线性代数教案第八节课

线性代数教案章节题目§4.线性方程组的解课型理论教学目的1．掌握线性方程组有解的充分必要条件.2．掌握判断非齐次线性方程组是否有解方法，掌握利用初等变换方程求解方程组.重点利用初等变换求非齐次方程组的解.难点关于n元线性方程组的相关定理.参考书目同上教具教学后记教学过程备注复习上节内容。§4线性方程组的解：1.给出n元线性方程组无解、有唯一解、无穷多解的充要条件.2.进行求解练习3.介绍关于矩阵方程有解的充分必要条件.对书后较难题进行讲解.作业：P8012。（1）1315§4线性方程组的解我们知道n未知数m个方程的线性方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111可以写成Axb其中A(aij)x(x1x2xn)Tb(b1b2bm)T矩阵B(Ab)称为线性方程组的增广矩阵线性方程组如果有解就称它是相容的如果无解就称它不相容利用系数矩阵A和增广矩阵B(Ab)的秩可以方便地讨论线性方程组是否有解以及有解时是否唯一等问题其结论是定理1n元线性方程组Axb(1)无解的充分必要条件是R(A)R(Ab)(2)有唯一解的充分必要条件是R(A)R(Ab)n(3)有无限多解的充分必要条件是R(A)R(Ab)n注Axb无解R(A)R(Ab)的几种等价叙述①Axb有解R(A)R(Ab)②Axb无解R(A)R(Ab)R(A)R(Ab)Axb无解③R(A)R(Ab)Axb有解R(A)R(Ab)Axb无解只需证明R(A)R(Ab)Axb无解R(A)R(Ab)nAxb有唯一解R(A)R(Ab)nAxb有无限多解定理1还可叙述为线性方程组Axb有解的充分必要条件是R(A)R(Ab)在有解的情况下若如R(A)R(Ab)n则有唯一解如果R(A)R(Ab)n则有无限多解证明只需证明条件的充分性因为(1)、(2)、(3)中条件的必要性依次是(2)(3)、(1)(3)、(1)(2)中条件的充分性的逆否命题设R(A)r为叙述方便不妨设B(Ab)的行最简形为0000000000000000100010001~1,12,2211,111rrrnrrrnrnddbbdbbdbbB(1)若R(A)R(B)则B~中的dr11于是B~的第r1行对应矛盾方程01故方程Axb无解(2)若R(A)R(Ab)n则B~中的dr10(或dr1不出现)且bij都不出现于是B~对应方程组nndxdxdx2211故方程Axb有唯一解(3)若R(A)R(Ab)n则中的dr10(或dr1不出现)B~对应方程组rnrnrrrrnrnrnrnrdxbxbxdxbxbxdxbxbx,112,212121,11111令自由未知数xr1c1xncnr即得方程Axb的含nr个参数的解由于参数可任意取值故方程Axb有无限多个解方程Axb的含参数的解称为方程Axb的通解注Axb无解R(A)R(Ab)的几种等价叙述①Axb有解R(A)R(Ab)②Axb无解R(A)R(Ab)R(A)R(Ab)Axb无解③R(A)R(Ab)Axb有解R(A)R(Ab)Axb无解只需证明R(A)R(Ab)Axb无解R(A)R(Ab)nAxb有唯一解R(A)R(Ab)nAxb有无限多解R(A)R(Ab)Axb无解的证明若R(A)rR(Ab)则B=(Ab)的行最简形必具有如下形式00000000000100000010000100001,1,221,1110rnrrrnrnbbbbbbB于是B0的第r1行对应矛盾方程01故方程Axb无解R(A)R(Ab)nAxb有唯一解的证明若R(A)R(Ab)n则B=(Ab)的行最简形必具有如下形式ndddB100010001210B0对应方程组为nndxdxdx2211故方程Axb有唯一解R(A)R(Ab)nAxb有无限多解的证明若R(A)R(Ab)=rn则B=(Ab)的行最简形必具有如下形式000000000000100010001,12,2211,1110rrnrrrnrndbbdbbdbbBB0对应方程组为rnrnrrrrnrnrnrnrdxbxbxdxbxbxdxbxbx,112,212121,11111令自由未知数xr1c1xncnr即得方程Axb的含nr个参数的解由于参数可任意取值故方程Axb有无限多个解当方程组有无限多个解时其解的形式为rnrnrrrrnrnrnrnrdxbxbxdxbxbxdxbxbx,112,212121,11111nnrrrnrnrrrrnrnrxxxxdxbxbxdxbxbx11,111,111110010011,,1111111rrnrrnnrrnrrddbbxbbxxxxx令自由未知数xr1c1xncnr即得方程Axb的含nr个参数的解0010011,,1111111rrnrrnrnrnrrddbbcbbcxxxx这种含参数的解称为方程Axb的通解求解线性方程组Axb的步骤(1)对于非齐次线性方程组把它的增广矩阵B化成行阶梯形从B的行阶梯形可同时看出R(A)和R(B)若R(A)R(B)则方程组无解(2)若R(A)R(B)则进一步把B化成行最简形而对于齐次线性方程组则把系数矩阵A化成行最简形(3)设R(A)R(B)r把行最简形中r个非零行的首非零元所对应的未知数取作非自由未知数其余nr个未知数取作自由未知数并令自由未知数分别等于c1c2cnr由B(或A)的行最简形即可写出含nr个参数的通解例11求解齐次线性方程组0340222022432143214321xxxxxxxxxxxx解对系数矩阵A施行初等行变换变为行最简形矩阵341122121221A46304630122112132~rrrr00003/42101221232)3(~rrr00003/42103/5201212~rr即得与原方程组同解的方程组03420352432431xxxxxx由此得432431342352xxxxxx(x3x4可任意取值)令x3c1x4c2把它写成通常的参数形式2413432431342352cxcxccxccx其中c1c2为任意实数或写成向量形式1034350122342352212143434321ccccccccxxxx例12求解齐次线性方程组0340222022432143214321xxxxxxxxxxxx解对系数矩阵A施行初等行变换变为行最简形矩阵341122121221A00003/42103/5201~即得与原方程组同解的方程组由此得432431)3/4(2)3/5(2xxxxxx4433432431)3/4(2)3/5(2xxxxxxxxxx或4321xxxx103/43/5012243xx103/43/5012221cc其中c1c2为任意实数例13求解非齐次线性方程组32222353132432143214321xxxxxxxxxxxx解对增广矩阵B施行初等行变换322122351311321B104501045011321121332~rrrr20000104501132123~rr可见R(A)2R(B)3故方程组无解例14求解非齐次线性方程组0895443313432143214321xxxxxxxxxxxx解因为089514431311311B17640176401131112133~rrrr000004/14/72/31011311232)4(~rrr000004/14/72/3104/54/32/30121~rr所以4433432431414723454323xxxxxxxxxx即004145104743012323214321ccxxxx(c1c2为任意实数)例15设有线性方程组321321321)1(3)1(0)1(xxxxxxxxx问取何值时此方程组(1)有唯一解(2)无解(3)有无限多