等比数列(Ⅱ)单元练习题

用心爱心专心-1-高三数学单元练习题：等比数列（Ⅱ）【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.等差数列{an}前四项和为40，末四项和为72，所有项和为140，则该数列共有（）A.9项B.12项C.10项D.13项【答案】C【解析】∵a1+a2+a3+a4=40,an+an-1+an-2+an-3=72.∴a1+an=47240=28.又2)(1naan=140,故n=10.2.给出下列等式：（ⅰ）an+1-an=p(p为常数);（ⅱ）2an+1=an+an+2(n∈N*);(ⅲ)an=kn+b(k,b为常数)则无穷数列{an}为等差数列的充要条件是（）A.（ⅰ）B.（ⅰ）（ⅲ）C.（ⅰ）（ⅱ）D.（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）【答案】D【解析】易知三个都是，另外还有一个常见的是{an}的前n项和Sn=an2+bn，（a,b为常数）.3.等差数列{an}中，若a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于（）A.66B.99C.144D.297【答案】B【解析】a1+a4+a7=39a4=13,a3+a6+a9=27a6=9，S9=2)(92)(96491aaaa=99.4.等差数列{an}的公差为d,前n项的和为Sn,当首项a1和d变化时,a2+a8+a11是一个定值,则下列各数中也为定值的是（）A.S7B.S8C.S13D.S15【答案】C【解析】因a2+a8+a11=3a7,故a7为定值.又S13=2)(13131aa=13a7,∴选C.5.已知数列{an}中,a3=2,a7=1,又数列{11na}是等差数列,则a11等于()A.0B.21C.32D.-1【答案】B用心爱心专心-2-【解析】∵111137aa+(7-3)d,∴d=241.∴1111311aa+(11-3)d=32,a11=21.6.已知数列{an}的通项为an=26-2n,若要使此数列的前n项之和Sn最大,则n的值是()A.12B.13C.12或13D.14【答案】C【解析】由,0,01nnaa得12≤n≤13,故n=12或13.7.在等差数列{an}中,2021aa＜-1,若它的前n项和Sn有最大值,则下列各数中是Sn的最小正数值的是()A.S1B.S38C.S39D.S40【答案】C【解析】因Sn有最大值,故d＜0,又202021aaa＜0.因a21＜a20,故a20＞0,a20+a21＜0.∴S40=20(a1+a40)=20(a20+a21)＜0.S39=39a20＞0,S39-S38=a39＜0.又S39-S1=a2+a3+…+a39=19(a2+a39)=19(a1+a40)＜0,故选C.二、填空题（每小题5分，共15分）8.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下图的规律拼成若干个图案:则第n个图案中有白色地面砖_____________块.【答案】4n+2【解析】每增加一块黑砖,则增加4块白砖,故白砖数构成首项为6,公差为4的等差数列,故an=6+4(n-1)=4n+2.9.设f(x)=244xx,利用课本中推导等差数列前n项和方法,求f(111)+f(112)+…+f(1110)的值用心爱心专心-3-为_________________.【答案】5【解析】当x1+x2=1时,f(x1)+f(x2)=42)44(4)44(242244244212121212211xxxxxxxxxxxx=1.设S=f(111)+f(112)+…+f(1110),倒序相加有2S=［f(111)+f(1110)］+［f(112)+f(119)］+…+［f(1110)+f(111)］=10.即S=5.10.数列1,2+3,4+5+6,7+8+9+10,…,的一个通项公式an=__________________.【答案】2)1(2nn【解析】前n项一共有1+2+3+…+n=2)1(nn个自然数,设Sn=1+2+3+…+n=2)1(nn,则an=2)1(2]12)1([2)1(2]12)1([2)1(22)1(2)1(nnnnnnnnnnSSnnnn.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.{an}是等差数列，公差d＞0，Sn是{an}的前n项和，已知a2a3=40,S4=26.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn=11nnaa，求数列{bn}的所有项之和T.【解析】（1）S4=24(a1+a4)=2(a2+a3)=26.又∵a2a3=40,d＞0，∴a2=5,a3=8,d=3.∴an=a2+(n-2)d=3n-1.(2)bn=11nnaa=)231131(31)23)(13(1nnnnTn=)23(2)23121(31]231)1(31)8151()5121[(31nnnnn.12.已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7,(1)设f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：{an}为等差数列；（2）设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成{bn},求{bn}的前n项和.(1)证明：f(x)=［x-(n+1)2］+3n-8,∴an=3n-8.∵an-1-an=3,∴{an}为等差数列.用心爱心专心-4-(2)【解析】bn=|3n-8|,当1≤n≤2时，bn=8-3n,b1=5.Sn=23132)385(2nnnn；当n≥3时，bn=3n-8.Sn=5+2+1+4+…+(3n-8)=7+2)831)(2(nn=2281332nn.∴Sn=).3(228133),21(2313222nnnnnn13.假设你在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案：（Ⅰ）每年年末加1000元；(Ⅱ)每半年结束时加300元.请你选择.(1)如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？(2)对于你而言，你会选择其中的哪一种？【解析】设方案一第n年年末加薪an,因为每年末加薪1000元，则an=1000n；设方案二第n个半年加薪bn，因为每半年加薪300元，则bn=300n.(1)在该公司干10年（20个半年），方案（Ⅰ）共加薪S10=a1+a2+…+a10=55000（元）.方案（Ⅱ）共加薪T20=b1+b2+…+b20=20×300+2)120(20×300=63000元.(2)设在该公司干n年，两种方案共加薪分别为：Sn=a1+a2+…+an=1000×n+2)1(nn×1000=500n2+500n,T2n=b1+b2+…+b20=2n×300+2)12(2nn×300=600n2+300n；令T2n≥Sn即600n2+300n＞500n2+500n,解得，n≥2,当n=2时等号成立.∴如果干3年以上（包括3年）应选择第二方案；如果只干2年，随便选；如果只干1年，当然选择第一方案.14.设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,且对于所有的正整数n,有an=2nS2-2.(1)写出数列{an}的三项;(2)求数列{an}的通项公式,并写出推证过程;(3)令bn=14nnaa,求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)由题意，当n=1时，有a1=212S-2,S1=a1，用心爱心专心-5-∴a1=212a-2,解得a1=2.当n=2时，有a2=222S-2,S2=a1+a2,将a1=2代入，整理得（a2-2）2=16,由a2＞0，解得a2=6.当n=3时，有a3=232S-2,S3=a1+a2+a3,将a1=2,a2=6代入，整理得（a3-2）2=64,由a3＞0，解得a3=10.所以该数列的前三项分别为2，6，10.(2)由an=2nS2-2(n∈N*),整理得Sn=81(an+2)2,则Sn+1=81(an+1+2)2,∴an+1=Sn+1-Sn=81［(an+1+2)2-(an+2)2］.整理，得（an+1+an）(an+1-an-4)=0,由题意知an+1+an≠0,∴an+1-an=4.∴即数列{an}为等差数列，其中首项a1=2，公差d=4,∴an=a1+(n-1)d=2+4(n-1).即通项公式为an=4n-2(n∈N*).(3)bn=241241)24)(24(4nnnn,Tn=b1+b2+…+bn=1224121)241241()10161()6121(nnnnn.