第二章第7节有理数的混合运算简便运算技巧(一)

第1页版权所有不得复制年级初一学科数学版本江苏科技版内容标题有理数的混合运算——简便运算技巧（1）编稿老师张俐【本讲教育信息】一.教学内容：有理数的混合运算——简便运算技巧（1）“算对与算巧”求10099321的和，从左到右逐次相加似乎很安稳的事，其实这样算下来不仅工作量很大，而且运算的次数太多，出错的可能性也大，聪明的高斯没有这样做，他把这个算式头尾倒过来写成129899100然后将两个式子的对应项相加得到100个101，101乘100再除以2便得到所求的和。这样不但算得对，而且算得快，这是一个脍炙人口的故事，它告诉我们数学运算不仅要算对更要算巧。二.重点、难点：有理数运算是代数中最基本的运算，若能根据题目特点灵活掌握运用一些技巧，不仅可提高运算速度和准确率，还可培养学生善于思考的好习惯，有利于思维能力的培养，现介绍几种有理数运算中的解题技巧。三.基础回顾：（1）有理数的运算法则：①加法法则：同号相加一边倒，异号相加大减小，符号跟着大的跑。②减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。③乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。0乘任何数都得0。④除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数。0不能作除数。⑤有理数的乘方运算：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。（2）运算律：①加法交换律：a＋b＝b＋a。②加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。③乘法交换律：ab＝ba。④乘法结合律：（ab）c＝a（bc）。⑤乘法对加法的分配律：a（b＋c）＝ab＋ac。（3）运算顺序及注意事项：①有理数的加、减、乘、除四则混合运算，一定要先把减法改成加法，除法改成乘法。这样可以防止出错。②对含有三级运算的情况，按先乘方、开方，再乘除，最后加减的运算顺序。同级运算从左到右依次运算。有括号时按小、中、大括号顺序进行，有时也可灵活去括号。第2页版权所有不得复制③应注意灵活运用运算律，使计算简便化，对互为相反数其和为零的要优先解决。【典型例题】一.符号与括号有理数运算是代数入门的重点，又是难点，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，由于负数的引入，符号“＋”与“－”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号，因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，从而使复杂问题变得较简单，在此应特别注意去添括号时符号的变化。例1.计算分析：不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为1或为－1，如果按照将第一与第二项，第三与第四项，……，分别配对的方式计算，就能得到一系列的－1。解：下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是个（－1）的和，即；当n为奇数时，上式是个（－1）的和，再加上最后一项，所以有说明：两种情况可以合并为：二.巧添辅助数例2.计算：解：原式第3页版权所有不得复制三.巧用整体例3．购买5种物品，，，，的件数和用钱总数列成下表：那么，购买每种物品各一件共需多少元？解：由已知表格：购买1件，3件，4件，5件，6件共需1995元；所以购买2件，6件，8件，10件，12件共需2×1995元；又因为购买1件，5件，7件，9件，11件共需2984元；所以购买每种物品各一件共需2×1995－2984＝1006（元）说明：设购买物品i＝1，2，3，4，5则，①②由2×①－②得第4页版权所有不得复制需要指出的是：我们无法计算每个，但我们能巧算出这个整体，整体思维常常会帮助我们算对，算快和算得巧妙。四.巧用凑整运算例4.计算：解：原式（）（）20920082000000002五.巧用公式例5.计算：1121131199111002222解：原式11211211311311100111001232234398991009999100101100××××××××说明：平方差公式：ababab22()()例6.计算：解：原式()()782278782222787822222222××第5页版权所有不得复制说明：立方差公式：))((2233babababa立方和公式：))((2233babababa完全平方公式：2222)(bababa，2222)(bababa六.巧用拆项法例7.（第六届“祖冲之杯”数学竞赛题）计算10032114321132112111＝________分析：直接计算难上加难。应考虑运用拆项法消去部分项，从而使运算简单易行。利用上面介绍的反序相加法，不难求得最后两项为，，而，同理，，那么本题就不难解决了。解：原式＝10100299002202122621＝)10111001100199141313121211(2说明：形如1nna（）的分数，可以拆成1a（）11nna的形式。例8.解：应用关系式来进行“拆项”。原式第6页版权所有不得复制【模拟试题】（答题时间：30分钟）1.计算：123456789101112199719981999200020012.已知0为数轴的原点，A、B两点对应的数分别为1、2，设P1为AB的中点，P2为AP1的中点，…，P100为P99的中点，求P1，P2，P3，…，P100所对应的各数之和。3.计算：8.3611315544322611（分析：本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和为整数，故可用“凑整”法。）4.求和()()()()12131415916023242525926034343635936058595960（分析：由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加，可改变原式繁难的计算。）5.计算：)200520041200420031431321211(2005第7页版权所有不得复制【试题答案】1.解法1：原式()()()()()123456789102212199719981999200020024500200120002000×解法2：原式2.解：设对应的数为aiaiiii(),,,,110011212100则所以，aaa12100210010011211211200101123.解：原式4.解：原式1213231424341602603605960()()()12223242592121235912159592()×（）×5.解：原式＝)]2005120041()2004120031()4131()3121()211[(2005＝)200511(2005＝200520042005＝2004