第二章随机过程的概念

第二章随机过程的概念第二章随机过程的概念与基本类型随机过程的定义1随机过程的数字特征2复随机过程3几种重要的随机过程42019/12/192随机数学的研究对象信息工程大学四院六教概率空间随机变量RnR¥R随机过程随机向量映射的值域2.1随机过程的定义——引例2019/12/194例2.1生物群体的增长问题在描述群体的发展或演变过程中，以表示在时刻t群体的个数，则对每个固定的t，是一个随机变量。假设从t=0开始每隔一天对群体的个数观察一次，则是随机过程。tX{,0,1,}tXt=LtX例2.2某电话交换台在时间段[0,t]内接到的呼唤次数是与t有关的随机变量，对于固定的t，是一个取非负整数的随机变量。而t变动时，是随机过程。tXtX{,[0,)}tXt??2019/12/1952.1随机过程的定义——引例例2.3某交通路口在[0,t]内通过的车辆数是一个与t有关的随机变量。对于固定的t，是一个取非负整值的随机变量。而t变动时，是随机过程。tX{,[0,)}tXt??tX2019/12/1962.1随机过程的定义——引例2.1随机过程的定义定义1：设是概率空间，T是给定的指标集，若对T中的每个t，有一个随机变量X(t,e)与之对应，则称是上的随机过程，简记为我们常把t解释成时间，并称X(t)是过程在时刻t的状态。T称为参数集或指标集，每个t对应一个随机变量；X(t)的所有可能状态（所有可能取值）所构成的集合称为状态空间或相空间，记为I。2019/12/197{(,),}XtetTÎ(,F,)PW(,F,)PW{(),}XttTÎ如果参数集T是一个可数集，则称为一个离散时间的随机过程；而如果T是一个连续集，则称它为连续时间过程。称随机过程为实值（复值）的，如果其状态空间I是实值（复值）的。TX2.1随机过程的定义2019/12/198{(),}XttTÎ随机过程具有二重性：(1)随机性：当t固定时，是上之随机变量；(2)函数特性：当e固定时，是定义在T上的普通实值函数，称其为随机过程对于e的样本函数（轨道、实现）。(,)Xt×(,)Xe×(,F,)PW2019/12/199理解随机过程T中有多少元素，随机过程就含有多少个随机变量！Ω中有多少基本事件，随机过程就有多少个样本函数！理解随机过程随机过程是普通函数概念的推广普通函数随机过程2019/12/1910:()fRRtft®a:()所有随机变量构成的集合TXTtXt®a确定的实数随机变量理解随机过程的定义随机过程是时间t的“函数”在任意时刻观察，它是一个随机变量2019/12/19111.依据随机过程单样本值为随机变量的特点，相应的研究内容包括：连续型随机过程离散型随机过程具体的研究对象包括：均值、方差、协方差、有限维联合分布等。2019/12/1912随机过程的研究范围2.依据随机过程的函数特性，相应的研究内容应包括：时间上的相关性连续性与离散性随机过程的导数微分、积分、卷积、级数展开微分方程、积分方程等。2019/12/1913随机过程的研究范围3.依据随机过程的二重性的联合特征，相应的研究内容应包括：互相关函数空间的遍历性时域平均与集总平均的关系随机抽样、滤波理论估计与预测方法等。2019/12/1914随机过程的研究范围（一）根据参数集T及状态空间I是离散或连续，可把随机过程分为以下四种类型：T和I都是离散的;T连续，I离散；T离散，I连续；T和I都连续。2019/12/1915随机过程的分类例信息工程大学四院六教例2.1生物群体的增长问题在描述群体的发展或演变过程中，以表示在时刻t群体的个数，则对每个固定的t，是一个随机变量。假设从t=0开始每隔一天对群体的个数观察一次，则是随机过程。tX{,0,1,}tXt=LtX（二）根据之间的关系，可将随机过程分为几个研究较多且用途较广的主要类型：马尔可夫过程独立增量过程;平稳过程；鞅过程；……()Xt2019/12/1917随机过程的分类随机过程的分布函数定义2.2设是随机过程，对任意和随机向量的分布函数为2019/12/1918如何用分布函数刻画随机过程？{(),}XttTÎ1n³12,,,,ntttTÎL()12(),(),,()nXtXtXtL12,,,121122(,,,){(),(),,()}ntttnnnFxxxPXtxXtxXtx=＃?LLL随机过程的分布函数这些分布函数的全体称为的有限维分布函数族。2019/12/191912,,,1212{(,,,):,,,,1}ntttnnFFxxxtttTn=纬LLL{(),}XttTÎ随机过程有限维分布函数族Kolmogorov定理定理2.1对应关系随机过程的分布函数——例例：设是参数为p的Bernoulli独立同分布序列，其和过程表示前n次试验中某事件发生的次数，称为二项计数过程。则其一维概率分布列为2019/12/1920()Xn1()()niSnXi==å{()}(1),0kknknPSnkCppkn-==-＃随机过程的分布函数——例其二维分布列为2019/12/19212112222111122112121{(),()}{()}{()}(1)kkkknknnnPSnkSnkPSnkPSnnkkCCpp---====-=-=-第二章随机过程的概念与基本类型随机过程的定义1随机过程的数字特征2复随机过程3几种重要的随机过程42019/12/19222.2随机过程的数字特征可能难以得到随机过程的分布函数簇；许多实际问题只需要知道随机变量的某些特征就足够了。2019/12/1923数字特征分布函数定义：设是随机过程，如果对任意存在，则称函数{(),}TXXttT=?,(())tTEXtÎ()(())XmtEXt=为的均值函数。TX2019/12/19242.2随机过程的数字特征若对任意存在，则称为二阶矩过程。2,(())tTEXtÎTX(,)[(()())(()())],XXBstEXsmsXtmtstT=--?为的协方差函数。TX为的方差函数。TX2()(,)[()()],XXXDtBttEXtmttT==-?2019/12/1925此时，称(,)[()()],,XRstEXsXtstT=?为的相关函数。TX2.2随机过程的数字特征2.2随机过程的数字特征协方差与相关函数的关系特别地，当时，有2019/12/1926(,)(,)()()XXXXBstRstmsmt=-()0Xmtº(,)(,).XXBstRst=2.2随机过程的数字特征由Schwarz不等式知，二阶矩过程的协方差函数和相关函数一定存在！2019/12/1927为什么只对二阶矩过程定义方差和协方差？222(()())(())(())EXtXsEXtEXs轾祝?犏臌和分别描述随机过程在时刻t时的平均值及离散度，一般都是t的函数；()Xmt()XDt和则反映了随机过程在时刻s和时刻t的线性相关程度。(,)XBst(,)XRst2019/12/1928理解数字特征2.2随机过程的数字特征——应用例例2.5设随机过程其中，Y，Z是相互独立的随机变量，且求的均值函数和协方差函数。()cos()sin(),0,XtYtZttqq=+20,,EYEZDYDZs===={(),0}Xtt()Xmt(,)XBst2019/12/19292.2随机过程的数字特征——应用例解：由数学期望的性质()()[cos()sin()]cos()sin()0XmtEXtEYtZttEYtEZqqqq==+=+=222(,)[()()]{[cos()sin()][cos()sin()]}cos()cos()()sin()sin()()cos[()]XRstEXsXtEYsZsYtZtstEYstEZtsqqqqqqqqsq==++=+=-因为Y与Z相互独立，故2019/12/1930两个随机过程的数字特征定义2.4设是两个二阶矩过程，则称为的互协方差函数；为的互相关函数2019/12/1931{(),},{(),}XttTYttT挝(,)[(()())(()())],,XYXYBstEXsmsYtmtstT--Î@{(),},{(),}XttTYttT挝(,)[()()]XYRstEXsYt@{(),},{(),}XttTYttT挝如果对任意的,有两个随机过程的数字特征,stTÎ(,)0,XYBst=则称与互不相关.互协方差函数与互相关函数的关系2019/12/1932{(),}XttTÎ{(),}YttTÎ(,)(,)()()XYXYXYBstRstmsmt=-第二章随机过程的概念与基本类型随机过程的定义1随机过程的数字特征2复随机过程3几种重要的随机过程42019/12/19332.3复随机过程定义定义2.5设和是取实数值的两个随机过程，若对任意其中,则称为复随机过程。()()(),ZtXtiYt=+1i=-{(),}ZttTÎtTÎ2019/12/1934{(),}XttTÎ{(),}YttTÎ引入：数学上的推广，工程技术上的需要当和是二阶矩过程时，均值函数、方差函数和协方差函数的定义如下：{}(),ZttTÎ()()()(),ZmtEZtEXtiEYt==+()()2|()|ZZDtEZtmt轾=-犏臌()()()()()(),ZZEZtmtZtmt轾=--犏臌{(),}XttT{(),}YttT2019/12/19352.3复随机过程由定义，易见(),()().ZRstEZsZt轾=犏臌()()()()(),()(),ZZZBstEZsmsZtmt轾=--犏臌()()()(),,.ZZZZBstRstmsmt=-2019/12/19362.3复随机过程2.3复随机过程例：定义复随机过程其中Y是一个均值为零，方差为的实随机变量，为给定的常数，求该随机过程的数字特征。解：2019/12/1937()(),itXtYelq+=?,lq()()()()0;itXmtEXtEYelq+==?()()()2()(,)(,).isitXXistBstRstEYeYeelqlqls++-==?=2s定义：两个复随机过程，的互相关函数定义为{}tX()(),.XYstRstEXY=()()(),.XYSXtYBstEXmsYmt轾轾=--犏犏臌臌{}tY互协方差函数定义为2019/12/19382.3复随机过程第二章随机过程的概念与基本类型随机过程的定义1随机过程的数字特征2复随机过程3几种重要的随机过程42019/12/19391、正交增量过程定义2.6设是零均值的二阶矩过程,若对任意的,有则称为正交增量过程.1234ttttT??2143()()()()0,(2.5)EXtXtXtXt轾轾--=犏犏臌臌{(),}XttTÎ{(),}XttTÎ2019/12/1940定义2.7设是随机过程,若对任意的正整数n和,随机变量是相互独立的,则称是独立增量过程,又称可加过程。12ntttT?L21321()(),()(),,()()nnXtXtXtXtXtXt----L2、独立增量过程{(),}XttTÎ{(),}XttTÎ2019/12/19411t2t1nt-nt3tL21()()XtXt-1()()nnXtXt--注：1.独立增量过程的特点是：它在任一个时间间隔上过程状态的改变不影响任一个与它不相重叠的时间间隔上状态的改变。2.正交增量过程与独立增量过程都是根据不相重叠的时间区间上增量的统计相依性来定义的,前者增量是互不相关,后者增量是相互独立。2、独立增量过程2019/12/1942定义2.8设是随机过程,若对任意,随机变量的分布仅依赖于,则称是平稳增量过程。stts-3、平稳增量过程{(),}XttTÎ{(),}XttTÎ()()XtXs-注：平稳、独立增量过程是一类重要的随机过程,后面将提到的维纳过程和泊松过程都是平稳独立增量过程。2019/12/19433、平稳增量过程——例例：设是参数为p的B