第三章证明

第三章证明（三）（课时安排）1．平行四边形3课时2．特殊平行四边形3课时1．平行四边形（一）教学目标1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。2．能运用综合法证明平行四边形的性质定理，及其它相关结论，3．体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。情感态度与价值观目标：体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法．重点、难点1．重点：掌握平行四边形的性质定理．2．难点：探索证明过程，感悟归纳类比、转化的教学思想。教学过程：一、复习导入问题：1、平行四边形的定义：2、平行四边形有哪些性质？①；②；③；④；2．平行四边形有哪些判别条件？①；②；③；④；⑤。二、讲授新课1，证明定理定理一：平行四边形对边相等已知：四边形ABCD是平行四边形求证：AB=CD,AD=BC定理二：平行四边形对角相等自主探索：（要求，学生根据定理内容画出图形，写出已知，求证，并进行证明）定理三：平行四边形邻角互补定理四：平行四边形对角线互相平分2、变式练习：1、已知：如图，四边形AEFD和四边形EBCF都是平行四边形.求证：△ABE≌△DCF.2、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC.求证：CD=AN.3、夹在两条平行线间的平行线段相等、平行线间的距离处处相等．三、课后练习如图，在平行四边形ABCD中，线段AE，BF分别平分ABCDAB和，交CD于点E，F，线段AE，BF相交于点M。（1）试说明：BFAE；（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明。DCBAEFABCDMFE四、课后小结：1、平行四边形的性质2、如何证明平行四边形的性质定理五、课后作业1．平行四边形（二）教学目标1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。2．能运用综合法证明平行四边形的判定定理。3．感悟在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法。重点、难点1．重点：掌握证明平行四边形的方法。2．难点：正确分析条件和结论，通过已知条件的推理，再运用结论的等价转换和逆推，寻求解决问题的思路．教学过程：一、复习引入1．说一说平行四边形有那些性质？2．你能写出（1）中的逆命题吗？3．如何证明判别一个四边是平行四边形的方法？二、讲授新课1、性质及逆命题性质1．平行四边形对边逆命题1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。性质2．平行四边形对角逆命题2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。性质3．平行四边形两条对角钱逆命题3：两条对角钱互相平分的四边形是平行四边形。性质4．平行四边形两组对边逆命题4：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。2、议一议一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？如果是，请你证明它，并与同伴交流。已知：如图，四边形ABCD中，AB//CD,AB=CD求证：四边形ABCD是平行四边形3、证明逆命题（要求：根据逆命题画出图形，写出已知，求证，并进行证明）逆命题1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。逆命题2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。逆命题3：两条对角钱互相平分的四边形是平行四边形。4、归纳平行四边形的判定方法①；②；③；④；⑤。三、变式练习1、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点C作AD的平行线交BE的延长线于F，且EF=BE，连接AF．（1）求证：D是BC的中点；（2）如果AF=DC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．2、已知：如图，平行四边形ABCD中，BCD的平分线交AB于E，交DA的延长线于F。求证：AE=AF四、课堂小结：在证明中，离不开线段的平行、相等，或角的相等关系，因此，除题目中已给出的线段平行、相等或角相等的条件外，都要通过三角形全等得到所需要的判定条件，总之，平行四边形的问题通常要转化成三角形问题来解决。五、课后作业课本习题3．21、2BAFCED第21题图ABDCEF1．平行四边形（三）教学目标：1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。2．能运用综合法证明有关定理的结论。3．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法情感态度与价值观目标：理解在证明过程中所适用的归纳、类比、转化等数学思想方法．重点、难点、1．重点：掌握和运用三角形中位线定理。2．难点：三角形中位线定理的证明．教学过程：一、引入新课以△ABC的三个顶点为平行四边形的三个顶点，请确定平行四边形的第四个顶点。CBA提问：你所画的图形中的三角形有什么关系，为什么？二、讲授新课1、定义：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形．你是如何切的？定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。2、想一想三角形的中位线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。三、变式练习1、如图，任意作一个四边形，并将其四边的中点依次连接起来，得到一个新的四边形，这个新的四边形的形状有什么特征？请证明你的结论。2、如图,EF是△ABC的中位线，将△AEF沿中线AD方向平移到△A1E1F1的位置，使E1F1与BC边重合，已知△AEF的面积为7，则图中阴影部分的面积为（）A.7B.14C.21D.283、如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，由此得到结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③ADABAEAC；④=1:3ADEDBCESS四边形：．其中正确的有（）（A）4个；（B）3个；（C）2个；（D）1个．四、课后小结1、通过旋转的思想，将三角形中的问题转化到平行四边形和三角形中去解决，可以应用实物模型辅助理解．2、通常可利用中位线定理添加辅助线可以构成几个基本图形．五、课后作业课本习题3．31、2、3、4EDCBA图22．特殊平行四边形（一）矩形教学目标1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。2．能运用综合法证明矩形性质定理和判定定理。3．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法。情感态度与价值观目标：1．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．2．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法．重点、难点1．重点：掌握矩形的性质和判定以及证明方法．2．难点：运用综合法证明矩形的性质和判定。教学过程：一、复习引入1．你了解哪些特殊的平行四边形？2．矩形与平行四边形有哪些关系？二、讲授新课1、矩形的性质1．矩形具有平行四边形的一切性质。2．矩形四个角都是。3．矩形的对角线。4、矩形既是图形，也是图形。2、矩形的判定1、有一个角为直角的是矩形；2、对角线相等的是矩形；3、有三个角为直角的是矩形。3、例题讲解例：如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC上有一个动点P（不包括点A和点C）．设AP＝x，四边形PBCD的面积为y．（1）写出y与x的函数关系，并确定自变量x范围．（2）有人提出一个判断：“关于动点P，⊿PBC面积与ΔPAD面积之和为常数”．请你说明此判断是否正确，并说明理由三、变式练习1、将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED=60°，则∠AED的大小是（）A．60°.B．50°.C．75°.D．55°2、周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）A．98B．96C．280D．2843、如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F．求证：BE=CF．四、课堂小结：1、矩形的性质2、矩形的判定五、课后作业：课本习题3．323补充作业：如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P对同时出发，用t(秒）表示移动的时间（0＜t＜6），那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论2．特殊平行四边形（二）教学目标：1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。2．能运用综合法证明菱形的性质定理和判定定理。3．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法。。情感态度与价值观目标：体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法。重点、难点1．重点：掌握菱形的性质和定理，以及证明方法。教学过程：一、引入新课1、菱形有哪些性质？①菱形的四条边都；②菱形的两条对角线，并且每一条对角线平分；③菱形是图形，也是图形。2、菱形的判定方法有哪些？①一组邻边相等的是菱形；②对角线互相垂直平分的是菱形；；③的四边形是菱形。；二、讲授新课1、证明性质定理定理一：菱形的四条边都相等。已知：求证：定理二：菱形的对角钱互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。已知：求证：思路点拨：利用菱形的定义以及平行四边形的性质容易证明第一个定理；证明第二个定理主要用到“平行四边形的对角线互相平分”和等腰三角形“三线合一”的性质。2、菱形的判定方法怎样判别一个平行四边形是菱形？请证明你的结论。对角线互相垂直的平行四边形是菱形已知：求证：思路点拨：证明时要用到“平行四边形的对角线互相平分”“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”。三、变式练习1、如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求（1）对角线AC的长度。（2）菱形ABCD的面积。DCBA2、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=a,求菱形ABCD的周长EDABC四、课堂小结今天，你学到了什么？五、课后作业2．特殊平行四边形（三）正方形教学目标1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。2．能运用综合法证明正方形的性质定理和判定定理以及其他相关结论。3．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法。情感态度与价值观目标：体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化的思想．重点、难点、关键：1．重点：掌握正方形的性质和判定，以及证明。2．难点：运用综合法证明．3．关键：把根综合分析的基本思路，运用转化的思想方法解决问题。教学过程：一、复习引入1．正方形有哪些性质？2．判定一个四边形是正方形有哪些方法？二、讲授新课1、正方形性质：①具有平行四边形所有性质②具有菱形的所有性质③具有矩形的所有性质2、正方形的判定：有一组邻边相等的是正方形；有一个角是直角的是正方形。你能证明所得出的结论吗？3、议一议1、依次连一个任意四边形四边的中点能得到一个什么图形？先猜一猜，再证明。已知：如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD各边的中点，依次连接E、F、G、H，得到四边形EFGH问：四边形EFGH是什么四边形，并进行证明。（提示：连结BD）HGFEDCBA2、依次连接平行四边形四边的中点能得到一个什么图形？3、依次连接菱形、矩形、正方形四边中点呢？3、归纳总结连接任意四边形和平行四边形的中点得到连接菱形的四边的中点得到连接矩形四边的中点得到连接正方形四边的中点得到三、变式练习如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为13时，求正方形的边长.四、课堂小结：当平行四边形的一个角为直角、一组邻边相等时、图形为正方形。正方形既是平行四边形的特例，又是矩形和菱形的特例．正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．它既是中心对称图形，又是被对称图形．正方形除具有平行四边形的一切性质外，还具有如下性质：四个角都是直角；四条边都相等；两条对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．判定一个四边形是正方形的思路。五、课后作业：课本习题3．423、4EADBCNM