第五章点的运动学习题解答

-1-习题5-1如图5-13所示，偏心轮半径为R，绕轴O转动，转角t（为常量），偏心距eOC，偏心轮带动顶杆AB沿铅垂直线作往复运动。试求顶杆的运动方程和速度。图5-13)(cos)sin(222teRtey)(cos2)2sin()[cos(222teRteteyv5-2梯子的一端A放在水平地面上，另一端B靠在竖直的墙上，如图5-14所示。梯子保持在竖直平面内沿墙滑下。已知点A的速度为常值v0，M为梯子上的一点，设MA=l，MB=h。试求当梯子与墙的夹角为时，试点M速度和加速度的大小。图5-14AMxhlhhxsincoslyM0cosvhlhxhlhhxAM得cos)(0hlvtan)(cos)(sinsin00hllvhlvllyM0Mx322002020cos)(cos)(sec)(sec)(hllvhlvhllvhllvyM3220cos)(hllvaM5-3已知杆OA与铅直线夹角6/πt（以rad计，t以s计），小环M套在杆OA、CD上，如图5-15所示。铰O至水平杆CD的距离h=400mm。试求t=1s时，小环M的速度和加速度。图5-15tanhxM22sec6π400sechxMsinsec9π200sinsec6π3π400)sinsec2(6π4003233Mx-2-当s1t时6πmm/s3.2799π800346π400)6π(sec6π4002Mv223232mm/s8.168327π80021)32(9π200)6πsin()6π(sec9π200Ma5-4点M以匀速u在直管OA内运动，直管OA又按t规律绕O转动，如图5-16所示。当t=0时，M在点O处，试求在任一瞬时点M的速度和加速度的大小。图5-16)cos(tutx)sin(tuty)sin()cos(ttutux)cos()sin(ttutuy)cos()sin()sin(2ttututux)]cos()sin(2[tttu)]sin()cos()[cos(ttttuy)]sin()cos(2[tttu222)(1tuyxv222)(4tuyxa5-5点沿曲线AOB运动，如图5-17所示。曲线由AO、OB两段圆弧组成，AO段半径R1=18m，OB段半径R2=24m，取圆弧交接处O为原点，规定正方向如图。已知点的运动方程s=3+4t–t2，t以s计，s以m计。试求：(1)点由t=0到t=5s所经过的路程；（2）t=5s时点的加速度。图5-17243ttstsv240v时s2t3)0(s7)2(s2)5(s由t=0到t=5s所经过的路程m13|72|)37(s2τa2122nm/s2836)104(RRva2222n2τm/s828.22222aaa5-6图5-18所示的摇杆滑道机构中的滑块M同时在固定的圆弧槽BC和摇杆OA的滑道中滑动。如BC的半径为R，摇杆OA的轴O在弧BC的圆周上。摇杆绕轴O以等角速度转动，当运动开始时，摇杆在水平位置。试分别用直角坐标法和自然法给出点M的运动方程，并求其速度和加速度。-3-图5-18直角坐标法)2cos1(costRRRxtRRy2sinsintRx2sin2tRy2cos2tRx2cos42tRy2sin42Ryxv2222224Ryxa自然法tRtRs22Rsv20τsa22n4Rva5-7小环M在铅垂面内沿曲杆ABCE从点A由静止开始运动，如图5-19所示。在直线段AB上，小环的加速度为g；在圆弧段BCE上，小环的切向加速度cosga。曲杆尺寸如图所示，试求小环在C、D两处的速度和加速度。图5-19在直线段ABRvRvBBg2g2022圆弧段BCEcosgτaRstvcosgddRstssvcosgddddRssvvcosgddsvvsRsvvB0dcosgdRsRvvBsing)(2122在C处2πsing)(2122RvvBCRRvvBCg4g222RvCg2-4-0τCag42nRvaCCg4g)4(0222n2τCCCaaa在D处4π3sing)(2122RvvBDRRvvBDg)22(22g222RRvDg848.1g)22(g224π3cosgτDag)22(2nRvaDDg487.3g245.6g)22()22(222n2τDDDaaa5-8点M沿给定的抛物线22.0xy运动（其中x、y均以m计）。在x=5m处，m/s4v，2m/s3a。试求点在该位置时的加速度。22.0xyxxy4.0)(4.02xxxy22yxvvyyxxvyyxxva222τ在x=5m处，m/s4v，2m/s3a。即：4)54.0(22xx2.32x2.3x2.32y34yyxx122.322.3yx2.3122yx(1)由)(4.02xxxy)52.3(4.0xyxy228.1(2)联立(1)(2)求得8296.05)56.22.312(x9392.2y222m/s054.3yxa-5-5-9点沿空间曲线运动，如图5-20所示，在点M处其速度为jiv34，加速度a与速度v的夹角30，且a=10m/s2。试计算轨迹在该点的曲率半径和切向加速度a。图5-202τm/s66.83530cos10cosaa2nm/s530sin10sinaa2nvam5552n2av5-10点沿螺旋线运动，其运动方程为：)2/(,sin,costhztRytRx，式中，R、h、均为常量。设t=0时s0=0，试建立点沿轨迹运动的方程s=f(t)，并求点的速度、加速度的大小和曲率半径。222)(d)(d)(ddzyxsthtRtRd)π2()cos()sin(222thRdπ2π4222222π4π2hRts222π4π2hRsvtRxaxcos2tRyaysin20zaz2Ra0τva2nRaaRhRav22n2π45-11点在平面上运动，其轨迹的参数方程为)3/sin(π44),3/sin(π2tytx，设t=0时，s0=0；s的正方向相当于x增大方向。试求轨迹的直角坐标方程)(xfy、点沿轨迹运动的方程)(tss、点的速度和切向加速度与时间的函数关系。轨迹的直角坐标方程42xx点沿轨迹运动的方程ttxyxsd3πcos3π52d5)(d)(dd22-6-(m)3πsin472.43πsin525ttxss)(m/3πcos683.43πcos3π52ttsv)(m/s3πsin904.43πsin9π5222τttva5-12已知动点的运动方程为：tyttx22，。试求其轨迹方程和速度、加速度。并求当t=1s时，点的切向加速度、法向加速度和曲率半径。x、y的单位为m，t的单位为s。轨迹方程2)2(2yyx0422xyy速度、加速度12txvx2yvy5442ttv2xax0yay2m/s2avtvtva24248τ当t=1s时5v52524τa52524τa789.12.3)52(2222τ2naaam795.22.35n2av5-13如图5-21所示，动点A从点O开始沿半径为R的圆周作匀加速运动，初速度为零。设点的加速度a与切线间的夹角为，并以表示点所走过的弧长s对应的圆心角。试证：2tan。图5-21常量cosτavacosatvcos212ats-7-sin2naRva22coscos)cos(tan22τnRsRatRaataa5-14已知点作平面曲线运动，其运动方程为：x=x(t)，y=y(t)。试证在任一瞬时动点的切向加速度、法向加速度及轨迹曲线的曲率半径分别为：xyyxyxyxxyyxayxyyxxan23222222)(22yxv22yxa2222τ222yxyyxxyxyyxxva22222222τ2n||)(yxxyyxyxyyxxyxaaaxyyxyxav2322n2)(