第五章相似性

第五章相似性在研究矩阵等价性时,我们已经展示了在任何同态的情况，有矩阵B和D满足有局部代表形式的代表矩阵这种代表描述了一个从到的映射，其中n是定义域的维数，k是值域的维数。因此，在这种表示方法下，映射的作用是很容易理解的，因为大部分矩阵条目是0。这一章考虑特殊定义域和值域相同的情形，也就是说，同态映射是同态变换。在这种情况下，我们自然要找简单的基B使得越简单越好（我们将采取“简单”意味着它有许多0）。一个矩阵1复向量空间这一章需要我们分解多项式，当然，很多多项式不能分解成式系数多项式；例如，不能分解成两个式系数的线性多项式的乘积。鉴于这个原因，我们从现在开始将系数域拓展到复数域。也就是说，我们从对实向量的研究转向对向量的研究。在这一章，向量和矩阵都是复数域上的。任何一个实数都是一个复数，略看这一章将会发现很多例子仅用了实数。尽管如此，但关键的定理需要系数域是复数，因此，下面第一部分，先快速复习一下复数。1.2例子如果32()234cxxxx和2()1mxx，则()23,()23qxxrxx。注意()rx的阶比()mx的阶低。1.3推论当()cx除以x时，余式是一个常多项式，且为()()rxc。证明：余式必须是一个常多项式，因为余式的阶小于x的阶，根据定理()mx为x并且将替换x得：()()()()cqrx证毕如果除式()mx能被被除式整除，意味着()rx是零多项式，则()mx是()cx的因式。任何()mx的根（任何R，使得()0m）也是()cx的根，因为()()()0cmq。利用前面的推论立刻得到以下结论。1.4推论如果是多项式()cx的根，则x能够整除()cx，也就是说x是()cx的因式。直接找高阶的多项式的根是很难的。但是对于二阶的多项式，我们有二次方程的求根公式：2axbxc的根是2142bbaca2242bbaca（如果判别式24bac是负数则多项式没有实根）。一个多项式不能分解成两个阶数更低的实系数多项式的乘积则这个多项式是在实数域是不可约的。1.5定理任何常多项式或线性多项式在实数域都是不可约多项式。一个二阶多项式在实数域是不可约多项式当且仅当它的判别式是负数。没有三次或更高阶的多项式在实数域是不可约多项式。1.6推论任何一个实系数多项式可以分解成线性多项式和二次不可约多项式的乘积。这种分解是唯一的；注意：类比前面的整系数因式分解，在两种情况下，唯一性是很有用的。1.7例子根据我们所知的唯一性，不需要将它们乘开，就知道223(3)(1)xx不等于422(3)(1)xxx。1.8例子根据唯一性，如果()()()cxmxqx，其中23()(3)(2)cxxx，2()(3)(2)mxxx，则我们知道()(3)(2)qxxx由于21x没有实根，因此没有实系数因式。如果我们想象一个根——一般记为i，使得210i——则21x可以分解为线性的因式()()xixi因此我们将i连接到实数得到一个新的计数系统（也就是说，我们也可以加3i，或2i，或32i等等所有1和i的线性组合）。我们得到一个新的结构，复数，记为C。在复数域我们可以因式分解（很明显，至少一部分可以）二次多项式可能会不可约如果我们在实数域内。令人惊讶的是，在复数域内，我们不仅能分解21x而且其相近的多项式，我们可以分解任何二次多项式。22244()()22bbacbbacaxbxcaxxaa1.9例子二阶多项式21xx在复数域因式分解成两个一阶的多项式。13131313()()(())(())222222xxxixi1.10推论（代数基本定理）复系数多项式在复数域都可以分解成线性复系数多项式的乘积。这个分解是唯一的。I.2复数表示方法回想复数加法的定义：()()()()abicdiacbdi复数乘法的定义：()()(1)abicdiacadibcibd()()acbdadbci2.1例子比如，(12)(54)62iii和(23)(40.5)6.513iii。掌握了这些运算的规则，我们可以推广这些运算到实向量空间，运算方法是不变的。2.2例子矩阵乘法也是一样，尽管运算占用了更多的篇幅。11201010233iiiiiiii(11)(10)(20)(3)(11)(10)(20)()()(10)(23)(3)()(10)(23)()iiiiiiiiiiiiiiii17119533iiii我们可以将前面章节的东西不变的推广到复数域，我们可以叫10000000(,...,)......0010iiiiiinC的标准基作为向量空间C，也记为nII相似性II.1定义和例子我们定义H和~H矩阵等价为，如果有非奇异的矩阵P和Q使得~HPHQ。这个定义可以生动的被这个图表反应：~~............hwrtBwrtDHhHwrtBwrtDVWididVW表明H和~H都代表h，但是是相对于不同的一组基。我们现在建立一种特别的情况，其中定义域和值域相同，定义域的基等于值域的基。............twrtBwrtBtwrtDwrtDVVididVV从左下方移动到右下方，我们或者直走，或者先上后下。在矩阵条件下，1,,,,Re()Re()Re()(Re())DDBDBBBDptpidptpid（回忆代表元组成比如从右到左）1.1定义：矩阵T和S相似，如果有一个非奇异矩阵P，满足1TPSP由于非奇异矩阵是方阵，因此相似的矩阵行列必须相同。1.2例子：下面两个矩阵2111P2311S计算得S相似于这个矩阵0111T1.3例子：唯一和零矩阵相似的是零矩阵本身：1PZPPZZ。唯一和单位矩阵相似的是单位矩阵本身：11PIPPPI。由于矩阵相似是矩阵等价的特殊情况，因此如果两个矩阵相似则两个矩阵等价。反过来怎么样呢？等价的矩阵一定相似吗？这个回答是否定的。前面的例子表明：矩阵相似类不同于矩阵等价类，因为单位矩阵的等价类由所有与其行列数相同非奇异矩阵组成。因此，例如，以下两个矩阵等价但不相似。1001T1203S因此一些矩阵的等价类分割成两个或更多矩阵的相似类，从而得到比矩阵分类更好的划分。这个图像显示了一些矩阵等价类再分为矩阵相似类。为了明白矩阵相似的关系，我们应该研究矩阵相似类。我们用相同的办法处理这个问题。我们已经研究了列等价和矩阵等价的关系。通过需找一个规范形来代表相似类，叫做若尔当标准形。借助规范形，我们可以决定两个矩阵是否相似通过检查他们是否有相同的代表元。II.2可对角化的矩阵前面部分对矩阵相似的定义表明，尽管相似矩阵一定矩阵等价，但是反过来不成立。一些矩阵等价的类可以分解成更多矩阵相似的类（非奇异地nn矩阵就是一个例子）。这意味着矩阵等价的规范形——分块局部单位阵不能用来作为矩阵相似的规范形，因为局部单位阵不能有多于一个的矩阵相似类，因此相似类没有一个。这个图片说明了情况。和书中更早的一样，类代表元用星花号表示。我们接下来探索矩阵相似类的规范形。我们自然尝试建立在先前工作的结果基础之上，首先意味着局部单位矩阵应该代表矩阵相似类，代表元应该尽可能简单。局部单位矩阵最简单的展开形式是一个对角形式。2.1定义一个变换是可对角化的变换，如果它有一个对角的代表。可对角化的矩阵是一个相似于对角矩阵的矩阵：T是可对角化的矩阵，如果有非奇异矩阵P使得1PTP是一个对角矩阵。2.2例子矩阵4211是可对角化的。120124212031111112.3例子不是每一个矩阵都可以相似对角化，方阵0010N不是零矩阵。因此，对于任何映射n，N表示（对应于定义域和值域有相同的基底），nn结构的映射是零映射。这就是说，没有这样的映射n可以被对角的矩阵代表，因为没有非零对角阵的幂是零矩阵。也就是说，不可对角化矩阵是N的相似类。这个例子表明对角形不能作为相似规范性——我们不能找到一个对角矩阵是这种矩阵相似类。但是我们正在发展的规范形有一个性质：一个矩阵可以相似对角化，则对角阵是相似类规范形的一个代表。下一个结果的特点是，什么样的映射可以相似对角化。2.4推论一个变换t可以相似对角化当且仅当有一组基12,...,B和数1,…,2满足()iiit对于任何i成立。证明：考虑到这种形式的代表元是对角矩阵。这表示是等价的存在的基础上满足规定的条件，完全是由矩阵表示的定义。2.5例子为了使3201T对角化。我们把它表示一个关于标准基的变换我们寻找一组基使得也就是，满足111()t和222()t。我们现在寻找数x满足这个方程有解1b和2b，不同时为零。再写出作为线性方程组。在下面的方程，两个数相乘得到零只有至少其中一个是零。因此有两种可能，20b和1x。若20b，第一个方程得到或者10b或者3x。由于10b和20b的情况是不允许的，我们放弃3x的可能性。在（*）的第一个方程中12020bb因此联系到3，向量第二个元素由零组成，第一个元素是自由变量。也就是说，（*）的一个解是13，我们有第一个基向量。