精编2015年高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法

1/6精编2015年高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法一、裂项放缩例1.(1)求nkk12142的值;(2)求证:35112nkk.例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222nnn(2)求证:nn412141361161412(3)求证:1122642)12(531642531423121nnn(4)求证：)112(2131211)11(2nnn例3.求证:35191411)12)(1(62nnnn例4.(2008年全国一卷)设函数()lnfxxxx.数列na满足101a.1()nnafa.设1(1)ba，，整数11lnabkab≥.证明:1kab.例5.已知mmmmmnSxNmn321,1,,,求证:1)1()1(11mnmnSmn.例6.已知nnna24,nnnaaaT212,求证:23321nTTTT.例7.已知11x,),2(1),12(ZkknnZkknnxn,求证:*))(11(21114122454432Nnnxxxxxxnn二、函数放缩例8.求证：)(665333ln44ln33ln22ln*Nnnnnn.2/6例9.求证:(1))2()1(212ln33ln22ln,22nnnnnn例10.求证:nnn1211)1ln(113121例11.求证:en)!11()!311)(!211(和en)311()8111)(911(2.例12.求证:32)]1(1[)321()211(nenn例14.已知112111,(1).2nnnaaann证明2nae.例16.(2008年福州市质检)已知函数.ln)(xxxf若).()(2ln)()(:,0,0bfbafbaafba证明三、分式放缩例19.姐妹不等式:12)1211()511)(311)(11(nn和121)211()611)(411)(211(nn也可以表示成为12)12(5312642nnn和1212642)12(531nnn例20.证明:.13)2311()711)(411)(11(3nn四、分类放缩例21.求证:212131211nn例23.(2007年泉州市高三质检)已知函数),1()(2Rcbcbxxxf，若)(xf的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列}{nb满足)()(*3Nnnnfbn，记数列}{nb的前n项和为nT，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数n都有ATn？并证明你的结论。3/6例24.(2008年中学教学参考)设不等式组nnxyyx3,0,0表示的平面区域为nD,设nD内整数坐标点的个数为na.设nnnnaaaS221111,当2n时,求证:3611711112321naaaan.五、迭代放缩例25.已知1,1411xxxxnnn,求证:当2n时,nniix1122|2|例26.设nnnS2!sin2!2sin2!1sin21,求证:对任意的正整数k,若k≥n恒有:|Sn+k－Sn|1n六、借助数列递推关系例27.求证:1222642)12(531642531423121nnn例28.求证:1122642)12(531642531423121nnn例29.若1,111naaann,求证:)11(211121naaan七、分类讨论例30.已知数列}{na的前n项和nS满足.1,)1(2naSnnn证明：对任意的整数4m，有8711154maaa八、线性规划型放缩例31.设函数221()2xfxx.若对一切xR，3()3afxb，求ab的最大值。九、均值不等式放缩例32.设.)1(3221nnSn求证.2)1(2)1(2nSnnn4/6例33.已知函数bxaxf211)(，若54)1(f，且)(xf在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1nnnfff例35.求证),1(221321NnnnCCCCnnnnnn例36.已知xxeexf)(,求证:21)1()()3()2()1(nnenffff例37.已知xxxf1)(,求证:nnnnffff)1(2)2()3()2()1(例38.若7k,求证:231121111nknnnSn.例39.已知))(()(21xxxxaxf,求证:16)1()0(2aff.例40.已知函数f(x)=x2－(－1)k·2lnx(k∈N*).k是奇数,n∈N*时,求证:[f’(x)]n－2n－1·f’(xn)≥2n(2n－2).例41.（2007年东北三校）已知函数)1()(axaxfx（1）求函数)(xf的最小值，并求最小值小于0时的a取值范围；（2）令)1()2()1()('1'2'1nfCfCfCnSnnnn求证：)2()22()('nfnSn例43.求证:213121111nnn十、二项放缩例44.已知112111,(1).2nnnaaann证明2nae例45.设nnna)11(，求证：数列}{na单调递增且.4na5/6例46.已知a+b=1,a0,b0,求证：.12nnnba例47.设Nnn,1，求证)2)(1(8)32(nnn.例49.已知函数fx的定义域为[0,1]，且满足下列条件：①对于任意x[0,1]，总有3fx，且14f；②若12120,0,1,xxxx则有1212()3.fxxfxfx（Ⅰ）求f0的值；（Ⅱ）求证：fx≤4；（Ⅲ）当111(,](1,2,3,)33nnxn时，试证明：()33fxx.例50.已知：121,0niaaaa)2,1(ni求证：222211212231112nnnnnaaaaaaaaaaaa十二、部分放缩(尾式放缩)例55.求证:74123112311311n例56.设ana211.2,131anaa求证：.2na例57.设数列na满足Nnnaaannn121，当31a时证明对所有,1n有2)(nain；21111111)(21naaaii1、添加或舍弃一些正项（或负项）例1、已知*21().nnanN求证：*122311...().23nnaaannNaaa2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例2、函数f（x）=xx414，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）n+)(2121*1Nnn.6/63、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）例3、已知an=n，求证：∑nk=1ka2k＜3．4、放大或缩小“因式”；例4、已知数列{}na满足2111,0,2nnaaa求证：1211().32nkkkkaaa5、逐项放大或缩小例5、设)1(433221nnan求证：2)1(2)1(2nannn6、固定一部分项，放缩另外的项；例6、求证：2222111171234n7、利用基本不等式放缩例7、已知54nan，证明：不等式51mnmnaaa对任何正整数mn，都成立.构造函数法证明不等式的方法一、移项法构造函数【例1】已知函数xxxf)1ln()(，求证：当1x时，恒有xxx)1ln(1112、作差法构造函数证明【例2】已知函数.ln21)(2xxxf求证：在区间),1(上，函数)(xf的图象在函数332)(xxg的图象的下方；3、换元法构造函数证明【例3】（2007年，山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式3211)11ln(nnn都成立.4、从条件特征入手构造函数证明【例4】若函数y=)(xf在R上可导且满足不等式x)(xf－)(xf恒成立，且常数a，b满足ab，求证：．a)(afb)(bf