第1章数学建模古典概型.

第1章古典概型•1.1验证性实验•1.2设计性试验•1.3综合性实验第1章古典概型【古典概型简介】概率论是一门研究随机现象数量规律的学科，它起源于对赌博问题的研究。早在16世纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已从数学角度研究过赌博问题。他们的研究除了赌博外还与当时的人口、保险业等有关，但由于卡丹等人的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明确，于是很快被人淡忘了。概率概念的要旨是在17世纪中叶法国数学家帕斯卡与费马的讨论中才比较明确。他们在往来的信函中讨论合理分配赌注问题，在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量等重要概念以及它们的基本性质。后来由于许多社会问题和工程技术问题，如：人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等，这些问题的提出，均促进了概率论的发展。从17世纪到19世纪，贝努利、隶莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切贝谢夫、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发展做出了杰出的贡献。为概率论确定严密的理论基础的是数学家柯尔莫哥洛夫。1933年，他发表了著名的《概率论的基本概念》，用公理化结构，明确定义了概率论中的基本概念，成为了概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。1.1验证性实验实验一排列数与组合数的计算【实验目的】1．掌握排列数和组合数的计算方法2．会用Matlab计算排列数和组合数【实验要求】1．掌握Matlab计算阶乘的命令factorial和双阶乘的命令prod2．掌握Matlab计算组合数的命令nchoosek和求所有组合的命令combntns排列数与组合数的计算1．计算下列结果：（1）10！（2）20！！（3）10!/20!(1)factorial(10)运行结果为：ans=3628800(2)prod(2:2:20)运行结果为：ans=3.7159e+009(3)factorial(10)/prod(2:2:20)运行结果为：ans=9.7656e-0042．计算下列排列组合式的结果：（1）P28（2）C28•nchoosek(8,2)*factorial(2)•运行结果为：•ans=•56nchoosek(8,2)运行结果为：ans=28（3）C210（4）!4!3!2!9(3)nchoosek(10,2)运行结果为：ans=45(4)x=2:1:4;y=factorial(x);factorial(9)/prod(y)运行结果为：ans=1260写出从1，2，3，4，5，6，7，8这8个数中取6个数的所有组合。combntns(1:8,6)运行结果为：ans=1234561234571234581234671234681234781235671235681235781236781245671245681245781246781256781345671345681345781346781356781456782345672345682345782346782356782456783456781.1验证性实验实验二古典概率的计算【实验目的】1.熟悉概率的概念和性质2.掌握古典概率的计算方法，并通过实例加深对概率概念和性质的理解【实验要求】1.掌握Matlab计算阶乘的命令factorial和双阶乘的命令prod2.掌握Matlab计算组合数的命令nchoosek3.会用Matlab命令求古典概率古典概率的计算1．设ｎ个人中每个人的生日在一年365天中n为23，40，64时，这ｎ个人中至少有两人生日相同的概率各为多少？n=23;p=1-nchoosek(365,n)*factorial(n)/365^n运行结果：p=0.5073n=40;p=1-nchoosek(365,n)*factorial(n)/365^n运行结果：p=0.8912n=64;p=1-nchoosek(365,n)*factorial(n)/365^n运行结果：p=0.99722．某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的？p=2^12/7^12%接待时间没有规定时，访问都发生在周二和周四的概率运行结果：p=2.9593e-007此概率很小，由实际推断原理知接待时间是有规定的。3．在50个产品中有18个一级品，32个二级品，从中任意抽取30个，求其中(1)恰有20(2)至少有2个一级品的概率？（1）p1=nchoosek(32,20)*nchoosek(18,10)/nchoosek(50,30)运行结果：p1=0.2096（2）p2=1-(nchoosek(32,30)+nchoosek(18,1)*nchoosek(32,29))/nchoosek(50,30)运行结果：p2=1.00004．某厂一、二、三车间生产同类产品，已知三个车间生产的产品分别占总量的50%，25%，25%，且这三个车间产品的次品率分别为1%，2%，4%三个车(1)从仓库中任取一件产品，求它是次品的概率；(2)从仓库中任取一件产品，经检测是次品，求该产品产自于三个车间的概率?（1）a=[0.5,0.25,0.25];b=[0.01,0.02,0.04];p1=dot(a,b)运行结果：p1=0.0200（2）a=[0.5,0.25,0.25];b=[0.01,0.02,0.04];p2=a.*b/p1运行结果：p2=0.25000.25000.5000向量p2的三个分量正是所要计算的三个概率，而且第三个概率最大，说明该次品来自第三个车间的可能性最大。1.2设计性实验实验一抛硬币试验的计算机模拟抛硬币试验是概率论中非常简单易懂而且易于操作的试验，在概率研究的发展史上就有很多著名的数学家做了这样的试验，如表1：表1．著名数学家抛硬币试验结果统计表试验者抛硬币次数正面朝上次数反面朝上次数正面朝上频率德·摩根4092204820440.5005蒲丰4040204819920.5069费勒10000497950210.4979皮尔逊2400012012119880.5005罗曼诺夫斯基8064039699409410.4923现在，要求用Matlab模拟出抛硬币试验，并观察随着试验次数的增加，正面朝上的频率如何变化？试验并观察在相同的试验次数下，正面朝上的频率是否相同？抛硬币试验的计算机模拟【实验方案】抛一枚均匀硬币，容易知道正面朝上的概率是0.5。若做n次抛硬币试验，正面朝上的次数是k次，则正面朝上的频率是k/n。由贝努利大数定律，随着n的增大，频率k/n会趋近于概率0.5，这体现了频率的稳定性。但是频率不是n和k的简单函数，即使相同的n频率也会不同，这体现出频率的波动性在Matlab的Medit窗口建立文件money.m：functiony=money(n)fori=1:1:nx(i)=binornd(1,0.5);end;k=sum(x);y=k/n在Matlab的命令窗口输入下述命令：money(100)；y=0.4600money(1000)；y=0.4820money(10000)；y=0.4987money(10000)；y=0.4982以上数据说明，随着试验次数的增加，正面朝上的频率逐渐增大，且趋近于0.5。但是即使试验次数一样，正面朝上的频率也会不同，这说明，频率既具有稳定性，又具有波动性。1.2设计性实验实验二蒙特霍尔问题蒙特霍尔问题，亦称为蒙特霍问题或三门问题（英文：MontyHallProblem），是一个源自博弈论的数学游戏问题，出自美国电视游戏节目Let'sMakeaDeal”，问题的名字来自该节目的主持人蒙特·霍尔(MontyHall）这个游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得汽车的机率？如果严格按照上述的条件的话，答案是会。换门的话，赢得汽车的机率是2/3。这个问题亦被叫做蒙提霍尔悖论：虽然该问题的答案在逻辑上并不自相矛盾，但十分违反直觉。这问题曾引起一阵热烈的讨论。以下是蒙提霍尔问题的一个著名的叙述，来自CraigF.Whitaker于1990年寄给《展示杂志》（ParadeMagazine）玛莉莲·莎凡（MarilynvosSavant）专栏的信件：假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门。他然后问你：“你想选择二号门吗？”转换你的选择对你来说是一种优势吗？蒙特霍尔问题的结论是如此的与我们的直觉相违背，请用概率知识分析这其中的道理，并设计一个试验模拟蒙特霍尔问题，看模拟的结果是否与理论结果一致？【实验方案】蒙特霍尔问题的关键是电视节目主持人为了节目的紧张刺激，故意会打开他事先知道的有羊的门，因此，如果不换的话，参赛者获得汽车的可能性是1/3。如果参赛者要更换选择，则他将会面临三种等可能性的情况：参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号，更换选择将赢得汽车。参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号，更换选择将赢得汽车。参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头，更换选择将不会赢得汽车。在头两种情况，参赛者可以通过更换选择而赢得汽车，第三种情况是唯一一种参赛者通过保持原来选择而赢的情况。因为三种情况中有两种是通过更换选择而赢的，所以通过更换选择而赢的概率是2/3。另一种解答是假设你永远都会更换选择，这时赢的唯一可能性就是选一扇没有车的门，因为主持人其后必定会开启另外一扇有山羊的门，消除了更换选择后选到另外一只羊的可能性。因为门的总数是三扇，有山羊的门的总数是两扇，所以转换选择而赢得汽车的概率是2/3，与初次选择时选中有山羊的门的概率一样。在Matlab的Medit窗口建立montyhall.m文件：functionnochange=montyhall(n)m=0;l=0;x=[1,1,2];%此处用“1”代表山羊，“2”代表汽车fori=1:1:nk=unidrnd(3);ifx(k)==2m=m+1;l=l;elsem=m;l=l+1;endendnochange=m/nchange=l/n在Matlab的命令窗口输入下述命令：montyhall(1000)；nochange=0.3380change=0.6620montyhall(10000)；nochange=0.3307change=0.6693montyhall(100000)；nochange=0.3317change=0.6683montyhall(1000000)；nochange=0.3335change=0.6665通过以上数据可以看出，随着实验次数的增加，更换选择的频率趋近于2/3，而不做更换的频率趋近于1/3，这和理论分析的结果是一致的。这个例子告诉我们，用Matlab设计实验进行模拟，可以纠正我们的直觉错误，同时也可以验证理论的正确性。1.2设计性实验实验三巴拿赫火柴盒问题【实验内容】有一人有两盒火柴，每一盒有n根，每一次使用时，他在任一盒中取一根，问他发现一盒空，而另一盒有k根火柴的概率是多少？然后通过实验分析当n固定时，此概率随着k的增加而如何变化，此概率何时取得最大值？【实验方案】给这两盒火柴编号为A和B，则每次取到A和B中的火柴的可能性是一样的，都是1/2。在该人发现A盒火柴已经空了而B盒火柴还剩k根之前，该人相当于是做了2n-k次取火柴实验（贝努利实验），其中A盒火柴被取了n次，B盒火柴被取了n-k次。若以取到A盒火柴为实验成功，且X表示2n-k次取火柴实验中