第三章第2节函数模型及其应用A课程解读

第三章第2节函数模型及其应用A课程解读一、学习目标：1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。2.搜集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的应用。二、重点、难点：重点是比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数以及幂函数模型的增长差异；结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸等不同函数类型增长的含义。难点是将实际问题转化为函数模型。三、考点分析：1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。2.能利用函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）解决一些简单问题。知识梳理一、解函数应用题的基本步骤一般地，数学应用题往往是以现实生活为原型设计的，其目的在于考查同学们对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力，求解时一般按以下几步进行：第一步，阅读理解、认真审题；第二步，引进数学符号，建立数学模型；第三步，利用数学的相关方法将得到的常规函数问题（即数学模型）予以解答，求得结果；第四步，再将所得结果转译成具体问题作出解答。二、实际问题的建模方法1.认真审题，准确理解题意。2.从问题出发，抓准数量关系，恰当引入变量或建立直角坐标系，运用已有的数学知识和方法，将数量关系用数学符号表示出来，建立函数关系式。3.研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出解答。三、几种常见的数学建模1.平均增长率问题：如果原来的产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量(1)xyNp。2.储蓄中的复利问题：如果本金为a元，每期利率为r，本利和为y，存期为x，则(1)xyar3.根据几何、物理概念建立的函数关系，如位移、速度、时间的函数关系，灌溉渠的横截面面积A和水深h的函数关系。4.通过观察、实验建立的函数关系，如自由落体的距离公式等。典型例题例1.将进货单价为40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚取最大利润，该商品售价应定为多少?思路分析：由利润=销售额－成本=（售价－进价）×销售量，可确定利润与售价的函数关系。解答过程：设利润为y元，每个商品售价为x元，则每个涨（x－50）元，从而销售量减少10（x－50）个，共售出500－10（x－50）=1000－10x（个）。∴y=（x－40）（1000－10x）=－10（x－70）2+9000（50＜x＜100）。∴x=70时,ymax=9000。答：为了赚取最大利润，该商品售价应定为70元。解题后的思考：由实际问题建立的函数关系式，它的定义域除受其解析式的约束外，还要受到问题中变量的实际意义等具体条件的约束。例2.某种消费品每件60元，不加收附加税时，每年大约销售80万件。若政府征收附加税，每销售100元要征税R元（叫做税率R％），则每年的销售量将少320R万件。要使每年在此项经营中所收取的税金不少于128万元，问R应怎样确定?思路分析：先建立税金与销售量的函数关系式，再从中得出关于R的不等式。解答过程：在税率R%的情况下，x=80－320R,∴y=60（80－320R）·R%∴60（80－320R）·R%≥128∴R2－12R+32≤0∴4≤R≤8。答：税率在4％～8％之间时，每年所收取的税金才不低于128万元。解题后的思考：将文字语言转化为符号语言，再用数学关系式表达出来，这是解答实际应用题的关键所在。例3.某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台。现销售给A地10台，B地8台。已知从甲地调运1台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A地、B地的运费分别为300元和500元。（1）设从乙地调运x台至A地，求总运费y关于x的函数关系式；（2）若总运费不超过9000元，问共有几种调运方案；（3）求出总运费最低的调运方案及最低的运费。思路分析：由甲、乙两地调运至A、B两地的机器台数及运费如下表：调出地甲地乙地调至地A地B地A地B地台数10－x12－（10－x）x6－x每台运费（元）400800300500运费合计（元）400（10－x）800［12－（10－x）］300x500（6－x）解答过程：（1）依题意，得y=400（10－x）+800［12－（10－x）］+300x+500（6－x），即y=200（x+43）（0≤x≤6,x∈Z）。（2）由y≤9000，解得x≤2。∵x∈Z，0≤x≤6，∴x=0,1,2。所以共有三种调运方案。（3）由一次函数的单调性知，当x=0时，总运费y最低，ymin=8600（元）。即从乙地调6台给B地，甲地调10台给A地、调2台给B地的调运方案的总运费最低，最低运费为8600元。解题后的思考：本题数量关系较多，利用列表法将数量关系明朗化，有利于函数关系的准确建立。例4.某工厂现有甲种原料360千克、乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件。已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案?请你给设计出来；（2）设生产A、B两种产品所获总利润为y元，其中A种产品的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案所获总利润最大?最大利润是多少?思路分析：列方程（组）解应用题的关键是找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系，而函数应用题的解题步骤与列方程（组）解应用题的步骤相类似，只是不一定非得列出相等关系（可以是相等或不等关系）。解答过程：（1）设安排生产A种产品x件，则生产Ｂ种产品（50－x）件。依题意，得94(50)360,310(50)290.xxxx＋－＋－解此不等式组，得30≤x≤32。∵x为整数，∴x只能取30、31、32，相应的，（50－x）的值为20、19、18。∴生产方案有三种第一种生产方案：生产A种产品30件、B种产品20件；第二种生产方案：生产A种产品31件、B种产品19件；第三种生产方案：生产A种产品32件、B种产品18件。（2）设生产A种产品的件数为x件，则生产B种产品的件数为（50－x）件，依题意，得y＝700x＋1200（50－x）。∴y＝－500x＋60000。其中x只能取30、31、32。∵－500＜0，∴此一次函数中y随x的增大而减小。∴当x＝30时，y的值最大，即按第一种生产方案安排生产，所获总利润最大。最大利润为－500×30＋60000＝45000（元）。答：按第一种生产方案安排生产所获总利润最大，最大利润为45000元。解题后的思考：本题实际上是不等式组的整数解得应用，解决这类问题的关键在于找到隐藏在题意内的不等关系。例5.某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件。由于产品质量好、款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好。为了使推销员在推销产品时，接收的订单不至于过多或过少，需要估测此后几个月的产量，假如你是厂长，将采用什么方法？思路分析：首先建立直角坐标系，画出散点图，其次根据散点图，我们可以设想函数模型。可能为一次函数型：()(0)fxkxbk；二次函数型：2()(0)gxaxbxca；幂函数型：12()hxaxb（0a）；指数函数型：()xlxabc（0a），最后用待定系数法求出各解析式，并验证，选出合适的函数模型。解答过程：设月产量为y万件，月份数为x，建立直角坐标系，可得(11)(21.2)(31.3)(41.37)ABCD，，，，，，，。（1）对于直线()(0)fxkxbk，将BC，两点的坐标代入，有(2)21.2(3)31.3fkbfkb，，解得0.11kb，，故()0.11fxx。将AD，两点的坐标代入，得(1)1.1f，与实际误差为0.1；(4)1.4f，与实际误差为0.03。（2）对于二次函数2()(0)gxaxbxca，将ABC，，三点的坐标代入，有(1)1(2)421.2(3)931.3gabcgabcgabc，，，解得0.050.350.7abc，，，故2()0.050.350.7gxxx。将D点的坐标代入，得2(4)0.0540.3540.71.3g，与实际误差为0.07。（3）对于幂函数型12()(0)hxaxba，将AB，两点的坐标代入，得(1)1(2)21.2habhab，，解得0.480.52ab，，故12()0.480.52hxx。将CD，两点的坐标代入，得(3)0.4830.521.3h，与实际误差为0.05；(4)0.4820.521.48h，与实际误差为0.11。（4）对于指数函数型()(0)xlxabca，将ABC，，三点的坐标代入，有23(1)1(2)1.2(3)1.3labclabclabc，，，解得0.80.51.4abc，，。故()0.8(0.5)1.4xlx。将D点的坐标代入，得4(4)0.8(0.5)1.41.35l，与实际误差为0.02。比较上述4个函数模型的优劣，既要考虑到其与实际情况的误差，又要考虑到生产中的实际问题，比如增产的趋势和可能性。所以可以认为()xlxabc最佳，一是误差值最小，二是由于是新建厂，刚开始随着工人技术、管理水平的逐渐提高，一段时间内产量将明显上升，但到一定时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而()xlxabc恰好反映了这种趋势，因此选用()0.8(0.5)1.4xlx来估测此后几个月的产量比较接近客观实际。解题后的思考：比较函数模型的优劣，既要考虑到其与实际误差的情况，又要考虑到实际问题的实际情况。提分技巧应用函数知识解应用题的方法步骤：（1）正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键。转化来源于对已知条件的综合分析，归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类。（2）用相关的函数知识进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解。（3）把计算获得的结果回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结做答。预习导学下节课我们将进行必修1整个模块的复习，同学们可自己先将本模块所学基本知识进行总结和归纳。同步练习（答题时间：40分钟）一、选择题1.某商品零售价今年比去年上涨25%，欲控制明年比去年只上涨10%，则明年比今年降价A.15%B.10%C.12%D.50%2.从1981年到20世纪末的20年，我国力争使全国工农业总产值翻两番，如果每年增长8%，达到翻两番目标的年数为（lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）A.19年B.20年C.17年D.18年3.已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设P点运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f（x）的图象是图中的二、填空题4.1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，2002年底世界人口数为ｙ（亿），那么ｙ与x的函数关系式是____________。5.由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，每隔五年计算机的价格降低31，问现在价格为8100元的计算机经过15年后，价格降为____________元。三、解答题6.假设国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元（叫做税率为8个百分点，即8%），计划可收购m万担，为了减轻农民负担，决定将税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点。（1）写出税收y（万元）与x的函数关系式；（2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78%，试确定x的取值范围。7.某城市现有人口总数为100万