第八章静电学作业

第八章静电学1．一无限长的均匀带电细直棒，线电荷密度为λ，直棒外一点P到棒的距离为a,请用场强叠加原理求P点的场强.解：过P点作细棒的垂线PO，O为坐标原点，坐标系如图。在棒上距O为l处任选一线元dl，则电荷元dldq202044rdlrdqdE方向如图由图知actgl，sinar222sincscaddadl将dE分解为yxdEdE,daaadrdldEdEx0202204sin)sin(4)sin(sin4sindardldEdEy0204coscos4cosaadadEExx000002cos4sin4方向垂直直棒。0cos400dadEExy1dEydEryxdEdllaPox2．用电场强度叠加原理求证：无限大均匀带电平板外一点的电场强度大小为02E.（提示：把无限大带电平板分解成一个个圆环或一条条细长线，然后进行积分叠加）解：1）rdrdSdq2利用圆环轴线的场强公式23220)(41RxxqERrEdEqdq,,，则2322023220)(2)(41rxrdrxrxxdqdE00212200232202)(2)(2rxxrxrdrxdEE2）利用1题的结果aE02，则rdE02式中2122)(,yxrdy21220)(2yxdydE，dE的y向分量抵消，只有x向分量：)(2)()(2cos220212221220yxxdyyxxyxdydEdEx2rdxxPrrxoydyPydExdEdEyx0002202)22(2arctan2(2xyyxxdydEE方向沿轴x正向。（注：babaxyxyxdyarctan122）3.一半径为R的均匀带电半球壳，面电荷密度为σ，求球心处的场强.解：RddlrdRrdldSdq22利用圆环轴线的场强公式23220)(41RxxqE则dq在o点的场强为232202322023220)(2)(241)(41rxRxrdrxrdRrxxdqdEcos,sin,22RxRrRrxddEcossin20，沿x轴正向020202002004sin212sinsin2cossin2dddEE方向沿x轴正向。3OxdldrxR4．两条无限长平行直导线相距为r0，均匀带有等量异号电荷，线电荷密度为λ.求：1）求两导线构成的平面上任一点的电场强度（设该点到其中一条导线的垂直距离为x）；2）每一根导线上单位长度导线所受到的另一导线作用的电场力.解：1）在P点)(22000xrExE)11(200_xrxEEEEPP方向沿x轴正向2）根据EqF0，带负电荷的导线单位长度受力为0022rEF，方向沿x轴负向带正电荷的导线单位长度受力为0022rEF，方向沿x轴正向5．内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球壳外罩一个同心的半径为R3的均匀带电球面，球面带电荷Q2，求场强分布.解：由高斯定理可知1区)(1Rr：01E2区)(21RrR：02qdSES4oxP0rFFExOR1R2Q1Q2R312343132313131331321)()(34)(34RRRrQRrqRRQ)(4)()(4313203131231323130122RRRrQERRRrQrE3区)(32RrR：013QdSES2013012344rQEQrE4区)(3Rr:202140212444rQQEQQrE432,,EEE的方向均沿径向向外)0,(21QQ.6．两无限长的均匀带电同轴圆柱面，内外半径分别为1R和2R.已知内外圆柱面的线电荷密度分别为1和2，求这一带电系统的场强分布.解：坐如图高斯面，则0:1内ERr:21RrR01LdSEdSES测间间rLELrLE010122间间方向沿径向向外。512r2R1RL02122:外ERr方向沿径向向外。7.一半径为R的带电球体内电荷对称分布，其体电荷密度ρ=kr(0≤r≤R),式中k为常量，试求其场强分布.解：1）Rr0qdSES内40332444krdrrkdqqdrkrdrrdqr0220402444krrkrEqrE内内2）Rr2042040302444,4rkRrQEkRdrrkdqQQrER外外两者方向均沿径向外。8.一半径为R的半圆环上均匀带有电荷，已知其线电荷密度为λ，求环心处的电势.解：Rddldq000004444ddUUdRdqdU6drRrodldyRox9.一半径为R的球体均匀带电，带电量为Q，，求此球体的电势分布.解：场强分布：334334:rQrQRrrRQErRQrErqqdSES303302304,434,内内内Rr:204rQE外电势分布：1）Rr302203020203018)3(488144RrRQRQRrQRQdrrQrdrRQdrEdrEEdrURRrRRrr外内2)RrrQdrrQdrEUrr0202414外10.一平行板电容器两极板相距d,极板的面积为S，两极板间放有一层厚度为t（td）的均匀电解介板,其相对电容率为r，若两极板间的电势差为U，略去边缘效应，求：1）极板和介质板间的场强，，介质中的场强，极化强度.2）极板上的电量和电容器的电容.7QRor解：1))(0tdEEtUEEEErr00则)(tdEEtUrddUEEddUErrrrrr)1(,)1(0ddUEEPrrrre)1()1()1(0002）0000EESQeee则ddSUQCddSUSEQrrrrrr)1()1(000011.如图，球形电容器由半径为1R的导体球和半径为2R的同心导体球壳构成，其间有两层均匀电介质，介质的分界面距球心为r.已知两种介质的相对电容率分别为1r和2r，求电容器的电容.解：设极板电量为Q,由高斯定理可知21010112001144:rQEErQErrRrr200224:rQERrr8rtdSUR1R2Or1r2r22010124rQEErrrRRrRRRrRQrRrRQrRRrQRrQrRQrdrQrdrQrdErrdErEdUrrrrrrrrRrrrRrRrrRRR2121021112222021101220110220210214)]()([4)(4)()11(4)11(41414212121)()(421112221210rRRRrRrRRUQCrrrr12.半径为a的长导体圆柱带有电量Q，设其长度为L.现在圆柱外套上一层半径为b的同轴带电导体薄圆筒，带有-Q电量。如果圆柱与圆筒间充满相对电容率为r的均匀电介质，求此带电系统的电场能量.解：根据高斯定理可知导体圆柱内0内E0内W而圆筒外00外外WE如图在圆柱与圆筒间作半径为r,高L的圆柱形高斯面无电介质时圆柱与圆筒间的场强为LQrE,200则圆柱与圆筒间电介质中的场强为)(200braEErr9QQrrabdrL2022200208)2(2121rEwrrrre则drrLrLdrrdVwdWrre022022428abLQabLdrrLdWWrrbarln4ln41402020210