第5章《波动》选择题解答与分析

15波动5.1简谐波的传播1.在下面几种说法中，正确的说法是：(A)波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的．(B)波源振动的速度与波速相同．(C)在波传播方向上的任一质点振动相位总是比波源的相位滞后(按差值不大于计)．(D)在波传播方向上的任一质点的振动相位总是比波源的相位超前．(按差值不大于计)答案：(C)参考解答：无论传播的是横波还是纵波，媒质质元仅仅在自己的平衡位置附近振动，并未“随波逐流”。波的传播不是媒质质元的传播，所传播的只是振动状态。由于振动状态是由位相决定的，振动状态的传播也可说成是位相的传播。即沿波的传播方向，各质元的振动位相逐一落后，这是波动的重要特征。对选择(B)，进入下面的讨论。1.1机械波的波速与波长（或频率）有没有关系？参考解答：波速是振动状态的传播速度，用u表示。因位相代表了振动状态，波速也叫相速，波速与波源振动的速度是两回事。机械波的波速与波长（或频率)无关，取决于媒质的性质(弹性和惯性，材料对不同的形变有不同的抵抗能力即表现出不同的弹性)。理论和实验表明，弹性模量越大的介质，波的传播速度就越大；密度越大的介质，波的传播速度就越小。对其他选择，进入下面的思考题。1.2波传播时，介质的质元并不随波迁移。但水面上有波形成时，可以看到漂在水面上的树叶沿水波前进的方向移动。这是为什么？参考解答：如图所示，当水面上有波形成时，表面上水的质元是在平行于波传播方向的竖直平面内做圆周运动（不是上下的简谐运动）。这是因为，水波传过时，波峰处的水面比原来高了，波谷处的水面比原来低了，波峰处增加的水量必定是由临近的波谷处移来的。这样，水面上的质元就有了沿水波传播方向的纵向振动，纵向振动和横向振动的合成就使得水面质元做圆周运动。正是由于水面质元的圆周运动（或说是由于质元有沿水波传播方向的纵向振动），使得水面上的树叶等漂浮物沿水波前进的方向移动。进入下一题：22.在简谐波传播过程中，沿传播方向相距为21（为波长）的两点的振动速度必定(A)大小相同，而方向相反．(B)大小和方向均相同．(C)大小不同，方向相同．(D)大小不同，而方向相反．答案：(A)参考解答：一般情況下的波是很复杂的，如果波源作简谐振动，则波所传到的各媒质质元均作简谐振动，这样的波称为简谐波。另外，波所传播的只是振动状态。由于振动状态是由位相决定的，振动状态的传播也可说成是位相的传播，沿波的传播方向，各质元的振动位相逐一落后，而具体位相差的公式是：,2x当,,2　x即位相相反。设沿传播方向相距为21的两点为P和，2P按照谐振动速度表达式，有：)sin(tAPv，).sin(tA2Pv显然P2Pvv)sin()sin(tAtA，所以这两点振动速度大小相同，而方向相反。对所有选择，均给出参考解答，直接进入下一题。5.2波动表达式1.如图所示，一平面简谐波沿x轴正向传播，已知P点的振动方程为)cos(0tAy，则波的表达式为(A)}]/)([cos{0ulxtAy．(B)})]/([cos{0uxtAy．(C))/(cosuxtAy．(D)}]/)([cos{0ulxtAy．答案：(A)参考解答：沿波的传播方向，各质元的振动位相逐一落后，根据位相差的公式：,2x,2,000ltPP　可通过P点的振动方程求出0点的振动方程：)2cos(00ltAy}][cos{0ultA，则波的表达式为：}.])([cos{}][cos{00ulxtAuxultAy对所有错误选择，进入下面的讨论。xOulPy31.1波动方程)(cosuxtAy中的ux表示了什么？如果把此式改写为)cos(uxtAy，式中的ux又表示了什么？参考解答：波动沿着x轴方向传播，设位于原点o处质元的振动方程为tAycos，每到一处，那里的质元将以同样的振幅和频率重复原点o点的振动。波动方程既描述了同一时刻各媒质质元离开平衡位置的位移即该时刻的波形，同时又反映了随着时间的推移，波形沿着传播方向的运动情况。ux表示因振动从原点o传播到距离o点为x处所需的时间；ux表示x处质元振动落后于o处质元振动的位相；进入下一题：2.如图所示，有一平面简谐波沿x轴负方向传播，坐标原点O的振动规律为)cos(0tAy），则B点的振动方程为(A)])/(cos[0uxtAy．(B))]/([cosuxtAy．(C)})]/([cos{0uxtAy．(D)})]/([cos{0uxtAy．答案：(D)参考解答：沿波的传播方向，各质元的振动位相逐一落后，根据位相差的公式：,2x,)(2,0000uxtxtBB　则B点的振动方程为：}.][cos{cos0uxtAAyB进入下一题：5.3波的能量1.当机械波在媒质中传播时，一媒质质元的最大变形量发生在(A)媒质质元离开其平衡位置最大位移处．(B)媒质质元离开其平衡位置(2/2A)处(A是振动振幅)．(C)媒质质元在其平衡位置处．(D)媒质质元离开其平衡位置A21处（A是振动振幅）．答案：(C)参考解答：如图所示：一媒质质元的最大变形量发生在媒质质元在其平衡位置处。另外，a点：位移最大处，动能为零；没有xyuBO|x|4形变，形变势能为零。b点：位移为零处，动能最大；形变最大，形变势能最大。对所有选择，均给出参考解答，直接进入下一题。2.一平面简谐波在弹性媒质中传播，在媒质质元从平衡位置运动到最大位移处的过程中：(A)它的动能转换成势能．(B)它的势能转换成动能．(C)它从相邻的一段质元获得能量其能量逐渐增大．(D)它把自己的能量传给相邻的一段质元，其能量逐渐减小．答案：(D)参考解答：波动过程是波的能量传播的过程。在波的传播过程中，质元都在各自的平衡位置附近振动，因而具有动能Ek，另外，波源的振动通过弹性力在媒质传播，由于媒质形变媒质中的各点也具有势能EP，可以证明：,)(sin)(21222uxtAVEEPk体积元的动能和势能相等，随时间作同步变化：同时达到最大，同时达到最小。这里没有动能和势能的相互转化；体积元的总机械能并不守恒，显然和孤立振动系统（如弹簧振子）总能量守恒的情况不同。这是由于此质元和周围媒质间有弹性力的作用，进行着能量交换。每一质元都在不断地接受和释放能量。而媒质质元在平衡位置处：速度最大所以动能最大，媒质形变最大，其势能也最大。所以在媒质质元从平衡位置运动到最大位移处的过程中：它把自己的能量传给相邻的一段质元，其能量逐渐减小。所有错误选择，进入下面的讨论。2.1橡皮绳上传播横波时，在同一时刻，何处动能密度最大？何处弹性势能密度最大？何处总能量密度最大？何处这些能量密度最小？参考解答：拉紧的橡皮绳上有横波传播时，在某一时刻t，位移为零的质元处动能密度最大（如图中的A，C，E和G各质元），因为在该时刻这些质元的速度最大。在同一时刻t，位移为零的质元处势能密度也最大（如图中的A，C，E和G各质元），因为在该时刻这些质元处橡皮绳的形变最大。当然，在同一时刻t，也是在位移为零的质元处总能量密度最大。同样可分析出，在同一时刻t，位移最大（含正最大和负最大）的质元处（如图中的B，D和F各质元）动能密度最小、势能密度最小，因而总能量密度也最小，这是因为这些质元在该时刻速度为零且没有形变的缘故。怎样说明在同一时刻位移为零处的质元5形变最大而位移最大处的质元形变为零呢？我们用一细的弹性棒中有横波的情形（如图所示）予以说明。当棒中无波时，棒上的质元均无形变，此时的质元可用小长方块表示（仅画了几个）。若在某时刻t，上述小质元恰巧分别在位移正、负最大处或位移为零处，如图中的下图所示，由图可见，此时刻，位移正、负最大处的质元几乎没有形变，而位移为零的质元形变最大。进入下一题。3.在波传播过程中，每个质元的能量都随时间变化，这是否违反能量守恒定律？(A)违反。(B)不违反。答案：(B)参考解答：波动的过程就是能量的传播过程，体积元的动能和势能相等，且随时间作同步变化，同时达到最大，同时达到最小，体积元总的机械能为222()sin[()]xEVAtu，即体积元的总能量也是随时间作周期变化的。它从零增大到最大值（从前面的质元获得能量），然后又从最大值减小到零（把自身的能量传递给后面的质元），说明任一体积元都在不断地接受和放出能量，这正是能量通过波动传播的过程。因此不违反能量守恒定律。对错误选择，进入下一题：3.1波传播能量与运动粒子携带能量，这两种传递能量的方式有什么不同？参考解答：波动的传播过程就是能量的传播过程，是媒质质元不断从邻近处质元获取能量又不断将能量传递给更远处质元的过程，体积元的总能量也是随时间作周期变化的，它从零增大到最大值（从前面的质元获得能量），然后又从最大值减小到零（把自身的能量传递给后面的质元）。而运动粒子携带能量没有能量的传播。5.4驻波1.在弦线上有一简谐波，其表达式为]34)20(100cos[100.221xty(SI)为了在此弦线上形成驻波，并且在x=0处为一波腹，此弦线上还应有一简谐波，其表达式为：(A)]3)20(100cos[100.222xty(SI)．(B)]34)20(100cos[100.222xty(SI)．(C)]3)20(100cos[100.222xty(SI)．6(D)]34)20(100cos[100.222xty(SI)．答案：(D)参考解答：在同一媒质中两列振幅相同的相干波，沿同一直线相向传播时，叠加形成的波称为驻波，驻波是干涉现象的一种重要的特殊情况。驻波各质元以不同的振幅、相同的频率作简谐振动。振幅最大的各点称为波腹（由两列波引起的两振动恰好同相，相互加强）。本题x=0处为一波腹，则两波在x=0处位相相同，显然(D)正确。对所有错误选择，进入下面的讨论。1.1设P点距两波源S1和S2的距离相等，若P点的合振幅保持为零，则由S1和S2分别发出的两列简谐波在P点引起的两个简谐振动应满足什么条件？参考解答：两个简谐振动应满足干涉相消的条件，即振动方向相同，振动频率相等，振幅相等，相位差为．进入下一题。2.如图所示，一平面简谐波沿x轴正方向传播，波动方程为：)]/π(2cos[1xtAy.BC为波密媒质的反射面。波由P点反射，0P=3/4，则反射波的波动方程为(A))]/π(2cos[2xtAy(B)])/π(2cos[2xtAy答案：(A)对所有选择，均给出参考解答。参考解答：有许多同学是这样考虑：(1)反射波与入射波传播方向相反，波动方程中x前面要改符合。(2)波疏到波密媒质的反射，有半波损失，即波动方程中要加.即如果入射波的波动方程为：)]π(2cos[xtAy入，那么反射波的波动方程一定可以写成：])π(2cos[xtAy反.7注意，这并不是在什么情况下都对！请看下面的分析：设入射波的波动方程为：])(cos[uxtAy入取如图所示坐标系，有半波损失时的反射波波动方程的一般形式：π])(cos[uop-xoptAy反注意：坐标原点是可以任意选择的！但常常是按下列两种方式取定坐标系。(1)取坐标原点距离反射点为四分之一波长的偶数倍，42kop.π2)π2(,2kukukop反射波的波动方程：π])(cos[uxtAy反(2)取坐标原点距离反射点为四分之一波长的奇数倍，4)12(kop.π)12(2)12(,2)12(2kukkop反射波的波动方