第3讲圆周运动的规律及其应用

第3讲圆周运动的规律及其应用匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度(考纲要求Ⅰ)1．匀速圆周运动(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动．(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动．(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心．2．描述圆周运动的物理量描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、频率、转速、向心加速度、向心力等，现比较如下表：定义、意义公式、单位线速度①描述圆周运动的物体运动快慢的物理量(v)②是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切①v＝ΔsΔt＝2πrT②单位：m/s角速度①描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω)②中学不研究其方向①ω＝ΔθΔt＝2πT②单位：rad/s周期和转速①周期是物体沿圆周运动一周的时间(T)②转速是物体单位时间转过的圈数(n)，也叫频率(f)①T＝2πrv单位：s②n的单位：r/s、r/min，f的单位：Hz向心加速度①描述速度方向变化快慢的物理量(a)②方向指向圆心①a＝v2r＝rω2②单位：m/s2判断正误，正确的划“√”，错误的划“×”．(1)匀速圆周运动是速度不变的曲线运动．()(2)做匀速圆周运动的物体向心加速度与半径成反比．()(3)做匀速圆周运动的物体角速度与转速成正比．()(4)比较物体沿圆周运动的快慢看线速度，比较物体绕圆心转动的快慢看周期、角速度．()答案(1)×(2)×(3)√(4)√匀速圆周运动的向心力(考纲要求Ⅱ)1.作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．2．大小：F＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r＝mωv＝4π2mf2r.3．方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．4．来源向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供.离心现象(考纲要求Ⅰ)1.定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．2．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的趋势．图4－3－13．受力特点当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；当F＝0时，物体沿切线方向飞出；当F＜mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力，如图4－3－1所示．判断正误，正确的划“√”，错误的划“×”．(1)随圆盘一起匀速转动的物块受重力、支持力和向心力的作用．()(2)做圆周运动的物体所受合外力突然消失，物体将沿圆周切线方向做匀速直线运动．()(3)摩托车转弯时，如果超过一定速度，摩托车将发生滑动，这是因为摩托车受到沿半径方向向外的离心力作用．()答案(1)×(2)√(3)×基础自测1．(多选)下列关于匀速圆周运动的说法中，正确的是()．A．线速度不变B．角速度不变C．加速度为零D．周期不变解析匀速圆周运动的角速度是不变的，线速度的大小不变，但方向时刻变化，故匀速圆周运动的线速度是改变的，因而加速度不为零．答案BD2．(多选)质点做匀速圆周运动，则()．A．在任何相等的时间里，质点的位移都相同B．在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等C．在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等D．在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同解析由匀速圆周运动的定义知B、C正确；位移和平均速度是矢量，其方向不同，故A、D错．答案BC3．(单选)下列关于离心现象的说法正确的是()．A．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做背离圆心的圆周运动C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将沿切线做直线运动D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做曲线运动解析物体只要受到力，必有施力物体，但“离心力”是没有施力物体的，故所谓的离心力是不存在的，只要向心力不足，物体就做离心运动，故A选项错；做匀速圆周运动的物体，当所受的一切力突然消失后，物体做匀速直线运动，故B、D选项错，C选项对．答案C4．(单选)汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长，某国产轿车的车轮半径约为30cm，当该型号轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前的速率计的指针指在“120km/h”上，可估算出该车车轮的转速约为()．A．1000r/sB．1000r/minC．1000r/hD．2000r/s解析车速v＝120km/h＝2km/min，由v＝2nπr可得n＝1000r/min.答案B5．(单选)甲、乙两质点均做匀速圆周运动，甲的质量与运动半径分别是乙的一半，当甲转动80转时，乙正好转过60转，则甲与乙所受的向心力大小之比为()．A．1∶4B．4∶1C．4∶9D．9∶4解析由题意知m甲∶m乙＝1∶2，r甲∶r乙＝1∶2，ω甲∶ω乙＝4∶3，则由Fn＝mω2r知：Fn甲∶Fn乙＝4∶9.答案C热点一描述圆周运动的各物理量间的关系1．圆周运动各物理量间的关系2．对公式v＝ωr的理解当r一定时，v与ω成正比．当ω一定时，v与r成正比．当v一定时，ω与r成反比．3．对a＝v2r＝ω2r＝ωv的理解在v一定时，a与r成反比；在ω一定时，a与r成正比．图4－3－2【典例1】如图4－3－2所示为皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径是4r，小轮的半径是2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中皮带不打滑，则()．A．a点和b点的线速度大小相等B．a点和b点的角速度大小相等C．a点和c点的线速度大小相等D．a点和d点的向心加速度大小相等解析皮带不打滑表示轮子边缘在某段时间内转过的弧长总是跟皮带移动的距离相等，即a、c两点的线速度大小相等，选项A错、C对；b、c、d三点同轴转动，角速度大小相等，故ωc＝ωb，又va＝vc，rc＝2ra，且v＝rω，故ωa＝2ωc，ωa＝2ωb，选项B错；设a点线速度大小为v，c点线速度也为v，而d点线速度则为2v，所以aa＝v2r，ad＝2v24r＝v2r，选项D对．答案CD反思总结常见的三种传动方式及特点1．皮带传动：如图4－3－3甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.图4－3－32．摩擦传动：如图4－3－4甲所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.图4－3－43．同轴传动：如图4－3－4乙所示，两轮固定在一起绕同一转轴转动，两轮转动的角速度大小相等，即ωA＝ωB.【跟踪短训】图4－3－51．(2013·桂林模拟)如图4－3－5所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来．a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的()．A．线速度大小之比为3∶2∶2B．角速度之比为3∶3∶2C．转速之比为2∶3∶2D．向心加速度大小之比为9∶6∶4答案D热点二匀速圆周运动中的动力学问题1．向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．2．向心力的确定(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．图4－3－6【典例2】(2013·重庆卷，8)如图4－3－6所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度大小为g.(1)若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；(2)若ω＝(1±k)ω0，且0＜k≪1，求小物块受到的摩擦力大小和方向．图甲解析(1)当ω＝ω0时，小物块只受重力和支持力作用，如图甲所示，其合力提供向心力，F合＝mgtanθ①F向＝mω20r②而r＝Rsinθ，F合＝F向③由①②③得ω0＝2gR④图乙(2)当ω＝(1＋k)ω0，且0k≪1时，所需要的向心力大于ω＝ω0时的向心力，故摩擦力方向沿罐壁的切线方向向下．建立如图乙所示坐标系．在水平方向上：FNsinθ＋Ffcosθ＝mω2r⑤在竖直方向上：FNcosθ－Ffsinθ－mg＝0⑥由几何关系知r＝Rsinθ⑦联立⑤⑥⑦式，解得Ff＝3k2＋k2mg⑧图丙当ω＝(1－k)ω0时，摩擦力的方向沿罐壁的切线方向向上．建立如图丙所示的坐标．在水平方向上：FNsinθ－Ffcosθ＝mω2r⑨在竖直方向上：FNcosθ＋Ffsinθ－mg＝0⑩由几何关系知r＝Rsinθ⑪联立⑨⑩⑪式，解得Ff＝3k2－k2mg.答案(1)ω0＝2gR(2)当ω＝(1＋k)ω0时，摩擦力方向沿罐壁切线向下，大小为Ff＝3k2＋k2mg当ω＝(1－k)ω0时，摩擦力方向沿罐壁切线向上，大小为Ff＝3k2－k2mg反思总结圆周运动问题的解题步骤：【跟踪短训】2．铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关．还与火车在弯道上的行驶速度v有关．下列说法正确的是()．A．速率v一定时，r越小，要求h越大B．速率v一定时，r越大，要求h越大C．半径r一定时，v越小，要求h越大D．半径r一定时，v越大，要求h越大解析火车转弯时，圆周平面在水平面内，火车以设计速率行驶时，向心力刚好由重力G与轨道支持力FN的合力来提供，如图所示，则有mgtanθ＝mv2r，且tanθ≈sinθ＝hL，其中L为轨间距，是定值，有mghL＝mv2r，通过分析可知A、D正确．答案AD物理建模6.竖直平面内圆周运动的“轻绳、轻杆”模型1．模型条件(1)物体在竖直平面内做变速圆周运动．(2)“轻绳模型”在轨道最高点无支撑，“轻杆模型”在轨道最高点有支撑．2．模型特点该类问题常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，现对两种模型分析比较如下：图4－3－7【典例】如图4－3－7所示，2012年8月7日伦敦奥运会体操男子单杠决赛，荷兰选手宗德兰德荣获冠军．若他的质量为60kg，做“双臂大回环”，用双手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动．此过程中，运动员到达最低点时手臂受的总拉力至少约为(忽略空气阻力，g＝10m/s2)()．A．600NB．2400NC．3000ND．3600N审题指导关键点：运动员以单杠上某一点为圆心做圆周运动属于竖直面内圆周运动的杆模型牛顿第二定律和机械能守恒定律FN－mg＝mv2R牛顿第二定律方程mg·2R＝12mv2机械能守恒方程自己试一试哟！解析设运动员在最低点受的拉力至少为FN，此时运动员的重心的速度为v，设运动员的重心到手的距离为R，由牛顿第二定律得：FN－mg＝mv2R又由机械能守恒定律得：mg·2R＝12mv2由以上两式代入数据得：FN＝5mg，运动员的重力约为G＝mg＝600N，所以FN＝3000N，应选C.答案C反思总结竖直面内圆周运动的求解思路(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同．(2)确定临界点：v临＝gr，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点．轻绳模型轻杆模型常见类型过最高点的临界条件由mg＝mv2r得v临＝gr由小球恰能做圆周运动即得v临＝0讨论分析(1)过最高点时，v≥gr，FN＋mg＝mv2r，绳、轨道对球产生弹力FN(2)不能过最高点v＜gr，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心(2)当0＜v＜gr时，