第九章重积分练习题

第九章重积分§9.1重积分的性质一、判断题1．在D上f(x,y)g(x,y),则Ddyxgyxf)],(),([表示以z=g(x,y)为底，以z=f(x,y)为顶的圆锥体的体积。（）2．如果Ddyxf),(Ddyxg),(，则f(x,y)g(x,y)()3.如果21DD，则1),(Ddyxf2),(Ddyxf。（）二、填空题１．设Ｄ：122yx,则由估值不等式得Ddxdyyx)14(22２．由二重积分的几何意义得到1432222yxd=.三、利用二重积分的几何意义计算：1．222222ayxdyxa2．D由x+y=1,x-y=1,x=0的围成，求Dyd四、估计积分101022)(yxdyxxy的值。五、1D},2)1()2(),{(}.10,10),{(222yxyxDxyxyx121)(DdyxI，232)(DdyxI，223)(DdyxI，234)(DdyxI。按从大到小的顺序排列出I1，I2，I3，I4。六、设f(x,y)在122yx上连续，求证：)0,0(),(122220limfdyxfRRyxR。§9.2二重积分的计算（1）一、判断题1．dyxyx2122221=dyxyx222221-dyxyx122221（）2．xbaxdyyfabdx03320)()(31（）3．byxabadxxfdxdyyfxf,2))(()()(（）二、填空题１．交换1010),(xdyyxfdx的次序为.２．设D=dxdyeyxxyxDy2},2,20),{(=.三、选择题１．D=}21,1),{(22xyxYx则dyxD)(22=()(A)121dxdyyxxx)(221122(B)dyxx221112122)(dxyx(C)121dxdyyxx)(212122(D)121dxdyyx)(121222.改换101122),(yydxyxfdy的次序，则下列结果正确的是（）（A）211),(xxdyyxfdx（B）211),(xxdyyxfdx（C）311),(xxdyyxfdx（D）1311),(xxdyyxfdx四、将下列积分化为在直角坐标系下的二次积分，（两种次序）1．1,1),(yxdyxf2.设D由y=x2,y=2x2,y=1,y=2围成Ddyxf),(。3.设D是以（0，0）、（1，0）、（1，1）、（0，21）为顶点的四边形，计算Dydx)2(4.设D=}1),{(yxyx，求Dyxde。五．计算dxedyIyxy1016六．设f(t)连续，求证：Ddxdyyxf)(=dttAtfAA))((，（其中D：,2Ax,2AyA0。七．设f(x)在[0，1]上连续，并设10)(dxxf=A求101)(),(xdyyfxfdx八．f(x)在[a,b]上连续，且f(x)0，求证：badxxf)(2)()1(abdxxfba九．求证：aaydxxgagxfdxygxfdy000)]()()[()()(§9.2利用极坐标计算二重积分（2）一、填空题１．D：422yx，则deDyx22=。２．交换cos2044)sin,cos(ardrrrfdI的次序为。二、选择题１．设dxdyyxIyx31242)1(22，则必有（）（A）I0(B)I0(C)I=0（D）I0的符号位不能确定2.cos020)sin,cos(rdrrrfdI化为在直角坐标系下的二次积分的正确结果为（）（A）10dy20),(yydxyxf（B）10dy210),(ydxyxf（C）10dx10),(dxyxf（D）10dy20),(xxdxyxf3．设D：222ayx，则a=（）时，dvyxaD222=2。（A）1（B）2（C）33（D）323三、把dxdyxyyxfIxyx22222)arctan,(化为极坐标系下的二次积分。四、选用适当坐标计算。1．dvyxD)(22，D是由21yx，直线y=-1,y=1和x=-2围成。2．D是由0,,222yRyxxRy确定，求I=dxyD2)(。3．Ddxdyyxyx22，其中D为1,122yxyx。五、计算Ddxdyyx222，其中D：322yx。六、证明：xdxeax022（20)22xdxeaxxdxeax2022。§9.3二重积分的应用一、判断题1．DDDDdrxddvyxpdyxxpx1),(),(_（）2．平面薄片D绕直线x=y旋转二转的动慢量dyxpyxID),()(212（）二、填空题１．设均匀薄片所占区域D为：0,12222ybyax则其重心坐标为２．半径为a的均匀半圆薄片对于其直径所在边的旋转动惯量为三、求锥面22yxz被柱面z2=2x所截下部分的面积。四、在均匀半圆形薄片的直径上，要接上一个一边与直径等长的矩形薄片，为了使整个均匀薄片的重心恰好在圆心上，问接上去的均匀矩形薄片的一边长度为多少？五、D为y=x2和y=1围成，求均匀薄片D对于直线y=-1的转动惯量。六、D为匀质圆环形薄片，0,222221ZRyxR，求D对Z轴上的点M0（a,0,-a）(a0)处的单位质点的引力F。§9.4三重积分的计算一、判断题1．dvzyxf),,(表示的体积。（）2．由1222zyx围成，则dvzyxf)(222=dv1（）3．对称于xoy平面，且f关于变量为偶函数，则dvzyxf),,(=2dvzyxf),,(。（）4．drrdd200104sin=21sin204d。（）二、选择题1．由不等式22yxz，1)1(222zyx确定，则dvzyxf),,(=（）（A）20122),,(yxdxdyzyxfdz（B）20222),,(zyxdxdyzyxfdx（C）202222),,(zzyxdxdyzyxfdx（D）212222zzyxfdxdydz+102222zzyxfdxdydz2．为锥球：1222zyx，则dvzyx222=（）（A）dxdydz（B）dddsin200103（C）dddsin200103（D）dddsin2020103三、填空题１．设由z=22yx与平面z=1围成闭区域，把I=dvzyxf),,(化为直角坐标系下的三次积分为。２．设由z2=22yx与柱面22yx=1围成的在第一卦限内的闭区域把I=dvzyxf),,(化为直角坐标系下的三次积分为。四、1．计算dvz2，由球面1222zyx与1)1(222zyx围成的公共区域。2计算dvzyxf)(222，：1222zyx3计算dvex3，由锥面222zyx与平面x=1围成闭区域。五、知由平面z=0,z=y,y=1与柱面y=x2围成，计算xyzdv。六、确定均匀半椭圆体：)0(,1222222zczbyax的重心坐标。七、将三次积分101),,(xyxdzzyxfdydxI改换积分次序，按x,y,z的次序积分。八、计算dvyx)(22，其中是由平面曲线022yxz绕z轴旋转形成的曲面与二平面z=1和z=2所围成的立体。§9.5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分一、填空题设是由222yxz与z=22yx围成的闭区域，试将I=dvz2化为三种坐标下的三次积分。１．直角坐标：I=２．柱面坐标：I=３．球面坐标：I=二、选用适当的坐标计算下列三重积分。1．dvyxz22，由y22xx和平面z=0,z=1,y=0围成。2．zzyxdvzyx222222３．计算dxdydzcxbyax)(222222，：dvyx)(221222222czbyax4．dvzyx)(222，由22yx=1和x=0,x=1所围成区域。三、求均匀物体：22yx22z，222zyx关于OZ轴的旋转动惯量（记密度=1）