第四章动态电路分析方法第一节一阶电路的分析411一阶

电路与电子技术基础第四章动态电路分析方法第四章动态电路分析方法第一节一阶电路的分析4.1.1一阶电路的零输入响应4.1.2一阶电路的零状态响应4.1.3一阶电路的完全响应第二节二阶电路的分析4.2.1LC电路中的自由振荡4.2.2二阶电路的零输入响应描述4.2.3二阶电路的零输入响应—非振荡情况4.2.4二阶电路的零输入响应—振荡情况电路与电子技术基础第四章动态电路分析方法研究对象：含动态元件电路的过渡过程分析方法；关注焦点：零输入响应和零状态响应的物理意义及求解方法。特别提示：由于电路分析的基本变量是电压和电流，对于含有动态元件的电路，电容电压和电感电流是连续量，在列方程时，一般以电容电压或电感电流为变量。（最后一个例题说明）一、一阶电路的分析定义：含有一个动态元件的线性电路。通常是用一阶线性常系数微分方程来描述。R+++us(t)uc(t)is(t)Ruc(t)C---(a)(b)(c)(a)单一动态元件网络；(b)用戴维南定理简化；(c)用诺顿定理简化含源电阻网络电路与电子技术基础第四章动态电路分析方法1.一阶电路的零输入响应物理意义：所谓零输入响应就是没有外部激励输入，仅仅依靠动态元件中的储能产生的响应。换句话说是求解微分方程在初始条件不为零时的齐次解。换路：在开关切换的前、后时刻，通常用t0-或t0+表示。K1K2i(t)uc(0)=U0CRUS=U0已充电的电容与电阻相联接换路后i(t)++uc(0)=UCuc(t)uR(t)--RC电路uc(0)=U0由上右图。根据KVL得：uc(t)-uR(t)=0由欧姆定理得：uR(t)=Ri(t)由电容特性知：0)0()()(UudttduCticc及代入整理可得：0)0(00)()(UutdttduRCtuccc及电路与电子技术基础第四章动态电路分析方法解以上线性齐次常微分方程可得：再利用初始条件，最后解得一阶电路的零输入响应为：tRCCketu1)(0)(10teUtutRCC几点说明：(1)RC的量纲为时间，故通常称τ=RC为电路时间常数。(2)当t=4τ时，uc(4τ)=0.0184U0，一般认为衰减到零。(3)1/τ称为电路的固有频率iU0R0tuC(t)U00.0184U00.368U00τ2τ3τ4τt(s)电路与电子技术基础第四章动态电路分析方法思考问题：(1)若求出uc(t)，如何求ic(t)？(2)为什么说RC的量纲是时间？(3)uc(t)不能跳变，ic(t)能否跳变？(4)零输入响应是由什么引起的？(5)能否根据求解RC电路的过程求解RL电路？对于RL电路的分析请同学们自己看书理解，RL电路与RC电路是对称的，同学们只需注意：①RL电路中的连续量是il(t)；②电感是存储磁场能量的，是以电感电流的形式表现的，初始条件是il(0)；③时间常数τ=L/R。例：t=0时开关闭合，求电路中的i(t)6Ω2Ωi(t)2Ωi(t)i1(t)iC(t)++10V2V2F2ΩuC(t)2F2Ω--02)0()(2teeututRCtCCs221RCV,2)0(Cu02d)(d)(2tettuCtitCC0)()(21teRtutitC0)()()(21tetitititC电路与电子技术基础第四章动态电路分析方法2.一阶电路的零状态响应物理意义：所谓零状态响应就是在初始条件为零的情况下，由施加与电路的输入所产生的响应。换句话说是求微分方程初始条件为零时的非齐次解。下图中K闭合，当t=0时，开关打开，此时uC(0)=0，然后分析电路响应。以电容C两端的电压作为求解对象，则+is(t)=IsuC(t)CR-0)(d)(dtIRtuttuCsCCuCRIsIs斜率CtCItustc0dd初始时刻：稳态以后：uC≈RIs根据公式对电路进行定性分析可以得到上图uC变化曲线，若要得到uC的解析表达式，可通过解微分方程得到。电路与电子技术基础第四章动态电路分析方法通过解微分方程得到一阶电路零状态响应的解析表达式。由于电路有外部激励，因此微分方程是非齐次方程，对于非齐次微分方程，其解由齐次解和特解两部分组成。解齐次方程：)0(d1d01dd1tkeutRCuuuRtuCtRCchCCCC或改写为：常数k由完全解和初始条件所决定。特解与外施激励函数有相同的形式，本例中激励函数是恒定电流，所以可以认为特解是常数。设ucp=A，将其代入微分方程得：scpsRIAuIAR1完全解为：stRCcpchCRIkeuuu1由初始条件uC(0)=0代入上式，可以确定k=-Ris，故零状态响应为：)0()1(11teRIRIeRIuuutRCsstRCscpchC电路与电子技术基础第四章动态电路分析方法一阶零状态电路的响应曲线如图所示。uC0.05RIs0.02RIsRIs0.63RIs0τ2τ3τ4τt对于RL电路的分析，根据对称性原则，同学们自学。电路与电子技术基础第四章动态电路分析方法uC(t)+-2F1Ω+us(t)=1V2ΩuO(t)-例：电路如图所示，已知uC(0)=0。在t=0时开关闭合，求t≥0时uC(t)和uo(t)。uC(t)+-2FUsR1/3V2/3Ω由简化后的电路知：RURutuCURtuCusCCsCCdddd整理得：这与前面讨论的方程一致，利用已得结论得：)1()1()1(111tRCstRCstRCsCeUeRUReRIu电路与电子技术基础第四章动态电路分析方法3.一阶电路的完全态响应物理意义：初始状态不为零，外部激励也不为零时电路的响应。研究方法：在讨论零状态响应时，我们已谈到微分方程的解是由通解和特解组成的，只是在求通解的待定常数时，利用初始条件为零，若初始条件不为零，则可以得到一阶电路的完全响应。设电路响应为y(t)，y(∞)为电路达到稳态时的响应，y(0)为响应的初始值。thpAeytytyty)()()()(将t=0代入上式)()0()()0(0yyAAeyyteyyyty)]()0([)()(故：对于该式，如果知道响应初值y(0)、稳态值y(∞)以及时间常数τ，就可以完全确定电路响应y(t)，这种方法称为求电路完全响应的三要素法。电路与电子技术基础第四章动态电路分析方法下面对电路完全响应进行分析。电路如图，K1打开，K2闭合，电路达到稳态。在t=0时，K1闭合，K2打开，求t≥0时电压uC(t)。暂态响应t零输入响应零状态响应稳态响应ucRIsU0-RIs0K1K2++IsRCuC(t)Uo--K1打开，K2闭合，电路达到稳态时，uC(0)=UO。电路切换后达到稳态时，由于电容相当于开路，所以电容两端电压即为电阻R两端电压，所以uC(∞)=ISR时间常数τ=RC，根据三要素公式可知：暂态响应稳态响应tsostCCCCeRIURIeuuutu)()]()0([)()(零状态响应零输入响应)1()(tstoCeRIeUtu将右式改写为下式可以看到它是由零输入响应和零状态响应组成电路与电子技术基础第四章动态电路分析方法例：如图(a)所示电路，t=0时开关S1打开，S2闭合，在开关动作前，电路已达稳态，试求t≥0时的uL(t)和iL(t)。解：t0时，电路已处于稳态,有1ΩS1S2iL(t)++10V0.3HuL(t)3A4Ω2Ω––(a)iL(t)+uL(t)4Ω2Ω3A-(b)A)(10110)0()0(LiiL开关动作后电路如图(b)所示，电感电流稳态值为：A3)(Li电路的时间常数：(s)4092//43.00RL根据三要素公式，得电感电流：(A)e73e)310(3)(940940Lttti电感电压为：(V)e328dd)(940LLttiLtu电路与电子技术基础第四章动态电路分析方法例：含有受控源电路的动态分析。K在2的位置，电路处于稳态。t=0时，K由2切换到1。求uc(t)和电流i(t)。解：为简化电路分析，将含受控源部分的电路用戴维南等效电路代替。参见电路图(b)i(t)2Ω122.5Ω6Ω++-12V5V-+uC+4i0.1F--i’2Ωa+6Ω+12Vuoc-+4i’--bA14)62(12iii故由KVL得：开路电压为：V101046iiiuoc求戴维南电路等效电阻。内部电源置零，外加电压U的方法I1II26Ω+2ΩU--4I1+UUUUIIUIIII623563564111211IURo电路与电子技术基础第四章动态电路分析方法1Ω122.5Ω++-10V5V-uC+0.1F-将受控源部分用戴维南电路等效后，电路如图所示，根据此电路用三要素法求电路的过渡过程，有：s1.01.011V10)(2V5)0(0CRKuKucc位置在位置在V1510)105(10)(1010ttceetui(t)2Ω122.5Ω6Ω++-12V5V-+uC+4i0.1F--回到原电路，可知：A5.712)(12)(10tccetuti电路与电子技术基础第四章动态电路分析方法例：K在1的位置，电路处于稳态。t=0时，K由1切换到2。求u(t)的零输入响应、零状态响应和完全响应。1K5Ω10Ω2+iL+20V+10Ωu40mH-35V--解：欲求u(t)响应，但u(t)响应是电阻两端电压，在求解动态电路时只能以连续量电感电流为求解对象，所以，先求电感电流。K在1的位置，电路处于稳态，电感相当于短路。则A121)10//10(520)0(Li由于电感电流不能跳变，所以A1)0()0(LLii当K处于2的位置，电路稳定后，33103)10//5(101040RLA75.121(10//10)535)(Li电路时间常数为，电路与电子技术基础第四章动态电路分析方法tttLLLLeeeiiiti3103103375.075.1]75.11[75.1)]()0([)()(以三要素法求电感电流，dttdiLtituLL)()(10)(则u(t)为电路与电子技术基础第四章动态电路分析方法第二节二阶电路的分析（限于时间，该部分由同学自学）