第二章连续时间系统的时域分析

第二章连续时间系统的时域分析§2.1引言系统分析过程§2.2系统微分方程的建立与求解§2.2系统微分方程的建立与求解主要内容一．物理系统的模型二．微分方程的列写三．n阶线性时不变系统的描述四．求解系统微分方程的经典法经典法几种典型激励函数相应的特解例2-2-1例2-2-3例2-2-4(2)§2.3起始点的跳变电容电压的突变电感电流的突变冲激函数匹配法确定初始条件一．起始点的跳变说明1．电容电压的突变例2-3-2例2-3-3(2)§2.4零输入响应和零状态响应起始状态与激励源的等效转换系统响应划分对系统线性的进一步认识一．起始状态与激励源的等效转换电容器的等效电路电感的等效电路二．系统响应划分各种系统响应定义求解三．对系统线性的进一步认识§2.5冲激响应和阶跃响应冲激响应阶跃响应2．阶跃响应与冲激响应的关系求冲激响应的几种方法例2-5-1一阶系统的冲激响应求解方法1：求§2.６卷积卷积利用卷积积分求系统的零状态响应卷积图解说明卷积积分的几点认识一．卷积（Convolution）二．利用卷积求系统的零状态响应三．卷积的计算卷积的图解说明四．对卷积积分的几点认识总结例2-6-2浮动坐标t?-1-1?t?11?t?22?t?4t?4卷积结果积分上下限和卷积结果区间的确定§2.7卷积的性质代数性质微分积分性质与冲激函数或阶跃函数的卷积微积分性质的证明证明交换律时两波形有公共部分，积分开始不为0，积分下限-1，上限t，t为移动时间;即1?t?2即2?t?4即t?4t-3?1[A,B][C,D][A+C,B+D]一般规律：上限下限当或为非连续函数时，卷积需分段，积分限分段定。上限取小，下限取大(1)积分上下限(2)卷积结果区间-1+1在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。即可以将原始储能看作是激励源。电容器的等效电路电感的等效电路电路等效为起始状态为零的电容器与电压源的串联等效电路中的电容器的起始状态为零故电路等效为起始状态为零的电感L和电流源的并联。自由响应＋强迫响应(Natural+forced)零输入响应＋零状态响应(Zero-input+Zero-state)暂态响应+稳态响应(Transient+Steady-state)也叫固有响应，由系统本身特性决定的，和外加激励形式无关。对应于齐次解。形式取决于外加激励。对应于特解。是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间t增加，它将消失。由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。(1)自由响应：(2)暂态响应：稳态响应：强迫响应：(3)零输入响应：零状态响应：系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统状态值决定的初始值求出待定系数。系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由状态值为零决定的初始值求出待定系数。求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷积积分法。系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积，即r(t)=e(t)*h(t)由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的，(1)响应可分解为：零输入响应＋零状态响应。(2)零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。(3)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性系统在单位冲激信号作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。一．冲激响应1．定义2．一阶系统的冲激响应3．n阶系统的冲激响应响应及其各阶导数(最高阶为n次)3．n阶系统的冲激响应(1)冲激响应的数学模型对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示激励及其各阶导数(最高阶为m次)令e(t)=?(t)则r(t)=h(t)(2)h(t)解答的形式设特征根为简单根（无重根的单根）由于及其导数在时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。②与n，m相对大小有关①与特征根有关二．阶跃响应系统的输入，其响应为。系统方程的右端将包含阶跃函数，所以除了齐次解外，还有特解项。我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶跃响应关系求阶跃响应。系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。1．定义线性时不变系统满足微、积分特性方法1：冲激函数匹配法求出跃变值，定系数A。方法2：奇异函数项相平衡法，定系数A。方法3:齐次解法求冲激响应总结?冲激响应的求解至关重要。再一次明确冲激响应的定义零状态；单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励，看响应。不同说明其系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。用变换域(拉氏变换)方法求冲激响应和阶跃响应会简捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。列系统微分方程：求下图RC电路的冲激响应.（条件：）冲激在时转为系统的储能（由体现），t0时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统的冲激响应。齐次方程特征方程特征根下面的问题是确定系数A,求A有两种方法：方法2：奇异函数项相平衡法，定系数A。方法1：冲激函数匹配法求出，定系数A。即:A=1/RC波形波形电容器的电流在t=0时有一冲激，这就是电容电压突变的原因注意！据方程可设代入方程得得出所以方法2：奇异函数项相平衡原理代入原方程?RCA=1?A=1/RC整理，方程左右奇异函数项系数相平衡已知方程冲激响应求导注意！利用卷积可以求解系统的零状态响应．任意信号e(t)可表示为冲激序列之和这就是系统的零状态响应．由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷积的积分限会有所变化．卷积积分中积分限的确定是非常关键的．借助于阶跃函数u(t)确定积分限；利用图解说明确定积分限用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出定积分限尤为方便准确，用解析式法作容易出错，最好将两种方法结合起来。(1)t：观察响应的时刻，是积分的参变量；?:信号作用的时刻，积分变量从因果关系看，必定有(2)分析信号是手段，卷积中没有冲激形式，但有其内容；即d?f(?)是h(t-?)的加权，积分??f(?)是h(t-?)的加权，求和?(t-?)的响应(3)卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h(t)建立了响应r(t)与激励e(t)之间的关系。(4)卷积是数学方法，也可运用于其它学科信号无起因时：一般数学表示：(5)积分限由存在的区间决定，即由的范围决定。求解响应的方法：时域经典法：双零法：零输入响应：零状态响应：完全解=齐次解+特解解齐次方程，用初（起）始条件求系数；X浮动坐标：下限上限t-3t-0t：移动的距离t=0f2(t-?)未移动t0f2(t-?)右移t0f2(t-?)左移-11两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0系统数学模型的时域表示时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。本课程中我们主要讨论输入、输出描述法。经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与?(t)有关的问题有待进一步解决--h(t)；卷积积分法:任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。(新方法)本章主要内容线性系统完全响应的求解；冲激响应h(t)的求解；卷积的图解说明；卷积的性质；零状态响应=f(t)*h(t)。物理系统的模型微分方程的列写n阶线性时不变系统的描述求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法许多实际系统可以用线性系统来模拟。若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻，电容，电感各自的电压与电流的关系，以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL,KVL.一个线性系统，其激励信号与响应信号之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。分析系统的方法：列写方程，求解方程。求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。我们一般将激励信号加入的时刻定义为0，响应为时的方程的解，初始条件齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式注意重根情况处理方法。特解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。初始条件的确定是此课程要解决的问题。全解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解。激励函数e(t)响应函数r(t)的特解()tisRRiLLiCciab+-()tv电感电阻电容根据KCL代入上面元件伏安关系，并化简有这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。求并联电路的端电压与激励间的关系。系统的特征方程为特征根：因而对应的齐次解为如果已知：分别求两种情况下此方程的特解。给定微分方程式为使等式两端平衡，试选特解函数式将此式代入方程得到等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有联解得到所以，特解为这里，B是待定系数。代入方程后有：我们来进一步讨论的条件。当系统用微分方程表示时，系统的到状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含及其各阶导数项。一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：对于一个具体的电网络，系统的状态就是系统中储能元件的储能情况;但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于电感，状态就会发生跳变。由伏安关系当有冲激电流或阶跃电压作用于电容时：例2-3-1电流为冲激2．电感电流的突变如果为有限值，冲激电