，成等比数列，∴该数列的公比为q＝13aa＝dd3＝3，∴nak＝a1·3n+1．又nak＝a1＋(kn－1)d＝kna1，∴kn＝3n+1为数列{kn}的通项公式．20．解析：(1)由a1＝1，及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3．由Sn＋1＝4an＋2①，则当n≥2时，有Sn＝4an－1＋2．②②－①得an＋1＝4an－4an－1，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)．又∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1．∴{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．∴bn＝3×2n－1．(2)∵cn＝nna2，∴cn＋1－cn＝112nna－nna2＝1122nnnaa＝12nnb＝11223nn＝43，c1＝21a＝21，∴{cn}是以21为首项，43为公差的等差数列．(3)由(2)可知数列nna2是首项为21，公差为43的等差数列．∴nna2＝21＋(n－1)43＝43n－41，an＝(3n－1)·2n－2是数列{an}的通项公式．设Sn＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n－1)·2n－2．Sn＝2Sn－Sn＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n－2)＋(3n－1)·2n－1＝－1－3×12121－－－n＋(3n－1)·2n－1＝－1＋3＋(3n－4)·2n－1＝2＋(3n－4)·2n－1．∴数列{an}的前n项和公式为Sn＝2＋(3n－4)·2n－1．