第二章测量学基本知识

第二章测量学基本知识.1误差的来源和分类一、定义：观测值与真值之差，记为：X为真值，即能代表某个客观事物真正大小的数值。为观测值，即对某个客观事物观测得到的数值。为观测误差，即真误差。二、误差的来源1、测量仪器一是仪器本身的精度是有限的，不论精度多高的仪器，观测结果总是达不到真值的。二是仪器在装配、使用的过程中，仪器部件老化、松动或装配不到位使得仪器存在着自身的误差。如水准仪的水准管轴不平行视准轴，使得水准管气泡居中后，视线并不水平。水准尺刻划不均匀使得读数不准确。又如经纬仪的视准轴误差、横轴误差、竖盘指标差都是仪器本身的误差。2、观测者是由于观测者自身的因素所带来的误差，如观测者的视力、观测者的经验甚至观测者的责任心都会影响到测量的结果。举例：如水准尺倾斜、气泡未严格居中、估读不准确、未精确瞄准目标都是观测误差。3、外界条件测量工作都是在一定的外界环境下进行的。例如温度、风力、大气折光、地球曲率、仪器下沉都会对观测结果带来影响。上述三项合称为观测条件a.等精度观测：在相同的观测条件下进行的一组观测。b.不等精度观测：在不同的观测条件下进行的一组观测。测量误差的分类根据测量误差表现形式不同，误差可分为系统误差、偶然误差和粗差。1、系统误差定义：误差的符号和大小保持不变或者按一定规律变化，则称其为系统误差。如：钢尺的尺长误差。一把钢尺的名义长度为30m，实际长度为30.005m，那么用这把钢尺量距时每量一个整尺段距离就量短了5mm，也就是会带来-5mm的量距误差，而且量取的距离越长，尺长误差就会越大，因此系统误差具有累计性。如：水准仪的i角误差，由于水准管轴与视准轴不平行，两者之间形成了夹角i，使得中丝在水准尺上的读数不准确。如果水准仪离水准尺越远，i角误差就会越大。由于i角误差是有规律的，因此它也是系统误差。正是由于系统误差具有一定的规律性，因此只要找到这种规律性，就可以通过一定的方法来消除或减弱系统误差的影响。具体措施有：（1）采用观测方法消除：如水准仪置于距前后水准尺等距的地方可以消除i角误差和地球曲率的影响。通过后前前后的观测顺序可以减弱水准仪下沉的影响。通过盘左盘右观测水平角和竖直角可以消除经纬仪的横轴误差、视准轴误差、照准部偏心差和竖盘指标差的影响。（2）加改正数：如精密钢尺量距中的尺长改正：ld＝l/l0×l（l为任意尺段长）温度改正和高差改正。三角高程测量中的球气差改正数：，光电测距仪的加常数和乘常数的改正：（3）检校仪器：将仪器的系统误差降低到最小限度或限制在一个允许的范围内。2、偶然误差定义：偶然误差的符号和大小是无规律的，具有偶然性。如度盘分划不均匀引起的误差就是偶然误差，因为在度盘上有的地方可能分划的密度大一些，有的地方分划的密度要稀疏一些。又如我们在读数的时候，最后一位要估读，有时可能估读得大一些，有时估读得小一些，这是没有规律的。虽然单个的偶然误差没有规律，但大量的偶然误差具有统计规律。3、粗差也称错误，如瞄错目标、读错、记错数据、算错结果等错误。在严格意义上，粗差并不属于误差的范围。在测量工作中，粗差可以通过检核——包括测站检核、计算检核以及内业工作阶段的检核发现粗差，并从测量成果中予以剔除（如水平角实验中角度闭合差为十几分）。而系统误差和偶然误差，是同时存在的。对于系统误差，通过找到其规律性，采用一定的观测方法来消除或减小。当系统误差很小，而误差的主要组成为偶然误差时，则可以根据其统计规律进行处理——测量上称为“平差”。偶然误差的特性1.特性在相同条件下，重复观测一个量，也就是等精度观测，经过重复观测所出现的大量的偶然误差具有规律性。如：在相同条件下，对三角形的三内角进行了独立的重复观测，由于每次观测中都含有误差，所以三角形的三个内角的观测值加起来不会等于真值，真值应该是180。设三个内角观测值和为Li=ai+bi+ciLi即为观测值则，为真误差。现重复观测了358次，将其真误差的大小按一定的区间统计列表（见书P93）：从这个列表中，我们可以看出偶然误差的几个特性：（注：表格中误差的相对个数指的是误差在每个误差区间内出现的次数除以误差的总次数，比如在0-0.2秒的这个区间内，即第一行，负误差的相对个数0.126应该是45除以358得到的,这个相对个数实际上就是误差出现的频率。）1、在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的界限（有界性）；2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大（小误差的密集性）；3、绝对值相等的正负误差，出现的机会相等（对称性）；4、由第3条特性可知，当n→∞时，偶然误差的算术平均值→0（即数学期望），即(抵偿性)。（[]符号表示求和）2.直方图由统计表格的数据我们可以绘制出一个直方图，其中横坐标为误差的大小，纵坐标为误差在每个区间出现的频率，即以，代表误差区间。3.正态分布曲线当n→∞，也就是观测的次数趋近无穷，并且→0，即误差区间无穷小时，直方图中各个小长条矩形组成的折线就会变成一条曲线，称为误差分布曲线。误差分布曲线一条正态分布曲线，可用正态分布概率密度函数表示：式中，误差为真误差，是一个随机变量，因是偶然误差。σ为随机变量的标准差。方差的数学意义为：反映随机变量与其均值，即与其数学期望的偏离程度。由于σ2就是的方差，显然σ2与观测条件有关，如果观测条件越好，则误差就应该越小，就越接近于0，也就是越接近于数学期望，由于与数学期望的偏离程度越小，从而σ2越小。我们再看看有关精度的内容。5.2衡量精度的标准一、精度的含义所谓精度，是指误差分布的集中与离散程度。如误差分布集中（曲线a），则观测精度高；若误差分布离散（曲线b），则观测精度就低。误差分布的集中与离散程度可以用方差σ2或标准差σ来表示。如果σ越小，误差偏离数学期望的程度就越低，则误差集中程度就会越高，即精度越高，反之如果σ越大，则误差的离散程度越高，精度越低，因此我们可以用σ即用标准差来衡量观测的精度。二、中误差（均方差）测量工作中，用标准差来衡量观测的精度，我们称之为中误差，用m表示。设在相同的观测条件下，对未知量进行重复独立观测，观测值为：l1，l2，…，ln，其真误差为：⊿1，⊿2，…，⊿n则真误差的方差：式中当n→∞，＝0，根据数学期望的定义就是的算术平均值。[]为累加符号，真误差的标准差：实际工作中，观测次数有限，故取标准差的估值作为中误差：应用时应注意：1、⊿i可以是对一个量n次同精度观测，亦可以是对n个量各进行一次同精度观测的误差。如：在全站仪测距时有的同学说测出来的距离不断地在变化，这实际上是全站仪在不断地测距，也就是对一个量——这个量就是距离——进行了多次等精度观测，而每次的观测值都有误差存在，误差有时大，有时小，所以测出来的距离值不断在变化。又如：方向法测水平角时，需要对多个方向观测，先瞄A，再瞄B，再瞄C…，这实际上就是对n个量进行了一次等精度观测）；2、中误差m是衡量一组观测的精度标准，个别误差的大小并不能反映精度的高低；3、n较大时，m较可靠；n较小时，m仅做参考；4、m前要冠以±号，并有计量单位。5、m为中误差，为真误差，不要混淆。例1设甲乙两组观测，真误差为：甲：＋4”，＋3”，0”，－2”，－4”；乙：＋6”，＋1”，0”，－1”，－5”试比较两组的精度。解：因此甲组的精度高。中误差的性质中误差表示误差分布的离散度。等精度观测中，中误差表示一组观测值的精度，也表示单个观测值的精度。（如上例中甲组中误差为±3.0”，同时甲组单个观测值的中误差均为±3.0”）概率特性。μ为误差的数学期望，因此μ＝0。此公式表示真误差在（－σ，＋σ）内出现的概率。我们还可计算得：我们可以看到，对于真误差来说，它的值落在区间[－3σ，＋3σ]几乎是肯定的事。因此在测量工作中，我们常常取三倍中误差作为偶然误差的容许值（或限差），如果精度要求较高时，就可以取两倍中误差作为限差，即三、相对误差1.相对中误差假设现在丈量了两段距离：甲：100米，±0.01m乙：200米，±0.01m到底那组的精度高些呢？如果从中误差来看，两组的精度相等，但这样显然不合理。因此，在距离测量中单纯地用中误差还不能反映距离丈量的精度情况，因为实际上距离测量的误差与长度相关，距离越大，误差的累积就越大，这就需要引入相对误差：（注意化为分子为1的形式）这样，，因此乙的精度更高些。2.相对真误差在钢尺量距中我们还接触到了一个相对误差的计算公式：K=|D往-D返|/D平均这是相对真误差的计算公式（或称相对较差或相对差）。在答题中具体采用哪个公式应根据题目给出条件和要求来定。例：β1＝28°35′18″，；β2＝308°15′12″，；谁的精度高？答：由于水平角是通过两个方向的水平度盘读数相减得到的，偶然误差是在瞄准和读数时产生的，所以与水平角的大小无关，故第一组精度高。5.3误差传播定律例：在三角高程测量中，粗算高差，假设测角和测距的中误差是已知的，那么；水平距离，在这个例子中，粗算高差和水平距离并不是直接观测到的，而是通过一定的函数关系间接计算得到的。这时，就要利用误差传播定律求出它们的中误差。所谓误差传播定律，是指描述观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律。中误差传播公式设y为独立随机变量x1、x2…xn的函数，即求全微分得：（1）令，则由于微分与真误差都是微小量，因此可用真误差代替微分，即（2）求真误差的方差：由方差的性质可得：中误差为标准差σ的估计值，而标准差的平方就等于方差，故或（3）(为独立随机变量对应的中误差）特例：1.若，且（也就是x1、x2…xn的观测精度相等）则：即2.若，且，则5.4误差传播定律的应用水准测量的误差分析假设我们用DS3水准仪进行了一段普通水准测量一个测站的高差中误差每站的高差为：h=a-b；a、b为水准仪在前后水准尺上的读数，读数的中误差m读，m读≈±3mm，则每个测站的高差中误差为m站=＝m读≈±4mm水准路线高差的中误差如果在这段水准路线当中一共观测了n站，则总高差为：设每站的高差中误差均为m站，则取3倍中误差为限差，则普通水准路线的容许误差为：水平角观测的误差分析用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角，那么用盘左盘右观测同一方向的中误差为±6”。注意，6秒级经纬仪是指一个测回方向观测的平均值中误差，不是指读数的时候估读到6”。即假设盘左瞄准A点时读数为，盘右瞄准A点时读数为，那么瞄准A方向一个测回的平均读数应为因为盘左盘右观测值的中误差相等，所以故所以瞄准一个方向进行一次观测的中误差为由于上半测回的水平角为两个方向值之差，β半＝b－a即设上下半测回水平角的差值为：考虑到其它不利因素，所以将这个数值再放大一些，取20”作为上下半测回水平角互差取2倍中误差作为容许误差，所以上下半测回水平角互差应该小于40”。Δβ半限＝2mΔβ半=40”例1：全站仪三角高程测量，测得斜距S=163.563m，其中误差为ms＝±0.006m，测得竖直角为α＝32°15′26″，其中误差为mα＝±6″，测距和测角的观测值是独立的，求高差计算值h（即直角边）的中误差mh解：h＝Ssinα根据中误差传播公式：，代入方程得例2一个边长为l的正方形，若测量一边中误差为ml＝±1cm，求周长的中误差？若四边都测量，且测量精度相同，均为ml，则周长中误差是多少？1.S=4l故2.S=l1+l2+l3+l4，注意这两种方法测得周长的中误差并不相同，关键是要正确列出函数式。例3在O点观测了3个方向，测得方向值l1、l2、l3，设各方向的中误差均为m，求、和。（画图）1.α＝l2－l1，2.β＝l3－l2，3.γ＝α＋β，（错误计算：因为α和β并非独立的观测值，因为它们都用到了方向值l2）正确计算应为：γ＝l3－l1，从这道题应该注意到中误差传播定律的前提是x1、x2…xn为相互独立的观测值。例4设在相同观测条件下（也就是等精度观测）独立观测了n个三角形的三个内角a、b、c，内角和为，(i=1,2,…n)则三角形的角度闭合差为：wi=-180°(i=1,2,…n)wi实际上就是真误差，根据中误差的计算公式故闭