实验三傅里叶变换及其性质

1/7信息工程学院实验报告课程名称：信号与系统实验项目名称：实验3傅里叶变换及其性质实验时间：2013-11-29班级：姓名：学号：一、实验目的:1、学会运用MATLAB求连续时间信号的傅里叶（Fourier）变换；2、学会运用MATLAB求连续时间信号的频谱图；3、学会运用MATLAB分析连续时间信号的傅里叶变换的性质。二、实验环境:1、硬件：在windows7操作环境下；2、软件：Matlab版本7.1三、实验原理：3.1傅里叶变换的实现信号()ft的傅里叶变换定义为：()[()]()jtFFftftedt，傅里叶反变换定义为：11()[()]()2jtftFFfed。信号的傅里叶变换主要包括MATLAB符号运算和MATLAB数值分析两种方法，下面分别加以探讨。同时，学习连续时间信号的频谱图。3.1.1MATLAB符号运算求解法MATLAB符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换与傅里叶反变换的函数fourier()和ifourier()。Fourier变换的语句格式分为三种。（1）F=fourier(f)：它是符号函数f的Fourier变换，默认返回是关于的函数。（2）F=fourier(f,v)：它返回函数F是关于符号对象v的函数，而不是默认的，即()()jvtFvftedt。（3）F=fourier(f,u,v)：是对关于u的函数f进行变换，返回函数F是关于v的函数，即()()jvuFvftedu。傅里叶反变换的语句格式也分为三种。（1）f=ifourier(F)：它是符号函数F的Fourier反变换，独立变量默认为，默认返回是关于x的函数。（2）f=ifourier(F,u)：它返回函数f是u的函数，而不是默认的x。（3）f=ifourier(F,u,v)：是对关于v的函数F进行反变换，返回关于u的函数f。成绩：指导教师（签名）：2/7值得注意的是，函数fourier()和ifourier()都是接受由sym函数所定义的符号变量或者符号表达式。3.1.2连续时间信号的频谱图信号()ft的傅里叶变换()F表达了信号在处的频谱密度分布情况，这就是信号的傅里叶变换的物理含义。()F一般是复函数，可以表示成()()()jFFe。()~F与()~曲线分别称为非周期信号的幅度频谱与相位频谱，它们都是频率的连续函数，在形状上与相应的周期信号频谱包络线相同。非周期信号的频谱有两个特点，密度谱和连续谱。要注意到，采用fourier()和ifourier()得到的返回函数，仍然是符号表达式。若需对返回函数作图，则需应用ezplot()绘图命令。3.1.3MATLAB数值计算求解法fourier()和ifourier()函数的一个局限性是，如果返回函数中有诸如单位冲激函数()t等项，则用ezplot()函数无法作图。对某些信号求变换时，其返回函数可能包含一些不能直接用符号表达的式子，因此不能对返回函数作图。此外，在很多实际情况中，尽管信号()ft是连续的，但经过抽样所获得的信号则是多组离散的数值量()fn，因此无法表示成符号表达式，此时不能应用fourier()函数对f(n)进行处理，而只能用数值计算方法来近似求解。从傅里叶变换定义出发有0()()lim()jtjnFftedtfne，当足够小时，上式的近似情况可以满足实际需要。对于时限信号()ft，或者在所研究的时间范围内让()ft衰减到足够小，从而近似地看成时限信号，则对于上式可以考虑有限n的取值。假设是因果信号，则有10()(),01MnjnFfnenM傅里叶变换后在域用MATLAB进行求解，对上式的角频率进行离散化。假设离散化后得到N个样值，即2,0kkkNN－1，因此有10()(),01MnkjnFkfnekN。采用行向量，用矩阵表示为1*1**[()][()][]kjnTTTNMMNFkfne。其要点是要正确生成()ft的M个样本向量[()]fn与向量[]jnke。当足够小时，上式的内积运算（即相乘求和运算）结果即为所求的连续时间信号傅里叶变换3/7的数值解。3.2傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质包含了丰富的物理意义，并且揭示了信号的时域和频域的关系。熟悉这些性质成为信号分析研究工作中最重要的内容之一。3.2.1尺度变换特性傅里叶变换的尺度变换特性为：若()()ftF，则有1()()fatFaa，其中，a为非零实常数。3.2.2频移特性傅里叶变换的频移特性为：若()()ftF，则有00()()jtfteF。频移技术在通信系统中得到广泛应用，诸如调幅变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。频移的实现原理是将信号()ft乘以载波信号0cost或0sint，从而完成频谱的搬移，即0000001()cos[()()]2()sin[()()]2fttFFjfttFF四、实验内容及结果分析:4.1试用MATLAB命令求下列信号的傅里叶变换，并绘出其幅度谱和相位谱。（1）1sin2(1)()(1)tftt（2）22sin()()tftt第一题的实验程序代码：clc;clear;Ft=sym('sin(2*pi*(t-1))/(pi*(t-1))');Fw=fourier(ft);subplot(211)ezplot(abs(Fw));gridontitle('幅度谱');phase=atan(imag(Fw)/real(Fw));subplot(212)ezplot(phase);gridontitle('相位谱');第二题的实验程序代码：clc;clear;ft=sym('(sin(pi*t)/(pi*t))^2');Fw=fourier(ft);subplot(211)ezplot(abs(Fw));gridontitle('幅度谱');phase=atan(imag(Fw)/real(Fw));subplot(212)ezplot(phase);gridontitle('相位谱');第一题实验结果如图1所示，第二题实验结果如图2所示。4/7图1图24.2试用MATLAB命令求下列信号的傅里叶反变换，并绘出其时域信号图。（1）1104()35Fjj（2）224()Fe第一题的实验程序代码：clc;clear;t=sym('t');Fw=sym('10/(3+i*w)-4/(5+i*w)');ft=ifourier(Fw);ezplot(ft),gridon第二题的实验程序代码：clc;clear;t=sym('t');Fw=sym('exp(-4*(w^2))');ft=ifourier(Fw);ezplot(ft),gridon第一题实验结果如图3所示，第二题实验结果如图4所示。图3图44.3试用MATLAB数值计算方法求门信号的傅里叶变换，并画出其频谱图。5/7门信号即1,/2()0,/2tgtt，其中1。实验程序代码：clc;clear;ft1=sym('Heaviside(t+1/2)-Heaviside(t-1/2)');subplot(121);ezplot(ft1,[-1.51.5]),gridonFw1=simplify(fourier(ft1));subplot(122);ezplot(abs(Fw1),[-10*pi10*pi]),gridonaxis([-10*pi10*pi-0.21.2]);实验结果如图5所示：图54.4已知两个门信号的卷积为三角波信号，试用MATLAB命令验证傅里叶变换的时域卷积定理。两个门信号卷积成为三角波信号的实验程序代码：clc;clear;dt=0.01;t=-1:dt:2.5;f1=uCT(t+1/2)-uCT(t-1/2);f2=uCT(t+1/2)-uCT(t-1/2);f=conv(f1,f2)*dt;n=length(f);tt=(0:n-1)*dt-2;subplot(211),plot(t,f1),gridon;axis([-1,1,-0.2,1.2]);title('f1(t)');xlabel('t');subplot(212),plot(tt,f),gridon;axis([-2,2,-0.2,1.2]);title('f(t)=f1(t)*f2(t)');xlabel('t');两个门信号卷积成为三角波信号的实验结果如图6所示：6/7图6三角波信号傅里叶变换的实验程序代码：clc;clear;dt=0.01;t=-4:dt:4;ft=(t+1).*uCT(t+1)-2*t.*uCT(t)+(t-1).*uCT(t-1);N=2000;k=-N:N;W=2*pi*k/((2*N+1)*dt);F=dt*ft*exp(-j*t'*W);plot(W,F),gridonaxis([-10*pi10*pi-0.21.2]);xlabel('W'),ylabel('F(W)')title('f1(t)*f2(t)的频谱图');ft1和ft2分别傅里叶变换然后再相乘的代码：clc;clear;ft1=sym('Heaviside(t+1/2)-Heaviside(t-1/2)');Fw1=fourier(ft1);ft2=sym('Heaviside(t+1/2)-Heaviside(t-1/2)');Fw2=fourier(ft2);Fw=Fw1.*Fw2;ezplot(Fw,[-10*pi10*pi]);gridonaxis([-10*pi10*pi-0.21.2]);三角波信号傅里叶变换的实验结果如图7所示，ft1和ft2分别傅里叶变换然后再相乘的实验结果如图8所示。7/7图7图8图7和图8几乎是一样的，所以傅里叶变换的时域卷积定理是正确的。