第十二篇概率随机变量及其分布第7讲正态分布

第7讲正态分布利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【复习指导】掌握好正态密度曲线的特点，尤其是其中的参数μ、σ的含义，会由其对称性求解随机变量在特定区间上的概率．基础梳理1．正态曲线及性质(1)正态曲线的定义函数φμ，σ(x)＝12πσe－x－μ22σ2，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的解析式①指数的自变量是x定义域是R，即x∈(－∞，＋∞)．②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．④解析式前面有一个系数为12πσ，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为－x－μ22σ2.六条性质正态曲线的性质正态曲线φμ，σ(x)＝12πσe－x－μ22σ2，x∈R有以下性质：(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；(4)曲线与x轴围成的图形的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．三个邻域会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．双基自测1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝18πe－x－1028，则这个正态总体的平均数与标准差分别是()．A．10与8B．10与2C．8与10D．2与102．正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aX≤b)＝baφμ，σ(x)dx，则称X的分布为正态分布，记作N(μ，σ2)．(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0.9974.解析由18πe－x－1028＝12πσe－x－μ22σ2，可知σ＝2，μ＝10.答案B2．(2011·湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)等于()．A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析由P(ξ＜4)＝0.8知P(ξ＞4)＝P(ξ＜0)＝0.2，故P(0＜ξ＜2)＝0.3.故选C.答案C3．(2010·广东)已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X＞4)等于()．A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P(X＞4)＝0.5－12P(2≤X≤4)＝0.5－12×0.6826＝0.1587.故选B.答案B4．(2010·山东)已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，若P(X2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)等于()．A．0.477B．0.628C．0.954D．0.977解析P(－2≤X≤2)＝1－2P(X2)＝0.954.答案C5．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(Xc＋1)＝P(Xc－1)，则c等于()．A．1B．2C．3D．4解析∵μ＝2，由正态分布的定义知其函数图象关于x＝2对称，于是c＋1＋c－12＝2，∴c＝2.答案B考向一正态曲线的性质【例1】►若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π.(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；(2)求正态总体在(－4,4]的概率．[审题视点]要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．解(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由12πσ＝12π·4，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝142πe－x232，x∈(－∞，＋∞)．(2)P(－4X≤4)＝P(0－4X≤0＋4)＝P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826.解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．【训练1】设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1＞0)和N(μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有()．A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析根据正态分布N(μ，σ2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A.答案A考向二服从正态分布的概率计算【例2】►设X～N(1,22)，试求(1)P(－1X≤3)；(2)P(3X≤5)；(3)P(X≥5)．[审题视点]将所求概率转化到(μ－σ，μ＋σ]．(μ－2σ，μ＋2σ]或[μ－3σ，μ＋3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解．解∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2.(1)P(－1X≤3)＝P(1－2X≤1＋2)＝P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826.(2)∵P(3X≤5)＝P(－3X≤－1)，∴P(3X≤5)＝12[P(－3X≤5)－P(－1X≤3)]＝12[P(1－4X≤1＋4)－P(1－2X≤1＋2)]＝12[P(μ－2σX≤μ＋2σ)－P(μ－σX≤μ＋σ)]＝12×(0.9544－0.6826)＝0.1359.(3)∵P(X≥5)＝P(X≤－3)，∴P(X≥5)＝12[1－P(－3X≤5)]＝12[1－P(1－4X≤1＋4)]＝12[1－P(μ－2σX≤μ＋2σ)]＝12×(1－0.9544)＝0.0228.求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．【训练2】随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，已知P(ξ＜0)＝0.3，则P(ξ＜2)＝________.解析由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P(ξ＞2)＝P(ξ＜0)＝0.3，P(ξ＜2)＝1－0.3＝0.7.答案0.7考向三正态分布的应用【例3】►2011年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N(8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆．[审题视点]根据正态密度曲线的对称性求解．解由题意可知ξ～N(8，σ2)，故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P(7≤ξ≤9)＝0.7，故P(7≤ξ≤9)＝2P(8≤ξ≤9)＝0.7，所以P(8≤ξ≤9)＝0.35，而P(ξ≥8)＝0.5，所以P(ξ＞9)＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1200×0.15＝180辆．服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当P(ξ＞x1)＝P(ξ＜x2)时必然有x1＋x22＝μ，这是解决正态分布类试题的一个重要结论．【训练3】工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N4，19，问在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？解∵X～N4，19，∴μ＝4，σ＝13.∴不属于区间(3,5]的概率为P(X≤3)＋P(X＞5)＝1－P(3＜X≤5)＝1－P(4－1＜X≤4＋1)＝1－P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝1－0.9974＝0.0026≈0.003，∴1000×0.003＝3(个)，即不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有3个．阅卷报告19——正态分布中概率计算错误【问题诊断】正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．【防范措施】对正态分布N(μ，σ2)中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．【示例】►已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116，64)，则成绩在140分以上的考生所占的百分比为()．A．0.3%B．0.23%C．1.5%D．0.15%错因(1)不能正确得出该正态分布的两个参数μ，σ导致计算无从下手．(2)对正态分布中随机变量在三个区间内取值的概率数值记忆不准，导致计算出错．实录同学甲A同学乙B同学丙C正解依题意，μ＝116，σ＝8，所以μ－3σ＝92，μ＋3σ＝140，而服从正态分布的随机变量在(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率约为0.997，所以成绩在区间(92,140)内的考生所占百分比约为99.7%，从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为1－99.7%2＝0.15%.故选D.答案D【试一试】在正态分布N0，19中，数值落在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为()．A．0.097B．0.046C．0.03D．0.0026解析∵μ＝0，σ＝13，∴P(x＜－1或x＞1)＝1－P(－1≤x≤1)＝1－P(μ－3σ≤x≤μ＋3σ)＝1－0.9974＝0.0026.答案D