第五章整式的乘除

节同底数幂的乘法一、背景介绍及教学资料本章教材是在七(上)有理数的运算和代数式中整式加减的基础上，通过引入同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法法则，建立整式的乘除法运算，依据新课标，乘法公式要求有所降低，故不再单独设章，一同在本章学习，突显整体性和特殊与一般的统一。整式乘除是整式运算的重要组成部分，是数与代数的重要基础知识。如解方程时总要用到整式的恒等变形，同时也是以后学习因式分解、分式、根式、函数等知识的基础。本节要学习的同底数幂相乘、幂的乘方和积的乘方三个运算法则是整式乘法的主要依据，教学时应夯实基础。二、教学设计第1课时【教学内容分析】本节课通过合作探究得到同底数幂的乘法法则，该法则是整式乘法的基础。【教学目标】1、理解同底数幂的乘法法则的由来，掌握同底数幂相乘的乘法法则；2、学会并熟练地运用同底数幂的乘法法则进行计算；3、在探究“性质”的过程中，培养学习观察，概括与抽象的能力。【教学重点、难点】重点是同底数幂的乘法法则及其灵活应用。难点是理解同底数幂的乘法法则是由乘法的概念加以具体到抽象的概括抽象过程。【教学准备】展示课件。【教学过程】教学过程设计说明一、创设情景，引出课题情景：学生观察节前语，教师提出问题：太阳系外的第100颗行星与地球之间的距离约多少km？师生共同列式为：102×3×105×3×107＝9×102×105×107＝9×（102×105×107）那：102×105×107等于多少呢？进而引出本节课题。二、合作学习，建立模型1、要求各学习小组合作探究教材从天文中的有趣问题引入同底数幂的乘法运算，学生在探索这个问题的过程中，将自然地体会同底数幂运算的必要性，了解数学与其他学科的联系。在乘方意义的基础上，学生可以×22＝102×105＝a4×a3＝2m×2n＝2、展示合作学习的成果，加深对幂的意义的理解，总结得到：23×22＝（2×2×2）×（2×2）＝2×2×2×2×2＝25＝23+2……3、形成法则启发学生探求规律，设疑归纳am·an＝进而形成法则am·an＝am+n（m，n都是正整数）即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。4、引导学生剖析法则（1）等号左边是什么运算？（2）等号两边的底数有什么关系？（3）等号两边的指数有什么关系？（4）公式中的底数a可以表示什么？（5）当三个以上同底数幂相乘时，上述法则成立吗？三、应用新知，体验成功1、试一试求：①78×73②（-2）8×（-2）7③x3·x5④（a-b）2·（a-b）⑤102×105×1072、做一做：①3×33②105×105③（-3）2×（-3）3④am·an·at⑤a·a3⑥a＋a＋a3、分析讲解课本例2。开展合作探究，采用合作学习，更易使学生体会知识的形成过程。直接采用试一试，不讲解例题，在学生理解公式的基础上，急于体验成功的情绪下予以尝试，易激发兴趣，同时在纠错过程中更深刻领会法则、理解法则。在教材做一做的基础上，增添⑤，目的是学生理解a的指数是1；增添⑥，是因为在笔者的教学实践中发现学生极易将出现a+a+a＝a3的错误。设置例2，使学生体会到运用同底数幂的运算性质可以解决一些实四、变式训练，激发情智1、下面计算否正确？若不正确请加以纠正。①a3·a2＝a6②a2+a3＝a5③x5+x5＝x10④x3·x3·x3＝3x3⑤b4·b4＝2b4⑥y7·y＝y82、化简（s-t）2·（t-s）·[-（t-s）3]五、课内练习，反馈评价评见教材的课内练习，要求学生说明每一步计算的理由。六、归纳小结，充实结构由学生讲今天这堂课学到了什么东西。同底数幂相乘的运算法则，能用式子表示，也能用语言叙述。明确了几个须注意的地方：（1）在计算时不能直接写出结果（2）不能把同底数幂相乘的运算法则和其它法则混淆。（3）进一步了解从特殊到一般和从一般到特殊的重要思想。七、知识留恋，课后韵味布置作业：课本后附的作业题。际问题，又可进一步让学生感受大数目，发展数感。设置1，为了理清法则，辨别中求真知。设置2，为了学会转化和提高。通过鼓励，合作交流，及时反思自己的解题过程，达到掌握的目的。在教师的引导下，学生自主进行归纳、能够使所学的知识及时地纳入学生的认知结构。这里教师适时的修正、补充、强调也必不可少。【设计思想】1、整个设计突出体现学生的参与意识，让学生在运算的过程中发现运算法则。学生不是被动接受现成的书本知识，而是在经验过程中主动探索，发现经验中事物之间的联系过程。2、设计体现了从特殊到一般，再从一般到特殊的重要数学思想，这有利于学生养成良好的思维习惯。3、设计了判断题和变式题，有利于避免错误并通过此来提高认识。5.1节第2课时【教学内容分析】本节课通过合作探究得到幂的乘方法则，进而运用该法则进行计算。【教学目标】1、经历探索幂的乘方的法则，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力，培养从特殊到一般，从具体到抽象的逐步概括抽象的认识能力。2、了解幂的乘方的运算法则，并能利用法则进行计算和解决一些实际问题。【教学重点、难点】重点是法则的探索过程和法则的灵活应用。难点是幂的乘方与同底数幂相乘的混合运算。【教学准备】展示课件。【教学过程】教学过程设计说明一、回顾与思考1、学习（1）幂的意义a·a·……a=ann个a相乘（2）同底数幂的相乘法则am·an=am+n（m，n都是正整数）二、创设情景，导入课题1、课件展示乒乓球和足球的图片，先让学生直观体会两个球体的体积的大小的悬殊比例，然后让他们猜想足球的体积大约是乒乓球体积的多少倍？同学讨论、交流。最后，告诉他们足球的半径是乒乓球半径的几倍，让他们算足球的体积是乒乓球体积的多少倍？而导入新课。2、，从计算的结果我们看出：球体的体积与半径的大小有着紧密的联系，如果甲球的半径是乙球的n倍，那么甲球的体积是乙球的体积n3倍。地球、木星、太阳可以近似地看成球体，木星、太阳的半径分别约为地球的10倍和102倍，它们的体积约是地球的多少倍？学生独立思考后回答：木星的体积是地球的体积充分的复习回顾与本节课有联系的认识，便于建构新知和理解法则之间的联系，对建构正确的模型大有好处。设计从实际问题引入幂的乘方运算，学生在探索这个问题的过程中，将自然地体会幂的乘方运算的必要性，了解数学与现实世界的联系。倍，而太阳的体积则是地球的体积的（102）3。你知道（102）3到底是多少倍吗？猜想一下，并说明你的理由。半径扩大的倍数与体积扩大的倍数哪个变化更大？这节课我们共同研究“幂的乘方”。三、合作学习，建立模型1、做一做计算下列各式，并说明理由（1）（102）3（2）（34）2（3）（a3）5（4）（am）n由学生合作完成，探索幂的乘方的法则的归纳过程，经小组讨论，交流各自的想法，看看别人是怎么运算出结果的，和自己的想法有何区别，最后指名让小组代表说自己的想法和运算过程及运算结果。师生共同归纳为：（1）（102）3＝102×102×102（根据幂的意义）＝102＋2＋2（根据同底幂相乘法则）＝102×3（2）（34）2＝34×34＝34＋4＝34×2=38（3）（a3）5＝a3·a3·a3·a3·a3＝a3＋3＋3＋3＋3＝a3×5＝a15n个（4）（am）n＝am·am·am……am（幂的意义）n个＝am＋m＋…＋m（同底数幂相乘的法则）＝amn（乘法的意义）2、总结法则（am）n＝amn（m，n都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。3、想一想（小组讨论）（am）n＝与（an）m相等吗？为什么？做一做的目的，是使学生通过对特例的考察，归纳幂的乘方的运算性质，并运用幂的意义加以说明，在此过程中，学生进一步体会了幂的意义，发展了归纳，符号演算等推理能力和有条理的表达能力。推导法则时，显示理由，更能使学生进一步体会幂的意义。通过小组讨论，更能辨别法则。四、应用新知，体验成功1、例3：计算下列各式，采用幂的形式表示（1）（107）3（2）（a4）8（3）[（-x）6]3（4）-（x2）m（5）（x3）4·（x2）5（6）2（a2）6-（a3）4解：（1）（107）3＝107×3＝1021（2）（a4）8＝a4×8＝a32（3）[（-x）6]3＝（-x）6×3＝（-x）18＝x18（4）-（x2）m＝-x2m（5）（x3）4·（x2）5＝x3×4·x2×5＝x12·x10＝x12＋10＝x22（6）2（a2）6-（a3）4＝2a2×6-a3×4＝2a12-a12＝a122、课内练习详见教材P115页1、口答；2、改错；3、计算五、探索挑战，激发情智1、探究活动教材P116探究活动，探究魔方2、智能挑战在255，344，433，522，这四个幂的数值中，最大的一个是344六、归纳小结，充实结构1、今天收获1，2，3……2、结构增添（4），是为了使学生对符号和底数有进一步的认识。增添（6），提高综合运用的能力。通过改错纠正，反思做题过程，深入理解法则的意义，达到融洽贯通。魔方的探究能激起学生浓厚的学习兴趣，进一步体会幂的乘方法则。挑战性问题能激发学生情智，从最近发展区理论出发，适当设置本课内容相关的挑战性问题对发展学生主动探索能力大有裨益。开放式小结，充分地调动每一个学生的积极性在小结中形式知识结构，便于学幂的乘方运算法则（am）n＝amn（m，n都是正整数）底数不变，指数相乘幂的意义七、知识留恋，课后韵味布置作业：课本后附作业题生理解和掌握。【设计思想】1、这节课开始就展示了三张有趣的照片，让同学深刻体会到幂的乘方运算结果变化之大，增加了对幂的乘方的学习兴趣，然后又通过“做一做”了解幂的乘方运算法则的生成过程，通过让学生大胆发言阐述自己的理由，通过学生亲自动手动脑更深刻体会到如何进行积的乘方运算。2、这节课的设计主要体现课改精神中的：探索、交流、合作精神，鼓励学生在自主探究中理解知识的生成过程。5.1节第3课时同底数幂相乘法则：am·an＝am＋n（m，n都是正整数）底数不变，指数相加【教学内容分析】本节课通过合作探究得到积的乘方法则，进而能灵活运用该法则进行应用和计算。【教学目标】1、经历探索积的乘方的法则，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力，培养从特殊到一般，从具体到抽象的逐步概括抽象的认识能力。2、了解积的乘方的运算法则，并能利用法则进行计算和解决一些实际问题。【教学重点、难点】重点是理解法则的探索过程和掌握并正确运用积的乘方法则。难点是运算中有积的乘方，幂的乘方，同底数幂相乘等多种法则，运算时正确运用运算法则是本节的难点。【教学准备】展示课件【教学过程】教学过程设计说明一、回顾与思考用逐步展示的形式回顾复习n个a1、幂的意义：a·a·……a=an2、同底数幂相乘的运算法则：am·an＝am＋n（m，n都是正整数）3、幂的乘方运算法则（am）n＝amn（m，n都是正整数）二、合作交流，探索新知1、合作学习（1）根据乘方的意义（幂的意义）和同底数幂的乘法法则（4×6）3表示什么？（4×6）3＝（4×6）·（4×6）·（4×6）＝（4×4×4）·（6×6×6）＝43×63（2）那（4×6）5，（ab）3又等于什么？（3）探索：由特殊的（ab）3＝a3b3出发，你能想上课开始时对旧的相关知识的复习梳理，即能巩固已有的知识结构，又为构建新知识奠定基础。通过合作学习，一步一步的展开即体会幂的意义，又逐步在探索新的知识，通过由特殊到一般的探究，猜想、论证、归纳，即构建了新知识，又体验了知识的发生过程。到一般的公式吗？猜想：（ab）n＝anbn2、论证猜想n