电磁场课件6镜像法电轴法电容

2泊松方程E0ED所有静电场问题的求解都可归结为在一定条件下寻求泊松方程或拉普拉斯方程的解的过程。(解二阶偏微分方程)DE微分方程边界条件外边界条件内分界条件21＝nn2211)()3sfnS＋（环路定律高斯定律静电场定解问题1.4静电场定解问题（边值问题）静电场定解问题静电场定解问题电磁场问题求解•电磁场问题可以分为电磁场分析（正问题）、逆问题（含优化设计问题）和电磁场工程三个部分。求解电磁场问题的方法，归纳起来可分为三大类，分别是解析法、数值法和半解析数值法。数值计算方法包括有限元法（FEM）、时域有限差分法（FDTD）、矩量法（MOM）和边界元法等；解析法包括积分法、分量变量法、镜像法、电轴法等；半解析数值法是解析法和数值法的综合。1.7镜像法与电轴法1.7.1镜像法（导板及无穷远处）（除q所在点外的区域）（S为包围q的闭合面）s2qd00SD1.接地无限大导体平面上方点电荷的电场镜像法:用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布,虚设电荷的个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。2.正负点电荷在上半空间产生的电场0r4qr4q0002除q所在点外的区域中间对称面处（S为包围q的闭合面）sqdSD可以用电荷-q作为+q的镜像，代替平面导体的感应电荷作用。地面上感应电荷的总量为（方向指向地面）EEE20π4cos2rqE2/3220)(π2xhqh2/3220)(π2＝xhqhEDnpxxxhqhSSpdπ2)(π2d02/322q例1.7.1试求空气中点电荷q在地面引起的感应电荷分布。解：设点镜像电荷为-q图1.7.2地面电荷分布2.球面导体的镜像点电荷位于接地导体球外的边值问题（除q点外的空间)002球面r0π4'π42010rqrqpcos2cos222222221RbRbrRdRdr设镜像电荷如图，球面电位'q图1.7.3点电荷对接地导体球的镜像0cos)'(2)](')([22222222bqdqRRdqRbq将r1,r2代入方程，得21'0qrqr0'0)(')(22222222bqdqRdqRbq联立求解得到qdRqdbqdRb'2镜像电荷位置镜像电荷大小球外任一点P的电位与电场为2010π4'π4rqrqp21220210π4π4rrPrdqRrqeeE图1.7.5球外的电场分布镜像电荷放在当前求解的场域外。镜像电荷等于负的感应电荷总量。图1.7.4球外的电场计算思考：不接地金属球附近放置点电荷q的电场分布。边值问题：0dconst02SSSD（除q点外的空间)通量为零（大小相等）'-,'qq球面等位（位于球心）'q思路：不接地金属球的镜像点电荷位于不接地导体球附近的场图3.不同介质分界面的镜像t2t1EEn2n1DD根据惟一性定理可得电位边值问题，即边界条件：cosπ4''cosπ4'cosπ4222121rqrqrqqq2121'qq2122''和解得sinπ4''sinπ4'sinπ4222rqrqrq1.7.2电轴法（ElectricAxisMethod）(导线以外的空间)02constB导体S电荷分布不均,dSDS电荷分布不均匀,dSDconstA导体边值问题长直平行双传输线分析实际长直平行双传输线附近的电场？用置于电轴上的等效线电荷,来代替圆柱导体面上分布电荷,从而求得电场的方法,称为电轴法。1.理想两根细导线产生的电位11001lnπ2dπ21CQ以y轴为参考电位，C=0，则22222010()lnln2π2π()Pxbyxby令：const,等位线方程P22222)()(KybxybxCP12021lnπ22202lnπ2C理想两根带电细导线002E实际圆柱导体传输线当K取不同值时，得到不同半径的偏心圆族。等效线电荷的位置为：22ba222222)12()11(KbKybKKx整理后，等位线方程0,h圆心坐标圆半径122KbKa理想细导线的等位线bKKh1122222)12(bKbK222)11(bKK2h尝试寻找（b、a、h）数值之间的关系：22bha等位线圆族中，必能找到与实际圆柱导体表面重合的圆。xyEExydd4)2(212212KbKyx根据，得到Ex和Ey分量EE线方程平行传输线附近的电位和电场电位云势图电场云势图已知平行传输线端压为U0,试求空间电位分布。22)2(adb)()(ln)()(lnπ200ahbahbahbahbUhdahb2222解：确定电轴的位置120lnπ2120ln)()(ln2ahbahbU所以设电轴线电荷，任一点电位图1.7.19电压为U0的传输线例1.7.4试决定图示不同半径平行长直导线的电轴位置。212222221212hhdahbahb图1.7.17不同半径传输线的电轴位置2221212daahd解：求得h1和h2，就可以确定等效电轴位置2221222daahd镜像法（电轴法）小结1.镜像法（电轴法）的理论基础是：2.镜像法（电轴法）的实质是：3.镜像法（电轴法）的关键是：镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区域。叠加时，要注意场的适用区域。用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀媒质；静电场惟一性定理；确定镜像电荷（电轴）的个数、大小及位置；4.应用镜像法（电轴法）解题时，注意：1.8.1电容器的电容1.8电容及部分电容UQC定义：pFμF,F,单位：电容只与两导体的几何尺寸、相互位置及周围的介质有关。工程上的电容器：电力电容器、电子线路常用小电容器。电容的计算思路：UQCUQldlEE设电容表征单位电压下导体能够容纳电荷的能力。解：设内导体的电荷为q,则,qdSSDr20r2r4q,r4qeEeDabab4q)b1a1(4qEdrU00ba同心导体间的电压abab4UqC0球形电容器的电容aC04当b时（孤立导体球的电容）球形电容器试求球形电容器的电容：单个孤立导体的电容孤立导体的电容：指该导体相对与无限远处另一导体之间的电容。通常，电容器都是由两个导体组成的独立系统。1.8.2多导体系统、部分电容1.若已知导体的电荷，求电位和电位系数中的其余带电体，与外界无任何联系，即1n1KK.0q•静电独立系统——D线从这个系统中的带电体发出，并终止于该系统•线性、多导体(三个及以上导体)组成的系统；部分电容概念以接地导体为电位参考点,导体的电位与各导体上的电荷的关系为2211002022110010qbqbqbqaqaqa接地三导体静电独立系统012012++=0()qqqqqq21211110qq22212120qq以此类推(n+1)个多导体系统只有n个电位线性独立方程，即nnnknk22n11nnnknkkk22k11kknn1kk12121111qqqqqqqqqqqq0120knqqqqqq电位系数，表明各导体电荷对各导体电位的贡献；——ii,自有电位系数，表明导体i上电荷对导体i电位的贡献；——j,i互有电位系数，表明导体j上的电荷对导体i电位的贡献；——写成矩阵形式为（静电独立系统方程）2.已知带电导体的电位，求电荷。qnnnknk22n11nnnknkkk22k11kknn1kk12121111qqq多导体系统中电位、电荷之间的关系，也可用电荷为电位的函数来表示。写成矩阵形式为：3.已知带电导体之间的电压差Ukn，求电荷。1122()()kkkkkq)(nkknknkn0k0k2k2k1k1kUCUCUCUCUCq（矩阵形式）式中：C——部分电容，它表明各导体间电压对各导体电荷的贡献；knkn2k2k1k1kC,,C,C（互有部分电容）；)(Cknkk2k1k0k（自有部分电容）。kknkk2k1k)(•所有部分电容都是正值，且仅与导体的形状、尺寸、相互位置及介质的ε值有关；•互有部分电容i,jj,iCC，即为对称阵；C•部分电容是否为零,取决于两导体之间有否电力线相连。例1.8.2试计算考虑大地影响时，两线传输线的各部分电容及二线输电线的等效电容。已知如图示：haad,2201221221121101)()(CCCC32)12(22)1(nn解:部分电容个数,如图(b)。线电荷与电位的关系为图1.8.4两线输电线及其电容网络静电网络与等效电容在(n+1)个导体构成的静电独立系统中，共有n(n+1)/2个部分电容，这些电容构成了电容网络。可以把静电场问题转变为电容电路问题。令,0,121则利用镜像法，输电线两导体的电位ddhah2202014ln212ln21ddh4ln21Chd2dh4aln21C0dh4ahd2ln21Cah2ln21C1220202202122012010为)ad,rrln2(120)3(）得）代入式（将式（2322012122112110C)(C0)(CC1)2(两线输电线对大地的镜像联立解之得addh4h2ln2CC2202010二线间的等效电容：)dh4ddh2ln(2CCCCCC2202010201012e22222202112)ddh4(ln)ah2(lnddh4ln2CC两线输电线及其电容网络4.静电屏蔽应用部分电容还可以说明静电屏蔽问题。202021212121210101UCUCqUCUCq若0,0101Uq01212UC012C0号导体接地，得2020210101UCqUCq这说明了1q只与10U有关，2q只与20U有关，即1号导体与2号导体之间无静电联系，达到了静电屏蔽的要求。静电屏蔽在工程上有广泛的应用，例如有线电视信号线。图1.8.5静电屏蔽作业镜像法：P46:1-7-2电轴法：1-7-5部分电容：P52:1-8-3Thanks！