第八章计量经济学

1第八章异方差...........................................1第一部分背景资料..............................................1一、学习目的和要求...................................................1二、本章要点.........................................错误!未定义书签。第二部分练习题................................................2一、名词解释.........................................................2二、简答题...........................................................2三、计算题...........................................................2第三部分参考答案..............................................5一、名词解释.........................................................5二、简答题...........................................................7三、计算题...........................................................91第八章异方差第一部分学习目的和要求经典线性回归模型的一个重要假设是干扰项具有相同的方差。如果该假设不满足，就可能出现异方差问题。本章主要讲述了异方差的基本理论、检验方法和校正问题。主要需要掌握并理解以下几个问题：1．异方差的概念；2．出现异方差的原因；3．存在异方差情况下用OLS估计的后果；4．异方差的检验，主要是图形检验、戈德费尔德—匡特检验、帕克检验、White检验、Glejser检验和布鲁尔什—培甘检验；5．广义最小二乘法的概念和步骤；6．用GLS对一般形式的异方差模型估计的校正。7．经典线性回归模型的一个关键性的假定是干扰项都有相同的方差2。如果此假定不成立，则说明有异方差。8．异方差并不破坏OLS估计量的无偏性和一致性。9．在异方差条件下的得到的估计量不再是最小方差或有效的，即不再是BLUE。10．如果相异的误差方差2i已知，那么加权最小二乘法可给出BLUE估计量。11．当异方差出现时，OLS估计量的方差并不由常用的OLS公式给出。如果我们一味地使用OLS公式，则以这些公式为依据的t检验和F检验可能严重误导，以致引出错误的结论。12．检验异方差的方法有若干种，但在不同的情况下使用哪一种方法最有效，现在并没有结论。13．即使异方差受到怀疑并已被检验出来，其校正也很困难，我们常用广义最小二乘法进行校正。2第二部分练习题一、名词解释1．异方差2．图形检验3．戈德费尔德—匡特检验4．帕克检验5．White检验6．Glejser检验7．广义最小二乘法二、简答题1．异方差的存在对下面各项有何影响？（1）OLS估计量及其方差；（2）置信区间；（3）显著性t检验和F检验的使用。2．产生异方差的经济背景是什么？检验异方差的方法思路是什么？3．从直观上解释，当存在异方差时，加权最小二乘法（WLS）优于OLS法。4．下列异方差检查方法的逻辑关系是什么？（1）图示法（2）Park检验（3）White检验5．在一元线性回归函数中，假设误差方差有如下结构：iiixE22如何变换模型以达到同方差的目的？我们将如何估计变换后的模型？请列出估计步骤。三、计算题1．考虑如下两个回归方程（根据1946—1975年美国数据）（括号中给出的是标准差）：tttDGNPC4398.0624.019.26es：（2.73）（0.0060）（0.0736）R²=0.999tttGNPDGNPGNPC4315.06246.0192.25es：（2.22）（0.0068）（0.0597）R²=0.8753式中，C为总私人消费支出；GNP为国民生产总值；D为国防支出；t为时间。研究的目的是确定国防支出对经济中其他支出的影响。（1）将第一个方程变换为第二个方程的原因是什么？（2）如果变换的目的是为了消除或者减弱异方差，那么我们对误差项要做哪些假设？（3）如果存在异方差，是否已成功地消除异方差？请说明原因。（4）变换后的回归方程是否一定要通过原点？为什么？（5）能否将两个回归方程中的R²加以比较？为什么？2．1964年，对9966名经济学家的调查数据如下：年龄—中值工资单位：美元/年年龄20—2425—2930—3435—3940—4445—4950—5455—5960—6465—6970+中值工资7800840097001150013000148001500015000150001450012000资料来源：“TheStructureofEconomists’EmploymentandSalaries”,CommitteeontheNationalScienceFoundationReportontheEconomicsProfession,AmericanEconomicsReview,vol.55,No.4,December1965.（1）建立适当的模型解释平均工资与年龄间的关系。为了分析的方便，假设中值工资是年龄区间中点的工资。（2）假设误差与年龄成比例，变换数据求得WLS回归方程。（3）现假设误差与年龄的平方成比例，求WLS回归方程。（4）哪一个假设更可行？3．参考下表给出的R&D数据。下面的回归方程给出了对数形式的R&D费用支出和销售额的回归结果。1988年美国研究与发展（R&D）支出费用单位：百万美元序号行业销售额R&D费用支出利润1容器与包装6375.362.5185.12非银行金融机构11626.492.91569.53服务行业14655.1178.3274.84金属与采掘业21896.2258.42828.15住房与建筑业26408.3494.7225.96一般制造业32405.61083.03751.97闲暇时间行业35107.71620.62884.18纸与林产品行业40295.4421.74645.79食品行业70761.6509.25036.410健康护理业80552.86620.113869.94序号行业销售额R&D费用支出利润11宇航业95294.03918.64487.812消费品101314.11595.310278.913电器与电子产品116141.36107.58787.314化学工业122315.74454.116438.815聚合物141649.93163.89761.416办公设备与计算机175025.813210.719774.517燃料230614.51703.822626.618汽车行业293543.09528.218415.4说明：行业是按销售额递增的次序排列的。资料来源：BusinessWeek,Special1989BonusIssue,R&DScorecard.iiXYln3222.13647.7lnes：（1.8480）（0.16804）t：（-3.9582）（7.8687）R²=0.7947（1）根据上表提供的数据，验证这个回归结果。（2）分别将残差的绝对值和残差平方值对销售额对数描图。该图是否标明存在着异方差？（3）对回归的残差进行Park检验和Glejser检验。我们能得出什么结论？（4）如果有证据表明现行回归函数iiXY0319.099.192es：（990.99）（0.0083）t：（0.1948）（3.8434）R²=0.4783存在异方差。而在对数—对数模型中没有证据表明存在异方差，那么应选择哪个模型？为什么？5第三部分参考答案一、名词解释1．在经典的线性回归模型中，误差项i的方差与i无关，是一个等于σ²的常数。这就是同方差性质假定。异方差性则与此相对，即误差项i的方差与i有关，并不是一个常数。一元回归模型中的异方差性质可表示为：iY的条件方差随解释变量iX取值的变化而变化。即：22iiE2．图形检验是检验回归模型中是否存在异方差问题的一种检验方法。我们先假设不存在异方差性，然后对模型进行OLS估计。由于残差可以看成是误差项的一种估计，将残差对其相应的观察值描图，或是对一个或多个解释变量描图，或是对估计的iY的均值描图，然后再根据这样的残差图来判断是否存在异方差。3．戈德费尔德—匡特检验（Goldfeld-Quandt）是检验回归模型中是否存在异方差问题的一种检验方法。假设模型如下：iikkiixxy221222variiixi=1,2,…,n戈德费尔德—匡特检验的步骤：第一步，以解释变量为纵轴，以ix的绝对值为横轴作出散点图。第二步，把ix按绝对值大小大致分为两组，参照ix的分组把模型观测值分为两组。用1n和2n分别表示每组的样本容量。第三步，在两组中，分别对模型运用最小二乘法，求出各自的误差项方差估计21S和22S。定义统计量：2122SSF上述统计量在误差项方差一定的零假设下，服从自由度为knkn12,的F分布。对于给定的显著水平α，当knknFF12,时，拒绝零假设，即认为异方差性存在；当knknFF12,时，不能拒绝零假设。4．帕克检验（ParkTest）是检验回归模型中是否存在异方差问题的一种检验方法。如果存在异方差，那么异方差2i可能与一个或者多个解释变量系统相关。我们可以做2i对一个或者多个解释变量的回归。例如：6iiivxbblnln212其中，iv是误差项。帕克建议用2ie来代替2i，则回归方程可以写为：iiivxbbelnln212帕克检验的步骤：第一步，用普通最小二乘法求出回归方程，不考虑异方差问题。第二步，从所求的回归方程中得到残差ie，并求其平方，再取对数形式。第三步，利用原始模型中的一个解释变量做回归；如果有多个解释变量，则对每个解释变量都做回归，或者做2ie对Y的估计值的回归。若2lnie和ixln之间的关系是统计显著的，则拒绝零假设，表明存在异方差；若不能拒绝零假设，则可以解释为同方差。5．White检验（White’sGeneralHeteroscedasticityTest）是检验回归模型中是否存在异方差问题的一种检验方法。假设模型：iiiixxy33221White检验的步骤：第一步，首先用普通最小二乘法估计回归方程，获得残差ie。第二步，作如下辅助回归：iiiiiiiivxxaxaxaxaxaae326235224332212我们也可以加入原始变量的更高次幂。iv是辅助回归方程中的误差项。零假设条件下不存在异方差，方程中所有的斜率系数都为零。第三步，求辅助回归方程的R²值。White证明了R²值与样本容量（n）的积服从2分布，其自由度等于辅助回归方程中解释变量的个数。若2值超过了所选显著水平下的临界值，则拒绝零假设；若2值没有超过临界值，则没有理由拒绝零假设。6．Glejser检验是检验回归模型中是否存在异方差问题的一种检验方法。实质上与帕克检验很相似，不同的是从原始模型中获得残差ie之后，Glejser建议做ie的绝对值ie对X的回归。函数形式可以为：iiivxbbe21iiivxbbe2121iiivxbbe121零假设都不存在异方差，即02b。若零假设被拒绝，则表明原模型的误差项可能存在7异方差。7．广义最小二乘法（GLS）先将原始变量转换成满足经典模型假设的转换变量，然后对它们使用OLS方法。概括地