钢筋混凝土构件的裂缝宽度和挠度计算

8钢筋混凝土构件的裂缝宽度和挠度计算本章主要介绍：受弯构件的挠度计算；钢筋混凝土构件的裂缝宽度计算。重点是实际挠度计算和允许挠度的确定，裂缝宽度计算和裂缝允许值的确定。本章提要规范规定，根据具体使用要求，构件除进行承载力计算外，尚需进行变形和裂缝宽度计算，把按规定所求得的变形及裂缝宽度控制在允许值范围内。它们的设计表达式分别为：wmax≤wlimfmax≤［f］本章内容8.1钢筋混凝土构件裂缝宽度的计算8.2受弯构件挠度计算8.1钢筋混凝土构件裂缝宽度的计算当钢筋混凝土纯弯构件（图8.1）的荷载加到某一数值时，截面上的弯矩达到开裂弯矩，这时在截面受拉边最薄弱的地方产生第一条或第一批裂缝，裂缝出现的位置是随机的。距裂缝截面愈远的截面回缩愈小，当离开裂缝某一距离lcr,min的截面B—B′处，混凝土不再回缩。该处的混凝土拉应力仍与裂缝出现前瞬间的拉应力相同。于是裂缝截面两侧附近混凝土与钢筋的应力分布如图8.1(b)、(c)所示。8.1.1裂缝出现和开展过程当裂缝间距小到一定程度后，即使弯矩再增加，混凝土也不会再出现新的裂缝。这是因为这时钢筋传给混凝土的拉应力达不到混凝土的抗拉强度ft所致（图8.1(d)、(e)）。裂缝出齐后，随着荷载的进一步增加，裂缝处钢筋的应力增加，受压区高度不断减小，裂缝进一步开展。图8.1裂缝的形成和开展机理理论分析表明，裂缝间距主要取决于有效配筋率ρte、钢筋直径d及其表面形状。此外，还与混凝土保护层厚度c有效配筋率ρte是指按有效受拉混凝土截面面积Ateρte=As/AteAte对轴心受拉构件，Ate8.1.2裂缝宽度的计算公式8.1.2.1平均裂缝间距lcr的计算Ate=0.5bh+(bf-b)hf各种形式截面的Ate也可按图8.2取用。试验表明，有效配筋率愈高，钢筋直径d愈小，则裂缝愈密，其宽度愈小。根据试验和理论分析结果，当混凝土保护层厚度c不大于65mm时，对配置带肋钢筋混凝土构件的平均裂缝间距lcr按下式计算：lcr=β(1.9c+0.08d/ρte)图8.2有效受拉混凝土截面面积在荷载效应的标准组合下，钢筋混凝土构件受拉区纵向钢筋的应力，根据使用阶段的应力状态（图8.3），可按下式计算：(1)轴心受拉（图8.3(a))(2)受弯（图8.3(b))8.1.2.2裂缝截面处钢筋应力的计算ksksNA00.87ksksMhA图8.3荷载效应标准组合作用下构件截面的应力状态由裂缝出现和开展过程的分析中可知，裂缝处和裂缝间钢筋的应力是不相同的，即不均匀的。规范引进ψ来表示钢筋应变不均匀。当算出的ψ＜0.2时，取ψ=0.2；当ψ＞1时，取ψ=1；对直接承受重复荷载的构件，取ψ=1。8.1.2.3钢筋应变不均匀系数的计算1.10.65tkteskf平均裂缝宽度wm等于混凝土在裂缝截面的回缩量，即在平均裂缝间距长度内钢筋的伸长量与钢筋处在同一高度的受拉混凝土纤维伸长量之差（图8.4)：经分析和试验结果，规范规定，平均裂缝宽度wm按下式计算：8.1.2.4平均裂缝宽度的计算scmcrcrll0.85skmcrslE图8.4裂缝处混凝土与钢筋的伸长量在荷载标准组合作用下，其短期最大裂缝宽度应等于平均裂缝宽度wm乘以短期裂缝宽度的扩大系数τs。经统计分析可得：对于轴心受拉构件τs=1.9；对于受弯构件τs=1.66。短期最大裂缝宽度还需乘上荷载长期效应裂缝扩大系数τl。对各种受力构件，规范均取αs1τ1=0.9×1.66≈1.5。这样，各种受力构件正截面最大裂缝宽度的统一计算公式为：8.1.2.5最大裂缝宽度的计算(1.90.08)eqskmaxcrstedcE【例8.1】某钢筋混凝土屋架下弦按轴心受拉构件设计，其端节间最大的荷载效应基本组合值N=240kN。荷载效应的标准组合值Nk=198kN。截面尺寸b×h=200mm×140mm，混凝土强度等级为C25(ftk=1.78N/mm2），纵筋为HRB335级钢筋，最大允许裂缝宽度［wmax］=0.2mm，混凝土保护层c=25mm【解】（1）按承载力要求计算钢筋。As=N/fy=800mm2选配4φ16，As=804mm2＞As,min=ρminbh=112mm2。(2)裂缝宽度验算。σsk=Nk/As=246.3N/mm2ρte=As/Ate=0.0287＞0.01ψ=0.939wmax=0.287mm＞0.2mm(（3）改配4φ20，As=1256mm2σsk=Nk/As=157.64N/mm2ρte=As/Ate=0.0448ψ=0.936wmax=0.166mm＜wlim=0.2mm(【例8.2】某简支梁计算跨度l0=6.0m，截面尺寸b×h=250mm×700mm，混凝土强度等级为C20，钢筋为HRB335级，承受均布恒荷载标准值（含梁自重）gk=19.74kN/m，均布活荷载标准值qk=10.5kN/m。经正截面承载力计算，已配置纵向受拉钢筋为2φ22+2φ20(As=1388mm2）。该梁处于室内正常环境，试【解】（1）求荷载效应的标准组合值下，跨中截面的弯矩设计值Mk。恒荷载标准值引起的跨中最大弯矩：Mgk=1/8gkl02=88.83kN·mMqk=1/8qkl02=47.25kN·m则Mk=Mgk+Mqk=88.83+47.25=136.08kN·m(2)σsk=Mk/0.87h0As=169.46N/mm2有效配筋率ρteρte=As/Ate=0.0159＞0.01ψ=0.728混凝土保护层厚c=25mm，钢筋等效直径d=4As/u=21mm。则wmax=0.198mm＜wlim=0.3mm(为了简化裂缝宽度计算，可根据受弯构件最大裂缝宽度小于或等于允许裂缝宽度的条件，即：求出不需作裂缝宽度验算的最大钢筋直径dmax，见图8.5。图8.5是在混凝土保护层c≤25mm，配有变形钢筋当构件的实际情况与制dmax图的条件不同时，应对σsk进行调整。8.1.3裂缝宽度近似验算法lim2.1(1.90.08)eqskmaxstedcE图8.5①判断构件情况（包括c)②计算ρte和σsk③由ρte和σsk查图8.5得出不需作裂缝宽度验算的纵筋最大直径dmax④比较实配纵筋直径与dmax，若d≤dmax时，不需作裂缝宽度验算；反之，则应作裂缝宽度验算。【例8.3】一切条件均同例8.2，试用图8.5验算其裂缝宽度是否满足要求。【解】由例8.2知c=25mm，σsk=169.46N/mm2,ρte=0.0159由以上数据查图8.5得不需作裂缝宽度验算的最大钢筋直径dmax=22mm，大于本例中钢筋换算直径21mm。故不需图8.5钢筋混凝土受弯构件不需作裂缝宽度验算的最大钢筋直径图（1）改用较小直径的钢筋。钢筋愈细，钢筋与混凝土之间的粘结作用越明显，lcr减小，wmax也随（2）（3）适当增加钢筋用量或增加构件截面使钢筋应力σsk（4）解决裂缝问题的最根本的方法是采用预应8.1.4减小裂缝宽度的措施由材料力学中可知，承受均布荷载q的简支弹性匀质梁，其跨中挠度为：当梁的材料、截面和跨度一定时，挠度与弯矩之间呈线性关系，如图8.6(a)中的虚线所示。钢筋混凝土梁则与匀质弹性梁有很大的区别：钢筋混凝土梁的挠度与弯矩的关系是非线性的（图8.6(a)中实线所示）。8.2受弯构件挠度计算8.2.1受弯构件挠度计算的特点、原理和方法42005538448sqlMlfEIEI规范规定，钢筋混凝土受弯构件在正常使用极限状态下的挠度，可根据构件的刚度用结构力学的方法计算。例如承受均布荷载qk的钢筋混凝土简支梁，其跨中挠度为（B通常用Bs表示钢筋混凝土梁在荷载效应的标准组合作用下的截面抗弯刚度，简称短期刚度；而用B表示在荷载效应标准组合并考虑荷载长期作用影响的截面抗弯刚度，可简称为长期刚度。24005548384kkMlqlfBB图8.6(a)M-关系曲线；(b)M-I(B)关系曲线当弯矩一定时，截面刚度大，变形就小。钢筋混凝土构件的变形计算（刚度计算）是以适筋梁第Ⅱ阶段的应力应变状态为依据的，并假定符合平截面假定。规范规定，在荷载效应的标准组合作用下钢筋混凝土受弯构件的短期刚度Bs，应按下式计算：8.2.2短期刚度的计算2061.150.213.5sssEfEAhBr当构件在持续荷载的作用下，其变形（挠度）将随时间的增长而不断增长。其变化规律是：先快后慢，一般要持续变化数年之后才比较稳定。产生这种现象的主要原因是截面受压区混凝土的徐变。规范规定，受弯构件的挠度应按荷载效应标准组合并考虑荷载长期作用影响的刚度B规范规定，受弯构件的刚度B8.2.3长期刚度的计算(1)ksqkMBBMM截面的抗弯刚度也是沿梁长方向变化的。弯矩大的截面抗弯刚度小。规范规定，在实用计算中采用最小刚度原则进行计算，即在等截面构件中，可假定各同号弯矩区段内的刚度相等，并取用该区段内最大弯矩处的刚度。即在简支梁中取最大正弯矩截面按式（8.14)算出的刚度作为全梁的抗弯刚度；而在外伸梁中，则按最大正弯矩和最大负弯矩截面分别按式（8.14)算出的刚度，作为相应正负弯矩区段的抗弯刚度，见图8.7所示。8.2.4钢筋混凝土受弯构件挠度的计算【例8.4】某教学楼楼盖中的一根钢筋混凝土简支梁，计算跨度为l0=7.0m，截面尺寸b×h=250mm×700mm。混凝土强度等级为C25（Ec=2.8×104N/mm2，ftk=1.78N/mm2），钢筋为HRB335级（Es=2.0×105N/mm2)。梁上所承受的均布恒荷载标准值（包括梁自重）gk=19.74kN/m,均布活荷载标准值qk=10.50kN/m。按正截面计算已配置纵向受拉钢筋4φ0As=1256mm2).梁的允许挠度［f］=l0/250。试验算梁的挠度是否满足要求。【解】（1）计算梁跨中的Mk和Mq。Mgk=1/8gkl02=120.91kN·mMqk=1/8qkl02=64.31kN·m由表1.1查得教学楼楼面活荷载准永久值系数ψq=0.5，0.5Mqk=0.5×64.31=32.16kN·m于是，按荷载效应的标准组合作用下的跨中最大弯Mk=Mgk+Mqk=185.22kN·m按荷载效应的准永久组合作用下的跨中最大弯矩值为：(2)计算系数ψ。σsk=254.9N/mm2ρte=0.0144ψ=0.784(3)计算短期刚度Bs。αE=Es/Ec=7.14ρ=As/bh0=0.00755对矩形截面rf′=0,按式（8.13)得:Bs==77577.8×109N·mm2(4)计算刚度B由于ρ′=0，由式（8.15)算得θ=2.0由式（8.14)B=42475.3×109N·mm2(5)计算跨中挠度ff=22.26mm＜［f］=28.0mm(图8.7刚度原理(a)简支梁最小刚度；(b)图8.8中的构件配置的钢筋为Ⅱ级钢筋，混凝土强度等级为C15~C30，允许挠度值为l0/200，结构重要性系数γ0=1，活荷载的准永久值系数ψq=0.4，且承受均图8.88.2.5最小截面高度或最大跨高比8.2.5.1图8.8的制作原理图8.8钢筋混凝土受弯构件不需作挠度验算的最大跨高比(1)最有效的措施是提高截面高度h，即减小跨高比l0/h0(2)(3)(4)选用合理的截面，如Ⅰ形或T(5)采用预应力构件。8.2.5.2提高受弯构件截面刚度的措施