第二讲matlab求微分方程导数积分

第二讲导数与微分方程一、实验内容1、实际引例（牛顿冷却模型）警察上午9点钟发现一被谋杀者，并测得尸体温度为32.4℃，一小时以后，尸体的温度变为31.7℃，尸体所在房间的温度是20℃。如果人的正常体温为36.5℃，并知道热物体冷却速度与自身温度与外界温度之差成正比，试推断谋杀时间。解设T为尸体温度，t为时间（十进制，如10.5代表10点30分）,温度的变化率（dtdT）比例常数为K解题关键热物体冷却速度与自身温度与外界温度之差成正比。即dtdT=k*(T-20).该方程就为微分方程，那么如何求解喃？以下为MATLAB求解过程：T=dsolve('DT=k*(T-20)','T(9)=32.4')%T（9）表示在9点时的温度为32.4℃ans=(62*exp(k*t))/(5*exp(9*k))+20由于10点室温为31.7℃，带入后可求K,命令如下：先输入solve(''),然后把上面得到的表达式复制进去(62*exp(k*t))/(5*exp(9*k))+20k=solve('(62*exp(k*10))/(5*exp(9*k))+20=31.7')（带入t=10,T=31.7)k=-0.05810763080728074591965065204834T=(62*exp(k*t))/(5*exp(9*k))+20T=20.91915298056906312642973833139/exp(0.05810763080728074591965065204834*t)+20T=vpa(T,6)(保留几位数)T=20.9192/exp(0.0581076*t)+20.0t=solve('20.9192/exp(0.0581076*t)+20.0=36.5')ans=4.08392390395064778268825821864340.083923*60=5.0354即谋杀时间凌晨4点5分左右二、引例子所涉及的知识点1、首先要列出微分方程，简单的来说出现了变化率（dtdT）。2、如何求解微分方程。dsolve(‘方程1’，‘方程2’…‘方程n’’初始条件’)如求解dtdT=k*(T-20)dsolve('DT=k*(T-20)','T(9)=32.4')（9点时的温度为32.4℃）3、如何求解方程的未知数的值solve(‘等式’)如求解（022xx）的根solve(‘x^2-x-2=0’)Ans=-1，24、如何让数据显示指定位数，vpa(函数名，显示的位数）T=20.91915298056906312642973833139/exp(0.05810763080728074591965065204834*t)+20vpa(T，6)，显示结果T=20.919/exp(0.058108*t)+20.0三、过手练习1、理解以后自己从头来解决引例。最后画出该过程的函数图像。（提示）画图时，请重新手打以下内容，切勿复制(1)先要给t定义域，linspace(4,10,60);(2)写出T的函数关系式。(3）plot2、微分方程求解（1）udtdu21u(0)=1ans=tan(pi/4+t)四、导数、积分的求法。1、导数先要定义要用的字母symsxyadiff(y,’x’,n)其中y为待求导运算的函数，‘x’为求导变量，n为求导阶次例1：求y=asinx对X求一阶导,二阶导，以及对A求一阶导。symsx,a,y……………………定义变量diff(a*sin(x),'x',1)Ans=a*cos(x)……………………对x求一阶导数diff(a*sin(x),'x',2)ans=-a*sin(x)…………………对X求二阶导数diff(a*sin(x),'a',1)ans=sin(x)……………………对a求导，把sinx当做常数2、积分int(y,’x’,’a’,’b’)其中y为待求函数，‘x’为积分变量，’a’,’b’为积分区域，若区间为[,],用字母inf，即[-inf,+inf],详见练习（7）例2：dxcosSymsx,a,y……………………定义变量int(cos(x))ans=cos(x)过手练习（1）xxy23求y’y”(2)y=31221x（大家要习惯MATLAB表示法和熟悉写法的转化）答案（32)21(342x）(3).742xdxx(4).131xedxxint('x^7/(x^4+2)')ans=1/4*x^4-1/2*log(x^4+2)ans=-exp(1/x)/x+exp(1/x)(5).24363xxdxx(6).2211xdxxint('(x^2+x-6)/(x+3)','x',3,4)ans=3/2ans=3^(1/2)-1/3*pi(7).2211(1)dxxx(8).0sinxexdxint('1/x^2/(x^2+1)','x',1,+inf)ans=-1/4*pi+1ans=1/2五、拓展部分（自己阅读，尝试用学过的知识解决）