第四章系统的频率特性分析机械工程控制基础教案

Chp.4频率特性分析基本要求1．掌握频率特性的定义和代数表示法以及与传递函数、单位脉冲响应函数和微分方程之间的相互关系；掌握频率特性和频率响应的求法；掌握动刚度与动柔度的概念。2．掌握频率特性的Nyquist图和Bode图的组成原理，熟悉典型环节的Nyquist图和Bode图的特点及其绘制，掌握一般系统的Nyquist图和Bode图的特点和绘制。3．了解闭环频率特性与开环频率特性之间的关系。4．掌握频域中性能指标的定义和求法；了解频域性能指标与系统性能的关系。5．解最小相位系统和非最小相位系统的概念。重点与难点本章重点1．频率特性基本概念、代数表示法及其特点。2．频率特性的图示法的原理、典型环节的图示法及其特点和一般系统频率特性的两种图形的绘制。3．频域中的性能指标。本章难点1．一般系统频率特性图的画法以及对图形的分析。2．频域性能指标和时域性能指标之间的基本关系。§1概述一、频域法的特点：系统分析法：时域法、频域法①仅数学语言表达不同：将t转换为ω，不影响对系统本身物理过程的分析；②时域法侧重于计算分析，频域法侧重于作图分析；工程上更喜欢频域法③优点：a)系统无法用计算分析法建立传递函数时，可用频域法求出频率特性，进而导出其传递函数；b)验证原传递函数的正确性：计算法建立的传递函数，通过实验求出频率特性以验证；c)物理意义较直观。④缺点：仅适用于线性定常系统工程上大量使用频域法。二、基本概念：1、频率响应：定义：系统对正弦（或余弦）信号的稳态响应。输入：xi(t)=Xisinωt输出：包括两部分：①瞬态响应：非正弦函数，且t→∞时，瞬态响应为零。②稳态响应：与输入信号同频率的波形，仍为正弦波，但振幅和相位发生变化。fig4.1.1讨论：a)频率响应仅是时间响应的特例；b)频率响应反映系统的动态特性：输出随ω变化（非t）；c)为何选简谐信号为输入？原因：工程上绝大多数周期信号可用F变换展开成叠加的离散谐波信号；非周期信号可用F变换展开成叠加的连续谐波信号。→用正弦信号作输入合理。2、频率特性G(jω):（为幅频特性和相频特性的总称）定义：频域中，系统的输入量与输出量之比。讨论：①G(jω)是复数，可写成：G(jω)=u(ω)+jv(ω)=∣G(jω)∣ejφ(ω)=A(ω)∠Ф(ω)u(ω)：为G(jω)的实部→实频特性；v(ω)：为G(jω)的虚部→虚频特性。③幅频特性∣G(jω)∣：输出量的振幅与输入量的振幅之比。∣G(jω)∣反映输入在不同ω下，幅值衰减或增大的特性。∣G(jω)∣是G(jω)模：④相频特性∠Ф(ω)：定义：输出量的相位与输入量的相位之差。Ф(ω)=∠Ф(ω)=[ωt+∠G(ω)]-ωta)∠G(ω)反映频率特性的幅角；b)符号：Ф(ω)逆时针方向为正；系统Ф(ω)一般为负。原因：系统输出一般滞后。结论：频率响应实际上可由频率特性描述，而频率特性可由幅频特性和相频特性表达。三、频率特性获取：1、L逆变换：因为X0(s)=G(s)Xi(s)若xi(t)=Xisinωt（例）2、用jω替代s：求出G(s)后，用jω替代s即可。（证明，例）3、实验方法：不能用计算方法建立系统数学模型时尤其适用。方法：①改变输入信号频率ω，测出相应输出的幅值和相位②画出XO(ω)/Xi与ω曲线→获幅频特性画出Ф(ω)与ω曲线→相频特性系统数学模型获取方法：p.89四、频率特性的特点：1、G(jω)是w(t)的F变换。因为X0(s)=G(s)Xi(s)xi(t)=δ(t)Xi(s)=1→x0(t)=w(t)所以，X0(jω)=G(jω)即F[w(t)]=G(jω)结论：对系统频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。2、G(jω)在频域内反映系统的动态特性。G(jω)是谐波输入下的时域中的稳态响应，而在频域中，系统随ω变化反映系统动态特性。3、频域分析比时域容易。a)分析系统结构及参数变化对系统的影响时更容易分析；b)易于稳定性分析；c)易于校正，使系统达到预期目标；d)易于抑制噪声，用频率特性易于设计出合适的通频带，抑制噪声。§2频率特性的Nyquist图（极坐标图）频率特性分析常用图示法：极坐标图（Nyquist），对数坐标图（Bode）一、极坐标图的绘制：Nyquist图：当ω由0→∞时，G(jω)（矢量）的端点在[G(jω)]复平面上所形成的轨迹。矢量：即为频率特性G(jω)对ω=ω1在实轴上投影：G(jω)实部，u(ω)=u(ω1)在虚轴上投影：G(jω)虚部，v(ω)=v(ω1)G(jω1)=u(ω1)+jv(ω1)模相角Nyquist图既表示实频和虚频特性，也反映幅频和相频特性。绘制步骤：①由G(jω)列出∣G(jω)∣和∠G(jω)表达式；角∠G(jω)走向：逆正顺负②ω在[0，∞]取不同值，代入∣G(jω)∣、∠G(jω)，获得相应值；③在相应于∠G(jω)射线上，截取∣G(jω)∣值；④将∣G(jω)∣线段的终点连接起来，即获得G(jω)的极坐标图。二、典型环节的Nyquist图：1、比例环节：G(s)=K频率特性：G(jω)=K→∣G(jω)∣=Ku(ω)=K∠G(jω)=00v(ω)=0轨迹：一条与实轴重合的直线。结论：比例环节的幅、相频率特性与ω无关；输出量的振幅永远是输入量振幅的K倍，且相位永远相同。2、积分环节：G(s)=1/s频率特性：G(jω)=1/jω→∣G(jω)∣=1/ωu(ω)=0∠G(jω)=-900v(ω)=-1/ω变化：ω=0∣G(jω)∣=∞∠G(jω)=-900ω=∞∣G(jω)∣=0∠G(jω)=-900轨迹：一条与负虚轴重合的直线，由无穷远点指向原点，相位总是-900结论：低频（ω→0）时，输出振幅很大，高频（ω→∞）时输出振幅为0；输出相位总是滞后输入900。3、微分环节G(s)=s频率特性：G(jω)=jω→∣G(jω)∣=ωu(ω)=0∠G(jω)=900v(ω)=ω变化：ω=0∣G(jω)∣=0∠G(jω)=900ω=∞∣G(jω)∣=∞∠G(jω)=900轨迹：与正虚轴重合的直线，由原点无穷远点指向无穷远点，相位总是900结论：低频（ω→0）时，输出振幅为0，高频（ω→∞）时输出振幅很大；输出相位总是超前输入900。4、惯性环节：∠G(jω)=-arctgTω变化：ω=0∣G(jω)∣=k∠G(jω)=00ω=1/T∣G(jω)∣=0.707k∠G(jω)=-450ω=∞∣G(jω)∣=0∠G(jω)=-900轨迹：四象限内的一半圆。（图4.2.1）结论：①低频端（ω→0）时，输出振幅等于输入振幅，输出相位紧跟输入相位，即此时信号全部通过；②随ω↑，输出振幅越来越小（衰减），相位越来越滞后；③高频端（ω→∞）时输出振幅衰减至0，即高频信号被完全滤掉（实际上是一个低通滤波器）5、一阶微分环节：G(s)=Ts+1G(jω)=jωT+1→u(ω)=1v(ω)=ωT∠G(jω)=arctgωT变化：ω=0∣G(jω)∣=1∠G(jω)=00ω=1/T∣G(jω)∣=1.414k∠G(jω)=450ω=∞∣G(jω)∣=∞∠G(jω)=900轨迹：始于正实轴点（1，j0），且平行于虚轴，在第一象限内的一条直线。结论：高、低频信号都能全部通过，频率越高，增益越大，相位越超前。6、振荡环节：变化：ω=0（λ=0）∣G(jω)∣=1∠G(jω)=00ω=ωn（λ=1）∣G(jω)∣=1/2ζ∠G(jω)=-900ω=∞（λ=∞）∣G(jω)∣=0∠G(jω)=-1800轨迹：在三、四象限内的曲线。起点（1，j0），终点（0，j0）(图4.2.6)讨论：①ζ取值不同，Nyquist图形状不同；（图4.2.7）值越大，曲线范围越小。②固有频率ωn：曲线与虚轴之交点，此时幅值∣G(jω)∣=1/2ζ③谐振频率ωr：使∣G(jω)∣出现峰值的频率。⑤ωr＜ωd:欠阻尼下，谐振频率总小于有阻尼固有频率。7、延时环节：G(s)=e-sτ=|G|ejφ(ω)|G(jω)|=1∠G(jω)=-ωτ(图4.2.9)三、Nyquist图的一般形式：传递函数：式中，k=b0/a0,分母次数n，分子次数m，1、0型系统（v=0）:当ω=0∣G(jω)∣=k∠G(jω)=00ω=∞∣G(jω)∣=0∠G(jω)=(m-n)×900在低端，轨迹始于正实轴，高端时，轨迹趋于原点（由哪个象限趋于原点？）2、Ⅰ型系统（v=1）：当ω=0∣G(jω)∣=∞∠G(jω)=-900ω=∞∣G(jω)∣=0∠G(jω)=(m-n)×900低端，轨迹的渐近线与负虚轴平行，高端时，轨迹趋于原点3、Ⅱ型系统（v=2）：当ω=0∣G(jω)∣=∞∠G(jω)=-1800ω=∞∣G(jω)∣=0∠G(jω)=(m-n)×900低端，轨迹的渐近线与负实轴平行，高端时，轨迹趋于原点可见，无论0、Ⅰ、Ⅱ型系统，低端幅值都很大，高端都趋于0→控制系统总是具有低通滤波的性能。四、例题：1、已知系统的传递函数，试绘制其Nyquist图。（图4.3.1）2、已知系统的传递函数，试绘制其Nyquist图。（图4.3.2）3、已知系统的传递函数，试绘制其Nyquist图。（图4.3.3）§3Bode图（对数坐标图）将幅、相频率特性分开画：对数幅频特性，对数相频特性，统称Bode图。一、坐标构成：1、对数幅频特性图：横坐标：对数分度：lgω1/ω2,标示：lgω单位：rad/s或s-1纵坐标：线性分度，20lg|G|,单位：分贝（dB）2、对数相频特性图：纵坐标：G(jω)的相位∠G(ω)，单位：度横坐标：同对数幅频特性图3、优点：①简化计算：将串联环节的幅值乘除法简化为对数域的加、减法。②简化作图过程：对环节的幅值Bode图，先用渐近线表示，再修正曲线，可获得较精确的幅值Bode图。③叠加：叠加法将各环节幅值Bode图进行累加，获得整个系统的Bode图。④便于对系统的性能进行观察和分析：横坐标用lgω1/ω2作分度，扩展了低频区，缩小了高频区。（系统主要性能表现在低频区）二、典型环节的Bode图：1、比例环节：G(jω)=K①|G(jω)|=K20lg|G(jω)|=20lgK对数幅频特性曲线：一条水平线，分贝数20lgKK值大小使曲线上下移动。②∠G(jω)=arctg(0/k)=0o与0o线重合，与K值无关。（图4.4.2）2、积分环节①20lg|G(jω)|=-20lgω线性关系ω=1（lgω=0）20lg|G(jω)|=0dBω=10（lgω=1）20lg|G(jω)|=-20dB曲线通过（1，0）、（10，-20）斜率:-20dB/dec令y=20lg|G(jω)|，x=lgω，则y=-20x②与ω无关过（0，90o）平行于横轴的直线。③若则20lg|G(jω)|=20lgk-20lgω相当于y=b-20x3、微分环节G(jω)=jω①|G(jω)|=ω20lg|G(jω)|=20lgω为一条斜率20dB/dec的直线ω=1（lgω=0）20lg|G(jω)|=0dB→直线通过（1，0）②与ω无关4、惯性环节：①幅频特性：讨论：a)非线性，用渐近线表示。b)ω《ωT（低频渐近线）：20lg|G(jω)|≈20lgωT-20lgωT=0一条与0dB线完全重合的直线，止于（ωT，0）c)ω》ωT（高频渐近线）：20lg|G(jω)|≈20lgωT-20lgω截距20lgωT，斜率-20dB/dec,始于（ωT，0）d)转角频率ωT：低频渐近线与高频渐近线的交点e)低通滤波特性：低频输出较精确反映输入。高频输出很快衰减。f)误差：渐近线与精确对数曲线的差值e(ω)低频：高频：修正曲线：最大误差在ωT处，e(ωT)=-3dB②相频特性：ω=0∠G(ω)=0oω=ωT∠G(ω)=-45oω=∞∠G(ω)=-90o曲线对称于点（ωT，-45o），低频段，输出与输入的相位相同，高频段，输出相位滞后于输入90o。5、振荡环节：①讨论：a)非线性，用渐近线表示。b)ω《ωn(λ≈0)（低频渐近线）：20lg|G(jω)|=0为0dB