第二章插值拟合与逼近

第二章插值、拟合与逼近【１】函数插值1.用二次拉格朗日插值多项式2()Lx计算sin0.34.插值节点和相应的函数值如下表。ix()iiyfx0.00.300.400.00.29550.3894解：过点001122(,),(,),(,)xfxfxf的二次拉格朗日插值多项式为0201122012010210122021()()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxLxfffxxxxxxxxxxxx所以2sin0.34(0.34)0.33336L.2.设函数在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用Hermite特插值法求一个次数不高于3的多项式，使其满足，,,,并写出误差估计式.解：由所给条件可用Hermite插值法确定多项式，,由题意可设为确定待定函数作辅助函数：,则在[0,3]上存在四阶导数且在[0,3]上至少有5个零点为二重零点.反复应用罗尔中值定理，知至少有一个零点使从而得：，故误差估计式为.3.给定数表x-1012)(xf10141615)('xf10.1求次数不高于5的多项式)(5xH，使其满足条件,2,0),(')(,3,2,1,0),()('55ixfxHixfxHiiii其中,1ixi3,2,1,0i．解：先建立满足条件)()(3ixfxp，3,2,1,0i的三次插值多项式)(3xp。采用Newton插值多项式))((,,)(,)()(1021001003xxxxxxxfxxxxfxfxp+))()((,,,2103210xxxxxxxxxxf=)1()1(61)1()1(410xxxxxx=326161914xxx.再设)2)(1()1)(()()(35xxxxbaxxpxH，由1.0)2)(()1()1(1)6)(()1()1('3'5'3'5bapHbapH得.6017,811baba解得36059a，360161b.故所求的插值多项式)2)(1()59161(36016161914)(2325xxxxxxxxH.4.已知函数()yfx的相关数据i0123ix()iiyfx012313927给出差商表,再求Newton三次插值多项式3()Px，并计算13()2P的值近似值.解：差商表如下:ix()ifx1[,]iifxx12[,,]iiifxxx123[,,,]iiiifxxxx012313927268264/3所求三次Newton插值多项式为：323332348()()21,331411813()()2()()12.232232pxNxxxxp5.已知求函数的p阶差商解：由差商和函数值的关系式可知，当时总有.【２】曲线拟合1.已知数据如下：xi1.01.41.82.22.6yi0.9310.4730.2970.2240.168求形如最小二乘拟合函数．解：所求拟合函数可写成．令，则,3902.35971.168.17995ba解此方程组得.0265.3,0535.2ba故拟合曲线为.2.用最小二乘法确定一条经过点(-1,0)的二次曲线，使之拟合下列数据8.46.38.20.20.30.20.10.0iiyx解：设所求曲线为其中记向量,8.46.38.22,4321,432122221Y则法方程为1112121222(,)(,)(,)(,)(,)(,)YaYb即3010037.6100354122.6ab解之得1.694140.13226ab于是所求曲线为【３】函数逼近1.定义内积10)()(),(dxxgxfgf．试在函数空间xH,1Span1中寻求对于xxf的最佳平方逼近多项式xp．解：记1)(0x，xx)(1，则1,1000dx，21,1001xdx，31,10211dxx，32,100dxxf，52,101dxxxf于是法方程为：5/23/23/12/12/1110cc．解得1540c，15121c．所求的最佳平方逼近多项式函数为：xxp1512154)(，10x．２.已知数据12345()44.5688.5xyfx试在函数空间2span{1,,}Mxx中寻求()fx的最佳平方逼近多项式．解：设所求的最佳平方逼近多项式为2012()xccxcx，依题意51(1,1)15i，521(,)55iixxx，52241(,)979iixxx，51(1,)15iixx，5221(1,)55iixx，5231(,)225iixxx，51(1,)31iiyy，51(,)105.5iiixyxy，5221(,)416.5iiixyxy，于是法方程为01251555311555225105.555225979416.5ccc，解之得012c2.7000,1.0357,0.0357cc，从而所求最佳二次逼近多项式为2()2.71.03570.0357xxx.