第5章磁流体力__学波

第5章磁流体力学波一个已经处在平衡态的磁流体体系，在受到小扰动时，往往会在平衡态附近作本征运动．当体系处在热力学平衡或近热力学平衡状态下时，这种本征的集体运动振幅往往只有热噪声的水平，并维持在这个水平上；它们被统称为（稳定的）磁流体力学波．波可以将能量从一个地方传到另一个地方，因而是非常重要的。一些波还可以将有关信息传播到等离子体外面，观察者可以据此推断等离子体内部的某些性质。波可以增长，并从等离子体中吸取能量；也可以衰灭，将能量释放给等离子体。在普通流体中，声波是唯一可能的波模。因为等离子体至少由两种流体组成，所以可能存在的波模个数要比普通流体中大得多。本章将分别讨论均匀和非均匀磁流体中的典型磁流体波．5.1均匀磁流体中的磁流体力学波5.1.1简述1．离子声波这和普通流体中的声波类似，是由磁流体密度的疏密扰动引起并由热压力驱动而形成的纵波，即其传播方向k和流体元扰动1u的方向一致．由于运动方程中只须考虑热压力，故描写这种扰动的是封闭的流体力学方程组,,()0dPdtPconsttuu把所有的量分成平衡量和扰动量两部分01011001,(0),PPPuuuuu取无宏观流动的空间均匀平衡量0000/0,0,/0,0tPtP，并假定扰动量（比起平衡量来）是一阶小量即10/1AA然后将它们一同代入方程，消去平衡量，略去二阶及二阶以上小量，最后就得出关于扰动量的一阶线性方程组1111010100,0,0uudPPdtPt其中用到了：常数00P，及200dPddPPdP为了解上述方程，令（相当于对上述方程作傅里叶展开）111(,,)(,,)exp[()]kkkPPituukr利用||kku，可得代数方程组0000,//,kkkkkkukPPPku经过化简，可得20000kkkPkukPu此方程有非平凡解的条件是ku的系数为零，即2200Pk于是最后得离子声波的色散关系0000,ssPPkkCC（5.1）其中sC是相速度，一般称为离子声速．下面更普遍的推导表明，在无磁场时离子声波的传播方向是任意的，而在有磁场时它是沿磁力线传播的．2.阿尔文波在前面曾指出，当磁力线在垂直它的方向上受到扰动时，会产生一个恢复力—磁张力，从而使磁力线像弹性弦一样振动，并产生一个沿磁力线传播的横波（即磁场的扰动方向和传播方向相互垂直的波）．而在理想磁流体中，由于流体元和磁场冻结在一起，所以同时也带动流体一起作横波运动．这种（电）磁场与流体元同为横波的电磁流体波就称为剪切阿尔文波．这时在运动方程中必须计入磁场和电流的洛伦兹力，由于涉及B和J这两个量，完整的方程组由以下方程组成1,,0,,0uJBJBBBEEuBddtt设平衡解为：000000,0,0,zBuJEBe，其中0B是与时、空无关的常数．运动方程右面可化为101010111101(),0uJBBBBEEuBddtt做傅立叶变换/,tiik，得0001(),0ukBBkEBEuBkkkkkkiiii取图3.1所示的坐标系，得关系000kkkkkkBukBkEBEBu由此可得色散关系200,/AAkVVB（5.2）其中的相速度AV称为（剪切）阿尔文波速．3．压缩阿尔文波这是由磁压力和热压力共同驱动的一种电磁横波、流体纵波．描述它的磁流体方程组为00,()0,1,0,,0dPdttPPtuJBuJBBBEEuB（5.3）取图3.2的坐标系，设平衡解为000,0uJ，于是可知0000/0,0,0,/EtPPt，进一步假定00,并取00zBBe，由一阶线性运动方程及傅里叶变换10101101000001(),1()1[()()]kkkkkkkdPPdtiiiPPuJBBBukBBkukBBBBkk（5.4）再利用关系01010kktuku（5.5）及22000/skkskkCPPCku（5.6）20002201[()()]()()[]skkkksAkzkkzCCVkBBukBBBBkkkukkuBk（5.7）以及一阶的法拉第定律11kktBEkEB利用11000kkEuBEuB0000()()()[()]kkkkkkkzzkBkkuBBkuBkBuBBkueu（5.8）最后可得由,kkuB组成一阶联立色散方程组（5.7），（5.8）。下面先来讨论一种比较简单的压缩阿尔文波（也称磁声波），这时取||||(0),(0),||kkkkuukeueku（图3．3）．假定1B在ze方向，有00()kkzkzBBkuBkuee将上式代入（5.7）式后，得2222sAkkkCVukuku故有色散关系2222()sAkCV（5.9）相应的相速度为22phsAVCV，很明显它是由热压强和磁压强共同驱动的，因此其相速度（在三种磁流体波中）也是最大的．从上面的讨论已经可以看出，从它的电磁极化来看是一种横波（,kkBE彼此垂直同时又都垂直于传播方向k），而从流体的极化来看却又是纵波（||kku）．最后，通过列表把已经讨论过的三种磁流体波作一小结，见表3.1．5.1.2一般情况下的磁流体波这时的出发方程仍是由扰动的,kkuB组成的联立方程组（5.7）与（5.8）。平衡磁场也仍在ze方向，但波的传播方向比上节更一般（如图3.4）：00(0,0,),(sin,0,cos)BkkBk其中是k和0B（ze）间的夹角．由此可写出（5.7）及（5.8）式的6个分量方程它们的ey分量解耦合，但和其他两个方向相互耦合，所以可以把ey分量单独求解．将其中的一个代入另一个后可得一支波的色散关系222zAkV（5.10）这波显然就是剪切阿尔文波，它只在平行磁场方向传播．将另两个方向上的扰动磁场代人扰动流速的方程后有其中的高相速解（取“＋”号的解）一般称为快磁声波，而低相速解（取“－”号解）则称为慢磁声波．特别当22cos()sAsACVCV时：快磁声波（取正号解）变成22sAkCV（5.12）这就是上节说的压缩阿尔文波．而慢磁声波（取负号解）变成22sAzsACVkCV（5.13）如果进一步假定AsVC，则它退化成上面所说的离子声波（zskC）．图3.5给出了上述3支波在以磁场方向为对称轴时，不同传播方向k下的相速度取值（曲线）．从中可见剪切阿尔文波和离子声波都是沿磁力线传播的，它们在垂直于磁力线的方向上均不能传播．而快磁声波（压缩阿尔文波则可以在所有的方向上传播（这是和它的驱动机制有关的）．而且磁声波的波速是3支波中最快的，然后（AsVC时）依次是剪切阿尔文波、离子声波．但如果回到未作近似的磁声波解，在sACV时，所得到的离子声波的波速将大于剪切阿尔文波速．5.1.3各种非理想效应的影响1.有限电导对剪切阿尔文波的影响当等离子体的温度比较低时，电阻不可忽略，这时在广义欧姆定律中必须加入电阻项．如果取如图3.6所示的坐标系，令11,Bu在ye方向，而0,Bk在ze方向（下面可证11,EJ在xe方向），其中下标为“1”的量表示扰动的一阶小量，这样剪切阿尔文波将由下面的线性电阻磁流体方程组描述0110BuBtz（5.14）11EBzt(5.15)1101EuBJ(5.16)111BJz(5.17)令上面的所有扰动量都正比于1exp[()]kAAikzt（这相当于作傅氏变换），则由（5.15）式有kkkEB；然后将它和（5.17）式代入（5.16）式后得20kkkkkiikEuBJkBE所以有210(1)kkikEBu另外，从（5.14）式可得20000kkkBBkukBE将前一个关于kE的表达式代入后，得出色散方程2222(1)AikkV（5.18）可以看出，由于电阻不为零，上面方程是一个复数方程，故色散关系将含有虚部，也即有耗散项．如果想知道波随时间的衰减解，则一般令波数k为实数，而频率为复数。rii．下面只讨论ir的弱阻尼情况．将复频代入上式，得22222()rririAikiikV由上式的虚部为零，可得202ik（5.19）这表明，这支波是随时间指数衰减的．将它代入前式的实部并略去含2的高阶小量后，就可以得到原来理想磁流体中剪切阿尔文波的色散关系22222222()2rAAkVkkV（5.20）这样，电阻的计入只是使剪切阿尔文波随时间指数衰减，其衰减的特征时间为22222dAk其中1是电导，而1Ak是波的特征波长．这个衰减时间和电阻所引起的磁场扩散的特征时间2L相近（只要认为体系的特征尺度1/ALk）．有时在实验上测量波随空间距离的衰减更为方便，这时可以取频率为实数，而波数为复数rikkik．将它们代入色散方程后，有22220AkVik这时色散关系用下面的方式表示比较方便1/222112AAAAkiiVVVV其实部就是剪切阿尔文波/rAkV，而虚部为223322iAAkVV（5.21）这表示，电阻使阿尔文波在沿空间传播时衰减，其衰减的特征长度为22AdVlk，由此可以引进一个无量纲参数（用它表征电阻效应在磁流体中的行为是否重要）1/21/202/dAAAlVLBk（5.22）这参数也称Lundquist数，当1L时可以忽略电阻对磁流体的影响，用理想磁流体方程就能很好地描述等离子体的行为．反之，则应该在磁流体方程中计入电阻项．如果进一步考虑粘性效应，则只需在运动方程中加入粘性力项（其他方程和上面的电阻磁流体方程组相同）2,dPdtuJBu（5.23）其中是剪切粘性系数．实行傅氏变换后，经过简单的计算可得如下色散方程22222011AkkiikV（5.24）把它和只考虑电导的结果相比，只需把那里的1/作替换01/[1//]即可．当取,rk认为实数时20112ik（5.25）而当取,rk为实数时220112iAV（5.26）