第八章多元函数微分法

第八章多元函数微分法一、基本内容（一）元函数的基本概念1．基本概念（1）邻域（2）内点（3）边界点（4）开集（5）区域2．二元函数的极限与连续（二）偏导数和全微分1．1．偏导数xyxfyxxfxzyxfxxxx),(),(limlim),(00000000yyxfyyxfyzyxfyyyy),(),(limlim),(000000002．2．全微分3．3．全微分在近似计算中的应用（三）复合函数的微分法1．1．复合函数求导法则2．2．一阶微分形式不变性（四）隐函数的微分法1．一个方程的情形2，方程组情形（五）微分法在几何上的应用1．空间曲线的切线与法平面2．曲面的切平面与法线3．微分的几何意义（六）方向导数和梯度1．方向导数2．梯度（七）多元函数的极值1．1．多元函数的极值2．2．条件极值练习题8.1.确定下列函数的定义域(1))ln(yxz(2)zyxu22arcsin(3)sin),(rrf(4))ln(),,(22yxzzyxf解答：(1)0yx得0yx（2）1122zyx，0z时有定义.即0z时zyxz220z时zyxz22包含锥面在内的圆锥Zx（3）0sin得0，即上半平面（4）022yxz得22yxz旋转抛物面的内部（不含表面）8.2.设函数xyyxyxf22),(,求)1,1(yxf解答：xyxyyxyxyxf222211)1()1()1,1(8.3.设)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2233yxyxyxyxxyyxf求)0,0(xf，)0,0(yf解答：1lim)0,0(),0(lim)0,0(2300xxxxfxffxxx1lim)0,0(),0(lim)0,0(2300yyyyfyffyyy8.4.设)arctan()ln()(),(2222yxexyyxyxyxf,求)0,1(xf解答：xxxfln)0,(2xxxxfxln2)0,(1)0,1(xf8.5.设0,00),sin(11),(22222222yxyxyxyxxyyxf试讨论),(yxf在点)0,0(的连续性，可微性。解答：（1）0)sin(lim)sin(lim222200222200yxyxyxyxxyyxyx0xo（1)sin(lim0lim22220000yxyxxyyxyx）（2）0)0,0()0,(lim)0,0(0xfxffxx0))0,0(0,(lim)0,0(0yfyffyy222222),sin(,yxyxyxyxdzz22222200)sin(,limlimyxyxyxyxdzz不存在综上（1），（2）),(yxf在点)0,0(连续，但不可微8.6.求下列二重极限(1)93lim00xyxyyx(2)22122))0,0(,()1(limyxyxyx(3)222200limyxyxyx(4)xyxyyx)sin(lim解答：（1）6)93(lim3lim0000xyxyxygxyxyyxyx（2）euuyxyxuuyxyx10221220,0,)1(lim)1(lim22令（3）222222220022220011limlimkkxkxxkxkxyyxyxkxyxyx令此极限随K改变而改变，因此极限不存在。（4）)01,1)sin((0)sin(limxyxyxyxyyx8.7求下列函数的一阶偏导数和全微分（1）vezvusin，xyu，yxv解答：)cos()sin()sin()cos(sinsinyxyxyxyevveyvexvvzxuuzxzyxxyvuvu)cos()sin()sin(yxyxyxxeyvvzyuuzyzyxxyyxdyzdxzdz（2）),,(zyxfu，),(yxgz解答：xzxgffxz,yzygffxzyyxxdududz8.8求下列方程所确定函数的全微分dz（1）0sinxyexz（2）0),,(xzzyyxf解答：(1)令0sin),,(xyezyxfxz则xyxFxyxyzeFyxzxcos1,cos2，xzzxeFxzxzzxxexyxyzeFFxzcos2，xzzyxexyxFFyzcos1yyxxdzdzdz(2)令0),,(),,(xzzyyxfzyxf则322131ffFffFffFzyx32213231ffffyzffffxzyyxxdzdzdz8.9函数),(yxzz由方程3xyze所确定，求22xz。解答：方程3xyzez两端同时对x求偏导，得0yxzxzez则zeyxz132222)1()()1(1zzzzeeyxzeeyxz8.10设),,(zyxfx,),(yxz求dxdy。解答：由),(),,(*yxzzyxfx确定了两个函数)()(xzzxyy方程组*对x求导得dxdyyxdxdzdxdzzfdxdyyfxf1解得yzfyfxzfxfdxdy18.11设函数),(yxz由方程0),(xzyyzxF确定。证明xyzyzyxzx。证明：方程0),(xzyyzxf两侧分别同时对yx,求偏导0)()11(221xzxxzFxzyF0)1()(221xyzFyzyxzF得)()(,)()(2122121122FyFxyFyFzxyzFyFxxFxFzyxzxyzFyFxFyFxxyFyFxzyzyxzx212121)()(故得证8.12设)1,1(xyxfu具有二阶连续偏导数，求yxu2。解答：221211fyxfxxu223322212222222221222111)1(111)1(13fyxfyxfyxxyfyfyxxyfxyxu8.13设221222zyxzyx求22dzxd。解答：221222zyxzyx确定二个函数)(),(zyyzxx上二等式两端同时对z求导0122dzdydzdxzdzdyydzdxx由Gramer法则yxzxdzdyyxyzdzdx222,2222222221yxdzdydzdxyzyxdzdydzxd22222222222yxyxzxyzyzyxyxzxyx322yxzyx8.14方程组0324137222222zyxzyx确定了隐函数)(xyy，)(xzz当1x，2y，2z时，求，，，，2222dxzddxyddxdzdxdy解答：方程组对x求导得064806214zzyyxzzyyx将2,2,1zyx代入上式得35,23zy又8333,3222yxydxydyyxdxdyy185310,3102zzxzzzxdxdzz8.15求曲面932222zyx上平行于平面01232zyx的切平面方程。解答：设满足条件所求切平面与曲面的切点为000,,zyx则932202020zyx①又000000000,,,,,,,,zyxFzyxFzyxFnZyx0002,6,4zyx则2:3:22:6:4000zyx②由①②解得2,1,1000zyx故所求切平面方程为：0221312zyx或0221312zyx化简9232xyx8.16证明曲面04ln2zyx和0582zxxyx在点)1,3,2(P处相切。（即有公共切面）。解答：04ln2zyx在点1,3,2的切平面的法向量1,3,2,1,3,2,1,3,2zyxFFFN1,2,11,2,1)1,3,2(z8.17设).,(zyxF具有连续的偏导数，且对任意实数t有),,(),,(zyxFttztytxFk(k是自然数)，试证：曲面0),,(zyxF上任意一点的切平面相交于一定点。（设在任意点处0222zyxFFF）。证明：由),,,(,,zyxFttztytxFk令tzwtyvtxu,,两边同时对t求导),,(1zyxFktwFzvFyuFxk),,(zyxFktwFztvFytuFxtk),,(zyxFktFzFyFxkzyx令000,,zyx为曲面上任一点，则0),,(000zyxF且000000000000,,,,,,zyxFzzyxFyzyxFxzyx=0,,000zyxFktk曲面在点000,,zyx的切平面为0,,,,,,000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx整理得0000zyxzyxFzFyFxFzFyFx即0zyxFzFyFx此平面必过原点（0，0，0），故得证。8.18求空间曲线03222xzyx，04532zyx在点)1,1,1(处的切线和法平面方程。解答：设xzyxzyxF3),,(222，4532),,(zyxzyxG于是，32xFxyFy2zFz22xG3yG5zG它们在点)1,1,1(0P的值为1xF2yF2zF2xG3yG5zG由013221,,yxyxGGFFyxGF得曲线在（1，1，1）的切线方程。322112512153221zyx即1191161zyx曲线在（1，1，1）的法平面方程为0)1()1(9116zyx即24916zyx8.19求函数xzyzxyu在点)1,1,1(沿方向kjil的方向导数。解答：,2)1,1,1(zyxu,2)1,1,1(yxyu,2)1,1,1(yxzu31coscoscos32coscoscoszuyuxuu8.20求函数222222czbyaxu在点),,(zyxM沿此点向径方向的方向导数。解答：,2,2,2222czzubyyuaxxu,cos,cos,cos222222222zyxzzyxyzyxxcoscoscoszuyuxulu=)(222222