第二章极限习题及答案函数极限

求第一类函数的极限例讨论下列函数当xxx,,时的极限：（1）121)(xxf（2）11)(xxf（3））（）（01202)(xxxxxh分析：先作出函数的图像，根据函数极限的定义，观察、分析函数值的变化趋势来讨论所给函数的极限．解：作出所给各函数的图像由图像可知：（1）)(limxfx不存在，)(lim,1)(limxfxfxx不存在（2）0)(lim,0)(lim,0)(limxgxgxgxxx（3）)(lim,2)(lim,1)(limxgxhxhxxx不存在．说明：函数)(xf当x时的极限与数列na当n时的极限不同，前者包括当x时的极限，当x时的极限，只有)(lim)(limxfxfxx时，)(limxfx的极限才存在．由于1121limnn，容易错误地认为1121limxx．事实上，1121limxx，121limxx不存在，所以121limxx的极不存在．求函数的左右极限例讨论下列函数在点1x处的左极限、右极限以及函数在1x处的极限：（1）)1(log)1(1)(4xxxxxf（2）)1()1(1)(2xxxxxg（3）)1()1()1(11)(2xxxxxh（4）2)23)(1()(2xxxxx分析：先作出各个函数的图像，通过观察、分析函数的图像，函数的变化趋势，根据函数的极限的定义，求出函数在点1x处的左、右极限以及在1x处的极限．解：作出所给各函数的图像．由图像可知：（1）0)(lim,0)(lim11xfxfxx，因此0)(lim1xfx．（2）1)(lim,0)(lim11xgxgxx，因此)(lim1xgx不存在．（3）)(lim1xhx不存在，0)(lim1xhx，因此)(lim1xhx不存在．（4）)2()1(2)23)(1()(22xxxxxxx．由函数极限的定义有：0)(lim)(lim)(lim111xhxxxxx．说明：利用定义求函数在一点处的左、右极限是最常用的方法，分段函数在分点处的左、右极限与分点附近两侧的解析式有关，不能代错，如（1）中xxfxx411loglim)(lim．判断函数的极限是否存在例判断函数11)(2xxxf在x=1处的极限是否存在．分析：函数表达式中含有绝对值符号，因此要分类讨论，即分别求点1x处的左极限和右极限．解：2)1(lim11lim11lim12121xxxxxxxx；.2)1(lim11lim11lim12121xxxxxxxx因为11lim11lim2121xxxxxx，所以函数11)(2xxxf在x=1处的极限不存在．说明：本题表明了函数在一点处的极限与函数在这点的左极限、右极限的关系，即.)(lim)(lim)(lim000axfxfaxfxxxxxx