第二章一元函数微分2

1第二章一元函数微分学一．导数与微分1．知识要点1．导数的定义：导数反映了客观运动过程的瞬时变化率xyxfx00lim)('xxfxxfx)()(lim000)('0xf00)()(lim0xxxfxfxx2．导数的物理意义、几何意义：分别表示变速直线运动的瞬时速度、曲线的切线的斜率。曲线)(xfy在点))(,(00xfx处的切线方程为：))((')(000xxxfxfy法线方程为：)()('1)(000xxxfxfy3．在经济学中，)(xf的边际函数是指)(xf关于自变量x的变化率)('xf。例如)('xC表示边际成本函数，)('xR表示边际收入函数，)('xL表示边际利润函数。4．函数可导与连续的关系：如果函数)(xf在点0x可导，则)(xf在点0x处连续。但是，连续却不一定可导。5．求导法则：导数的四则运算法则、复合函数的求导法则、反函数的求导法则、隐函数的求导法则、参数方程的求导法则。6．微分的定义与运算法则。2．典型例子例1：求函数00,0,)(21xxexfx的一、二阶导数并讨论其连续性。例2：设00,0,1sin)(xxxxxfk（k为实数），问k在什么范围内)(xf（1）连续；（2）可导；（3）导数连续；（4）二阶可导例3：设f是可导函数，对于任意实数ts,有sttfsftsf2)()()(，且2af)0('，求函数)(xf的表达式。例4：求xxxxxf32)2()(的不可导点的个数。（答案：2）例5：设0)0(f，则)(xf在点0x可导的充分必要条件是（A）cosh)1(1lim20fhh存在；（B）)1(1lim0hhefh存在；（C）sinh)(1lim20hfhh存在；（D）)]()2([1lim0hfhfhh存在。例6：设)(xyy是由方程1yexy所确定的隐函数，求)0(''y（答案：0）例7：设)()(')('tfttfytfx且)(tf二次可微，0)(''tf，求22,dxyddxdy（答案：)(''1,tft）例8：设函数)(xfy的导数)('xf与二阶导数)(''xf均存在，并且均不为零，其反函数为)(yx，求)(''y。（答案：3)]('[)(''xfxf）例9：作已知曲线0354222yxyxyx的切线，使其平行于直线032yx，使求此切线方程。（答案：0232yx）例10：已知曲线的极坐标方程是cos1r，求该曲线上对应于6的切线与法线的直线方程。（答案：045433.yx，04143.yx）例11：设)('xf在],[ba上连续，且0)(',0)('bfaf，则下列结论中错误的是（A）至少存在一点),(0bax，使得)()(0afxf；（B）至少存在一点),(0bax，使得)()(0bfxf；（C）至少存在一点),(0bax，使得0)('0xf；（D）至少存在一点),(0bax，使得0)(0xf（答案：（D））（2004年数学三）例12：以下命题中，正确的是3（A）若)('xf在)1,0(内连续，则)(xf在)1,0(内有界。（B）若)(xf在)1,0(内连续，则)(xf在)1,0(内有界。（C）若)('xf在)1,0(内有界，则)(xf在)1,0(内有界。（D）若)(xf在)1,0(内有界，则)('xf在)1,0(内有界。（答案：（C））（2005年数学三）二．微分中值定理1．知识要点微分中值定理具有相同的几何背景：在一条连续光滑的曲线上，至少存在一点，使曲线在该点的切线平行于对应的弦。1．Rolle定理：设)(xf在闭区间],[ba上连续，在),(ba内可导，且)()(bfaf，则存在),(ba，使得0)('f，即方程0)('xf在),(ba内至少存在一个实根。Rolle定理提供了证明方程根的存在性的另一种有效的方法。2．Lagrange中值定理：设)(xf内可导在闭区间],[ba上连续，在),(ba内可导，则存在),(ba，使得abafbff)()()('即)(')()(fafbfLagrange中值定理将函数和导数联系在一起了。3．Cauchy中值定理：设函数)(xf与)(xg满足：在闭区间],[ba上连续，在),(ba内可导，0)('xg。则存在),(ba，使得)(')(')()()()(gfagbgafbf很明显，Rolle定理是Lagrange中值定理的一种特殊情况，而Lagrange中值是Cauchy中值定理的一种特殊情况。4．带Peano余项的Taylor公式：设)(xf在点0x的n阶导数存在，则])[()(!)()(!2)(''))((')()(000)(200000nnnxxoxxnxfxxxfxxxfxfxf4带Lagrange余项的Taylor公式：设)(xf在点0x的某邻域),(0xO内具有1n阶导数，则x),(0xO，有10)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)(''))((')()(nnnnxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxf其中),(0xOTaylor公式将函数和高阶导数连续在一起了。Taylor公式的基本思想是利用多项式逼近函数。2．典型例子例1：如果naaa,,,10为满足0132210naaaan的实数，证明方程02210nnxaxaxaa在)1,0(内至少有一个实根。例2：设)(xf在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1()0(ff，1)21(f，试证：（1）存在)1,21(，使)(f；（2）对任意实数，必存在),0(，使1])([)('ff例3：设)(xf在)0](,[aba上连续，在),(ba内可导，且1)()(bfaf，证明：存在),(,ba，使得)(')(1fnfn例4：设)('),(xfxf在],[ba上可导，且0)()(bfaf，0)(')('bfaf，求证：存在),(,ba使得，0)(')('ff例5：设)(xf在],[ba上连续，在),(ba内二阶可微，0)()(bfaf，)),((0)(''baxxf，求证：)),((0)(baxxf例6：设)(xf在]1,0[上可导，且0)0(f，1)1(f，证明在]1,0[上存在两点21,xx，使2)('1)('121xfxf5例7：设)(xf在]1,1[上具有三阶连续导数，且0)1(f1)1(f，0)0('f，证明：在)1,1(上至少存在一点，使3)('''f例8：设)(xf在]1,0[上存在二阶导数，且0)1()0(ff，1)(min]1,0[xfx，证明：存在)1,0(，使8)(''f例9：证明：)0)(1ln(3arctan2xxx例10：设函数)()(xgxf，在],[ba上连续，在),(ba内具有二阶导数且存在相等的最大值，)()(),()(bgbfagaf，证明存在),(ba，使得)('')(''gf.(2007年数学一)三．导数的应用1．知识要点利用导数和中值定理，我们可以研究函数的单调性、极值、最值、凹凸性与拐点，可以证明不等式、可以研究方程实根的个数等等。2．典型例子例1：设)1,0(x，证明：211)1ln(112ln1xx例2：求证：)0(111xexx例3：对任意实数x，证明不等式221)1ln(1xxxx例4：设)(xf的导数在ax处连续，又1)('limaxxfax，则（A）ax是)(xf的极小值点；（B）ax是)(xf的极大值点；)(C))(,(afa是曲线)(xfy的拐点；)(Dax不是)(xf的极值点，))(,(afa也不是曲线)(xfy的拐点例5：已知)(xf在点0x的某邻域内有定义，且有kxxxfxfnxx)()()(lim000，其中n为正6整数，0k，讨论)(xf在点0x处是否有极值。例6：设函数)(xf对于一切实数x满足微分方程xexfxxxf1)]('[3)(''2（1）若)(xf在cx（0c）有极值，证明它是极小值；（2）若)(xf在0x有极值，则它是极大值还是极小值？例7：设)()1()(是自然数nxnxxfn，求证：（1）1]10[1)(maxnxnnxf，（2）exfx1)(max]10[，例8：设)(xf在),(内有定义，)(''),('xfxf存在，且满足0)()()(')(''xfxgxfxf如果)(0)()(babfaf，求证：)),((0)(baxxf例9：求方程0sec2xex在区间)2,0(内的实根的个数。例10：讨论方程122xx的实根的个数。例11：设xxxxxfnnn21)(，求证：（1）对任意自然数1n，方程1)(xfn在1,21内只有一个根；（2）设nx1,21是1)(xfn的根，则21limnnx例12：设在),(上，0)(''xf，而0)0(f，证明：)0(')()(fxxfxg00xx在),(上单调增加。例13：设函数)(xf在],0[上连续，且0cos)(,0)(00xdxxfdxxf，试证：在),0(内至少存在两个不同的点21,，使0)()(21ff7例14：讨论曲线kxyln4与xxy4ln4的交点个数。（2003年数学二）