考研数学大纲详解(教材分析)

6高等数学考研指定教材：同济大学数学系主编《高等数学》（上下册）（第六版）第一章函数与极限(7天)（考小题）学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：映射与函数(一般章节)函数的概念，常见的函数（有界函数、奇函数与偶函数、单调函数、周期函数）、复合函数、反函数、初等函数具体概念和形式.（集合、映射不用看；双曲正弦，双曲余弦，双曲正切不用看）习题1－1：4，5，6，7，8，9，13，15，16（重点）1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题中的函数关系.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等第二节：数列的极限(一般章节)数列定义，数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)（本节用极限定义证明极限的题目考纲不作要求，可不看，如P26例1，例2，例3，定理1,2,3的证明都不作要求，但要理解；定理4不用看）习题1－2：1第三节：函数的极限(一般章节)函数极限的基本性质（不等式性质、极限的保号性、极限的唯一性、函数极限的函数局部有界性,函数极限与数列极限的关系等）P33(例4,例5)（例7不用做，定理2,3的证明不用看，定理4不用看）习题1－3：1，2，3，4第四节：无穷大与无穷小（重要）无穷小与无穷大的定义，它们之间的关系，以及与极限的关系（无穷小重要，无穷大了解）（例2不用看，定理2不用证明）习题1－4：1，6第五节：极限的运算法则（掌握）极限的运算法则(6个定理以及一些推论)（注意运算法则的前提条件是否各自极限存在）（定理1,2的证明理解，推论1,2,3，定理6的证明不用看）P46(例3,例4),P47(例6)习题1－5：1，2，3，4,5（重点）第六节：极限存在准则（理解）两个重要极限（重要）两个重要极限（要牢记在心，要注意极限成立的条件，不要混淆，应熟悉等价表达式，要会证明两个重要极限）,函数极限的存在问题（夹逼定理、单调有界数列必有极限），利用函数极限求数列极限，利用夹逼法则求极限，求递归数列的极限（准则1的证明理解，第一个重要极限的证明一定要会，另一个重要极限的证明不用看，柯西存在准则不用看）P51(例1)习题1－6：1，2，4价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．第七节：无穷小的比较（重要）无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、k阶无穷小），重要的等价无穷小（尤其重要，一定要烂熟于心）以及它们的重要性质和确定方法（定理1,2的证明理解）P57(例1)P58(例5)习题1－7：全做第八节：函数的连续性与间断点（重要，基本必考小题）函数的连续性，间断点的定义与分类（第一类间断点与第二类间断点），判断函数的连续性（连续性的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性）和间断点的类型。例1－例5习题1－8：1，2，3，4，5（重点）第九节：连续函数的运算与初等函数的连续性（了解）连续函数的运算与初等函数的连续性(包括和,差,积,商的连续性,反函数与复合函数的连续性,初等函数的连续性)（定理3,4的证明不用看）例4－例8习题1－9：1，2，3，4，5，6（重点）第十节：闭区间上连续函数的性质（重要，不单独考大题，但考大题特别是证明题会用到）理解闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理,零点定理与介值定理(零点定理对于证明根的存在是非常重要的一种方法).（一致连续性不用看）例1－例2习题1－10：1，2，3，5（要会用5题的结论）自我小结总复习题一：除了7，8，9以外均做，3,5,11,14（重点）本章测试题－检验自己是否对本章的复习合格(合格成绩为80分以上)，如果合格继续向前复习，如果不合格总结自己的薄弱点还要针对性的对本章的内容进行复习或者到总部答疑。第二章导数与微分(6天)（小题的必考章节）学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节:导数的定义、几何意义、物理意义（数三不1.理解导数和微分的导数的概念（重要）作要求，可不看，数三要知道导数的经济意义：边际与弹性），单侧与双侧可导的关系，可导与连续之间的关系（非常重要，经常会出现在选择题中），函数的可导性，导函数,奇偶函数与周期函数的导数的性质，按照定义求导及其适用的情形，利用导数定义求极限.会求平面曲线的切线方程和法线方程.（导数定义年年必考）例1－例6习题2－1：3,4,5，6，7,8，11，15，16，17，18,19,（重点）20概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．第二节：函数的求导法则（考小题）复合函数求导法、求初等函数的导数和多层复合函数的导数，由复合函数求导法则导出的微分法则，（幂、指数函数求导法，反函数求导法），分段函数求导法（基本求导法则与求导公式要非常熟）（定理1，3的证明不用看，例1，17不用做，定理2的证明理解，例6,7,8重点做）习题2－2：除2,3,4,12不用做，其余全做，13,14重点做2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.第三节：高阶导数（重要，考的可能性很大）高阶导数和N阶导数的求法（归纳法，分解法，用莱布尼兹法则）（用泰勒展开式求高阶导）例1－例7习题2－3：5,6,7，11不用做，其余全做，4,12重点做第四节：隐函数及由参数方程所确定的函数的导数（考小题）由参数方程确定的函数的求导法（数三不用看），变限积分的求导法，隐函数的求导法（相关变化率不用看）例1－例10习题2－4：9,10,11,12均不用做，数三5,6,7,8也可以不做，其余全做，4重点做第五节：函数的微分（考小题）函数微分的定义，微分运算法则，微分几何意义（微分在近似计算中的应用不用看，考纲不作要求）例1－例6习题2－5：5,6,7,8，9,10，11,12均不用做，其余全做自我小结总复习题二：4,10,15,16,17,18均不用做，其余全做，2,3,6,7,14重点做，数三不用做12,13第二章测试题第三章微分中值定理与导数的应用（8天）考大题难题经典章节学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：微分中值定理（最重要，与中值定理应用有关的证明题）微分中值定理及其应用（费马定理及其几何意义，罗尔定理及其几何意义，拉格朗日定理及其几何意义、柯西定理及其几何意义）（四个定理要会证明，及其重要）例1，习题3－1：除了13,15不用做，其余全部重点做1．理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理．2．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．3．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用．4．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．5．了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．第二节：洛必达法则（重要，基本必考）洛比达法则及其应用（洛比达法则要会证明，重要）例1－例10，习题3－2：全做，1,3,4重点做第三节：泰勒公式（掌握其应用）泰勒中值定理，麦克劳林展开式（可不看公式的证明）例1－例3习题3－3：8,9不用做，其余全做10（1）（2）（3）重点做第四节：函数的单调性与曲线的凹凸区间（考小题）求函数的单调性、凹凸性区间、极值点、拐点、渐近线（选择题及大题会用到）例1－例12习题3－4：3（1）（2）（5）,5（1）（2），8（1）（2），9（1）（3）（5），10（2）不用做，其余全做，3,4,5,6,13,15重点做第五节：函数极值与最大值最小值（考小题为主）函数的极值(一个必要条件,两个充分条件),最大最小值问题.函数性的最值和应用性的最值问题，与最值问题有关的综合题例5,6,7不用看习题3-5:1（2）（3）（6）（9）8,9,10,11,12,13,14，15,16均不用做，其余全做第六节：函数图形的描绘（重要）简单了解利用导数作函数图形（一般出选择题及判断图形题），对其中的渐进线和间断点要熟练掌握，一元函数的最值问题（三种情形）。例1－例3习题3－6：2－5第七节：曲率（数三不作要求，仅数一、数二要求）曲率、曲率的计算公式，与曲率相关的问题（弧微分、曲率中心计算公式、渐屈线、渐伸线不用看）例1－例3,习题3－7：1－6第八节：方程近似解（不用看）自我小结总复习题三：数一、数二全做，数三15不用做；其中2（2）,3,7,8,9,10,（3）（4），11（3），12,17,18,20重点做第三章测试题总结第四章不定积分（7天）（重要，本章数二考大题可能性更大）学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：不定积分的概念与性质（重要）原函数与不定积分的概念与基本性质（它们各自的定义，之间的关系，求不定积分与求微分或导数的关系），基本的积分公式，原函数的存在性，原函数的几何意义和力学意义（数三不作要求）例1－例16习题4－1：1，2,3,4,61．理解原函数概念，理解不定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分．第二节：换元积分法（重要，第二类换元积分法更为重要）不定积分的换元积分法，第二类换元法例1－例27习题4－2：1,2（1）（2）（3）（8）（9）（10）（13）（25）均不用做，其余全做第三节：分部积分法（考研必考）不定积分的分部积分法例1－例10习题4－3：1－24第四节：有理函数积分（重要）有理函数积分法，可化为有理函数的积分，例1－例8习题4－4：1－24不定积分计算总复习题四：1－40第五节:积分表的使用（不用看）自我小结总结本章第五章定积分(6天）（重要，考研必考）学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：定积分的概念与定积分的概念与性质(可积存在定理)(定积分的7个性质理解及熟练应用，性质7积分1．理解原函数概念，理解定积分的概念．性质（理解）中值定理要会证明)（定积分近似计算不用看）习题5－1：1,2,3,6,8,9,10均不用做，其余全做，5,11,12重点做2．掌握定积分的基本公式，掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布尼茨公式．5．了解广义反常积分的概念，会计算广义反常积分．第二节：微积分基本公式（重要）微积分的基本公式积分上限函数及其导数（极其重要，要会证明）牛顿－莱布尼兹公式（重要，要会证明）例5不用做，例6极其重要，记住结论习题5－2：6（1）（2）（4）（5）（6）（7）,7,8均不用做，其余全做，2数三不做，9（2），10,11,12,13重点做第三节：定积分的换元积分法与分部积分法（重要，分部积分法更为重要）定积分的换元法与分部积分法例1－例10例5，例6，例7，例12经典例题，记住结论习题5－3：1（1）（2）（3）（6）（12）（14）（15）（16），7（1）（3）（8）（9）不用做，其余全做，重点做1（4）（7）（17）（18）（25）（2