第5章测量误差的基本知识

2019年12月21日星期六1测量学第5章测量误差的基本知识2019年12月21日星期六2第5章测量误差的基本知识§5.1测量误差概述§5.2衡量精度的标准§5.3误差传播定律§5.4算术平均值及其中误差§5.5用观测值的改正数计算中误差2019年12月21日星期六3§5.1测量误差概述一、测量误差产生的原因●测量误差的来源（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。（2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。（3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等三项又称为观测条件●测量误差的表现形式●测量误差（真误差=观测值-真值）XljiijllXl（观测值与真值之差）（观测值与观测值之差）2019年12月21日星期六4例：误差处理方法钢尺尺长误差ld计算改正钢尺温度误差lt计算改正水准仪视准轴误差I操作时抵消(前后视等距)经纬仪视准轴误差C操作时抵消(盘左盘右取平均)…………1.系统误差—误差出现的大小、符号相同，或按规律性变化，具有积累性。●系统误差可以消除或减弱。(计算改正、观测方法、仪器检校)二、测量误差的分类2019年12月21日星期六52.偶然误差——误差出现的大小、符号各不相同，表面看无规律性。例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差。●准确度(测量成果与真值的差异）●最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）●测量平差（求解最或是值并评定精度）几个概念:●精（密）度（观测值之间的离散程度）2019年12月21日星期六6举例:在某测区，等精度观测了96个三角形的内角之和，得到100个三角形闭合差i(偶然误差，也即真误差)，然后对三角形闭合差i进行分析。分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。三、偶然误差的统计特性2019年12月21日星期六7表5-12019年12月21日星期六8用频率直方图表示的偶然误差统计：频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称于y轴。频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状，表现出偶然误差的普遍规律图5-1误差统计直方图2019年12月21日星期六9◆从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的四个特性：特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。3.偶然误差的特性(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值(有界性)；(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(单峰性)；(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)；(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零(抵偿性)：0limlim21nnnnn2019年12月21日星期六10偶然误差的特性1）有界性；2）单峰性；3）对称性；4）抵偿性偶然误差是观测过程中各种偶然误差源影响的总和。它是无法消除的：1）偶然误差的不可避免性；2）偶然误差的随机性；3）观测次数的有限性。2019年12月21日星期六11一、中误差§5.2衡量精度的标准设对某一未知量X进行了n次等精度观测，其观测值为l1,l2，……，ln，相应的真误差为Δ1,Δ2，……，ΔnΔi=li–X中误差的定义为：nm2019年12月21日星期六12例该段距离的真值为49.982m每个观测值的中误差都是±4.7mm2019年12月21日星期六13二、相对误差(相对中误差)——误差绝对值与观测量之比。当观测误差与观测量的大小有关时必须采用相对误差。用分子为1的分数表示。分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。分母有效数字的取位及只舍不进规则K2K1，所以距离S2精度较高。例2：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。0.0210.021K1=——=——；K2=——=——100500020010000解：当观测误差与观测量的大小无关时就不能采用相对误差。2019年12月21日星期六14三、容许误差(极限误差)根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概率为：demdfPm22221)()(误差出现在K倍中误差区间内的概率为：kmkmmdemkmP22221)(将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：P(||m)=0.683=68.3P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7测量中，一般取两倍或三倍中误差作为容许误差，也称为限差：|容|=2|m|或|容|=3|m|2019年12月21日星期六15一、倍数函数的中误差设有函数式(x为观测值，K为x的系数)全微分得中误差式xxZmkmkmnixkZkxZ),,2,1(22例：量得地形图上两点间长度=76mm0.2mm,计算该两点实地距离D和中误差mD：d500:1m1.0m38m1.0mm100500500500SmmddDlDD解：列函数式求全微分中误差式5.3误差传播定律2019年12月21日星期六16二、和或差函数的中误差函数式：全微分：中误差式：yxZn),1,2,(iiiiyxz222ymxmZm0][limnyxn顾及了，2019年12月21日星期六17特殊的，设函数式：全微分：中误差式：nxxxZ21ndxdxdxdz2122221nZmmmm当等精度观测时：上式可写成：mmmmmn321nmmZ例：测定A、B间的高差，共连续测了9站。设测量每站高差的中误差，求总高差的中误差。解：ABhmm2mhmABh921hhhhABmm692nmmh2019年12月21日星期六18三、一般线性函数的中误差设有函数式全微分中误差式nnxkxkxkZ2211nndxkdxkdxkdz22112222222121nnZmkmkmkm例：设有某线性函数其中、、分别为独立观测值，它们的中误差分别为求Z的中误差。314121491144xxxZ321xxxmm6,mm2,mm3321mmmZm314121491144dxdxdxdzmm6.1623214121492144233222211xxxZmfmfmfm解：对上式全微分：由中误差式得：2019年12月21日星期六19四、一般函数的中误差令的系数为，用观测值代入偏导数式，fi为常量，(c)式为：ixiixFf由于和是一个很小的量，可代替上式中的和：ixidxdznnxxFxxFxxF2211(c)代入(b)得对(a)全微分：nndxxFdxxFdxxFdZ2211(b)设有函数：),,,(21nxxxFZ为独立观测值ix设有真误差，函数也产生真误差ixixZ(a)§5.3误差传播定律2019年12月21日星期六20)()(22)(11)()2()2(22)2(11)2()1()1(22)1(11)1(knnkkknnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf对Z观测了k次，有k个式(d)对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）jijinnxxffxxffxxffxfxfxf2223131212122222221212(e)对K个(e)式取总和：njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122(f)2019年12月21日星期六21njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122(f)(f)式两边除以K，得(g)式：(g)njijijijinnKxxffKxfKxfKxfK1,222222212122由偶然误差的抵偿性知：0limnxxjin(g)式最后一项极小于前面各项，可忽略不计，则：前面各项KxfKxfKxfKnn22222221212即22222221212xnnxxzmfmfmfm(h)2019年12月21日星期六2222222221212xnnxxzmfmfmfm(h)考虑，代入上式，得中误差关系式：iixFf2222222121nnZmxFmxFmxFm(5-17)上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。2019年12月21日星期六23通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结出求观测值函数中误差的步骤：1.列出函数式；2.对函数式求全微分（合并误差的同类项）；3.套用误差传播定律，写出中误差式。2019年12月21日星期六24例：设测得圆的半径r=1.465m，已知其中误差m=±0.002m，求其周长l及其中误差。解：l=2πr=2*3.14*1.165=9.205m求全微分：dl=2πdrf=2π应用误差传播定律ml=2πmr=±0.013m最后结果写成：l=9.205m±0.013m误差传播定律的应用2019年12月21日星期六25例在ΔABC中直接观测∠A、∠B，其中误差分别为mA=±3″，mB=±4″，求mC解：1．列函数式∠C=180°-∠A-∠B2．求全微分dC=-dA–dB即f1=-1，f2=-13．应用误差传播定律mC=±5″254)(3)(mmm222B2A2C2019年12月21日星期六26例已知倾斜距离及其中误差为L=50±0.05m,倾斜角及其中误差为α=15°±30′求水平距离D及其中误差mD0.048m)206265/30()1550(05.015)()()(m15501530.48*22222222SinCosmDmLDSinLSinDCosCosLDmCosLDL，解2019年12月21日星期六27▓观测值的算术平均值(最或是值)▓用观测值的改正数v计算观测值的中误差(即:白塞尔公式)§5.4算术平均值及其中误差2019年12月21日星期六28一.算术平均值证明算术平均值为该量的最或是值：设该量的真值为X，则各观测值的真误差为1=1-X2=2-X······n=n-X对某未知量进行了n次观测，得n个观测值1,2,···,n,则该量的算术平均值为：x==1+2+···+nnn上式等号两边分别相加得和：lnXL=nlnlllLn21nXl2019年12月21日星期六29当观测无限多次时：nlXnnn][lim][lim得Xnln][lim两边除以n：由lnXnlXn当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。L≈XnXlXLXnln0)(limlimXLnnn2019年12月21日星期六30函数式全微分中误差式nnnnnllllx12111lnnlnlnddddx12111