第4课时简单线性规划

1第6章第4课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－1，＋∞)D．(0,1)解析：将x＝－2代入直线x－2y＋4＝0中，得y＝1.因为点(－2，t)在直线上方，∴t＞1.答案：B2．满足条件y－2x≤0x＋2y＋3＞05x＋3y－5＜0的可行域中共有整点的个数为()A．3B．4C．5D．6解析：画出可行域，由可行域知有4个整点，分别是(0,0)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－2)．答案：B3．(2011·海南华侨中学统考)已知实数对(x，y)满足x≤2，y≥1，x－y≥0，则2x＋y取最小值时的最优解是()A．6B．3C．(2,2)D．(1,1)解析：约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z＝2x＋y，y＝－2x＋z，作初始直线l0：y＝－2x，作与l0平行的直线l，则直线经过点(1,1)时，(2x＋y)min＝3.2答案：D4．(2011·广东揭阳一模)已知函数f(x)＝x2－5x＋4，则不等式组fx－fy≥0，1≤x≤4对应的平面区域为()解析：不等式组fx－fy≥0，1≤x≤4，即x－y≥0，x＋y－5≥0，1≤x≤4，或x－y≤0，x＋y－5≤0，1≤x≤4.其对应的平面区域应为图C的阴影部分．答案：C5．设定点A(0,1)，动点P(x，y)的坐标满足条件x≥0，y≤x，则|PA|的最小值是()A.22B.32C．1D.2解析：作出可行域如图，|PA|的最小值为点A到直线x－y＝0的距离，可求得为22.3答案：A6．(2009·山东卷)某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为()A．2000元B．2200元C．2300元D．2250元解析：设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，则5x＋6y≥50，10x＋20y≥140，x∈N＋，y∈N＋.目标函数为z＝200x＋300y.作出其可行域，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2300元．答案：C二、填空题7．已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式2x－by＋1＞0表示的平面区域内，则b的取值范围是________．解析：P(1，－2)关于原点的对称点为(－1,2)，∴2＋2b＋1＞0－2－2b＋1＞0，∴－32＜b＜－12.答案：－32，－128．不等式组x－2≤0，y＋2≥0，x－y＋1≥0表示的区域为D，z＝x＋y是定义在D上的目标函数，则区域D的面积为______；z的最大值为________．解析：图象的三个顶点分别为(－3，－2)、(2，－2)、(2,3)，所以面积为252，因为目标函数的最值在顶点处取得，把它们分别代入z＝x＋y，得x＝2，y＝3时，有zmax＝5.答案：252549．设z＝x＋y，其中x，y满足x＋2y≥0x－y≤00≤y≤k，若z的最大值为6，则z的最小值为________．解析：如图，x＋y＝6过点A(k，k)，k＝3，z＝x＋y在点B处取得最小值，B点在直线x＋2y＝0上，B(－6,3)，∴zmin＝－6＋3＝－3.答案：－3三、解答题10．画出不等式组x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x、y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解析：(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x∈－52，3，y∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知－x≤y≤x＋5，－52≤x≤3，且x∈Z，当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．11．(2009·陕西卷改编)若x，y满足约束条件x＋y≥1，x－y≥－1，2x－y≤2，(1)求目标函数z＝12x－y＋12的最值．5(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．【解析方法代码108001076】解析：(1)可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．平移初始直线12x－y＝0，过A(3,4)取最小值－2，过C(1,0)取最大值32.∴z的最大值为32，最小值为－2.(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a2＜2，即－4＜a＜2.12．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润ω(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解析：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，所以利润ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.(2)约束条件为5x＋7y＋4100－x－y≤600，100－x－y≥0，x≥0，y≥0，整理得x＋3y≤200，x＋y≤100，x≥0，y≥0.目标函数为ω＝2x＋3y＋300.如图所示，作出可行域．初始直线l0：2x＋3y＝0，平移初始直线经过点A时，ω有最大值．由x＋3y＝200，x＋y＝100，得x＝50，y＝50，最优解为A(50,50)，所以ωmax＝550元．6答：每天生产的卫兵个数50个，骑兵个数50个，伞兵个数0个时利润最大为550元．