第一讲集合

1高中文科数学第一讲集合一．考纲解读1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。二．命题走向有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为：（1）题型是1个选择题或1个填空题；（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。三．要点精讲1.元素的性质：元素具有确定性、互异性、无序性。◆确定性我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合是一个“整体”，构成集合的对象必须是“确定的”。怎样理解集合的“确定的”性呢？其中“确定”是指构成集合的对象具有非常明确的特征，这个特征不能是模棱两可的，通过这个特征，我们能很容易判断一个元素是否是这个集合的元素。例1判断下列对象能否构成集合。1.某校的年轻教师2.某校大于50岁的教师3.某校的女教师◆互异性集合中的元素是互不相同的，不能重复出现。通俗地讲就是一个集合中不存在相同的元素，每个元素都是独一无二的。2例2已知{},aa?2121，则a＝.◆无序性集合中的元素是没有顺序的。这个是从集合表示方法的角度来强调的。比如{1,2}和{2,1}其实表示的是同一个集合。元素前后顺序的不同并不影响相同集合的判断。通俗地讲就是集合相当于一个大口袋，所有的元素一股脑地倒进去，只要知道在里面就行了，元素之间没有什么先后顺序，或者谁大谁小。注意：数列的表示从外观看象集合的列举法表示，但是数列中元素的顺序不同，他所表示的数列也不一样。2.集合的分类及表示方法集合通常用大写拉丁字母A、B、C……表示，元素通常用小写拉丁字母a、b、c……表示。这只是一个约定俗成，使用的时候便于区分。集合的分类：集合包括所有非负整数构成的集合，即非负整数集，记作N；所有正整数构成的集合，即正整数集，记作N+或者N*；全体整数组成的集合，即整数集，记作Z；全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q；全体实数组成的集合，即实数集，记作R。几种特殊数集的范围和意义需要牢记，经常会应用到。根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集。当集合中元素的个数有限时，称之为有限集；反之，当集合中元素的个数无限时，称之为无限集。有限集容易理解，但是无限集往往会和集合的确定性相互混淆了。要清楚这是两个不同的概念。确定性解决的是集合与元素的关系是或否的问题；无限集解决的是元素个数的问题。两者本质不同集合的表示方法有自然语言法、列举法、描述法，还有图像法。自然语言法就是用文字叙述的形式描述集合的方法。使用此方法要注意叙述清楚即可。如“由所有正方形构成的集合”、“大于2且小于10的奇数构成的集合”都是用自然语言表示的。列举法就是将集合中的元素一一列举说明来表示集合。比如{2，3，4，5}、{a，b，c，d}。注意元素之间用“，”分隔开。描述法就是通过将集合中元素的范围和共同特征描述出来，以此方法表示集合。用符号来表示就是{x∈A|P（x）}，其中x表示集合中的代表元，A指的是代表元x的范围，P（x）表示代表元x的共同特征，“|”表示将代表元与其特征分隔开来，使得意思明确。注意：①写清楚集合中的代表元的代号，如集合{x∈R|x1}不能写成{x1}；②集合与代表元素所采用的字母符号无关，如集合{x∈R|x1}也可以写成{y∈R|y1}，还可以写成{a∈R|a1}，都是一样的集合；③准确使用“且”和“或”；④集合中不能出现未被说明的符号，如{x∈Z|x=2k}中的k未被说明，故此集合元素是不明确的；⑤描述的内容应该都要写进集合符号内，如{x∈Z|x=2k}，k∈Z不符合要求，应该写成{x∈Z|x=2k，k∈Z}；⑥有时联系上下文，元素的范围x∈R是明确的，则x∈R可以省略。3例3注意区分下面集合中的元素所表示的含义：⑴集合(){},|xyyx=中的元素是()xy，，这个集合表示二元方程yx=的解集，或者理解为曲线yx=上的点组成的点集；⑵集合{}x|yx=中的元素是x，这个集合表示函数yx=中自变量x的取值范围；⑶集合{}y|yx=中的元素是y，这个集合表示函数yx=中函数值y的取值范围；⑷集合{}yx=中的元素只有一个（方程yx=），它是用列举法表示的单元素集合．还有其他的一些表示方法，比如用数轴用表示。这里介绍一个常用的方法就是维恩图，也叫文氏图，用于显示元素集合重叠区域的图示。采用固定位置的交叉环形式再加上阴影来表示逻辑问题。上图中圆圈A内表示集合A，圆圈Ａ以外的元素都不属于集合Ａ，同时我们还可以看出Ａ是Ｂ的子集。在解题中使用维恩图的方式比较直观，往往更易理解。维恩图的应用往往起到帮助理解的作用。在集合类题目的求解中，特别是集合应用题中，往往数形结合的方法比较简易快捷的得到结果。3.集合与元素的关系元素与集合有属于和不属于两种关系。如果a是集合A的元素，则a∈A；如果a不是集合A的元素，则a不属于A，记作aÏA。注意a与{a}的区别，a表示一个元素，而{a}表示一个集合，两者是属于的关系，如0∈{0}。4.集合与集合的关系如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A包含于B。这时，我们也说集合A是集合B的子集。任何一个集合是它本身的子集，注意不要漏掉。如果A包含于B，且A≠B，则集合A是集合B的真子集。如果A包含B，B包含C，则A包含C。集合之间包含的关系在理解的时候可以类比中国的人口和江苏的人口，前者包含后者。注意区分属于和包含的区别，两者不能混淆。前者是元素和集合的关系，后者是集合与集合的关系。只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。5.空集的特性不含任何元素的集合叫做空集，记作空集。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。空集只有一个子集，即它本身。注意空集与{空集}的区别，空集是不含任何元4素的集合，{空集}是指以空集为元素的集合。顾名思义，空集就是什么都没有的集合。可以这么理解，空口袋也是口袋啊。例4判断正误{}莆?（）{}铺?（）{}{}莆?（）6.有限集合的子集个数由n个元素构成的集合有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集。例3．已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是（）A．15B．16C．3D．47.运算关系（交、并、补）由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，记作Ａ∪Ｂ，读作“A并B”，即Ａ∪Ｂ={x|x∈A，或x∈B}。“或”的意思是指两者满足其一即可，当然都满足也是可以的。在写并集时要注意元素的互异性，两个集合的公共元素只能出现一次。比如A={1,2,3}，B={1,2,4}，则Ａ∪Ｂ={1,2,3,4}，而不能写成Ａ∪Ｂ={1,1,2,2,3,4}。并集就是把两个集合中的元素合在一起，去掉重复的，然后放进一个集合里。由所有属于集合Ａ且属于集合Ｂ的元素组成的集合，称为集合Ａ与集合Ｂ的交集，记作Ａ∩Ｂ，读作“Ａ交Ｂ”。即Ａ∩Ｂ={x|x∈A，且x∈B}。“且”的意思是指两者必须都满足，缺一不可。另外要注意“所有”，不能漏掉一些元素。交集就是两个集合中相同的元素全部挑出来，组成一个新集合。如果一个集合含有我们所要研究的每个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示。全集是一个相对的概念。设Ｕ是一个全集,A是Ｕ的一个子集,由Ｕ中所有不属于A的元素组成的集合,叫做Ｕ中子集A的补集(或余集)，记作CＵA。补集是相对于全集而存在的，在研究补集之前必须先明确全集。补集就是互补的集合。通俗理解就是一个全集，一刀切两半，这样分开后的两个集合就是互补了，而且一个元素在一个集合中，那么肯定不在另一个集合里。从符号的角度来看，若x∈Ｕ，则x∈A和x∈CＵA二者必居其一。2.运算性质CＵＵ＝Æ，CＵÆ＝Ｕ，CＵ（CＵA）＝Ａ，Ａ∪CＵA＝Ｕ，Ａ∩CＵA＝Æ；若Ａ包含于Ｂ，则CＵA包含CＵＢ；反之，若CＵA包含CＵＢ，则Ａ包含于Ｂ；若Ａ＝Ｂ，则CＵA＝CＵＢ；反之，若CＵA＝CＵＢ，则A=B；CＵ（A∩B）=CＵA∪CＵB，CＵ（A∪B）=CＵA∩CＵB；分配律，结合律：Ａ∩（Ｂ∩Ｃ）＝（Ａ∩Ｂ）∩Ｃ；Ａ∪（Ｂ∪Ｃ）＝（Ａ∪Ｂ）∪Ｃ；Ａ∩（Ｂ∪Ｃ）＝（Ａ∩Ｂ）∪（Ａ∩Ｃ）；Ａ∪（Ｂ∩Ｃ）＝（Ａ∪Ｂ）∩（Ａ∪Ｃ）。9.德摩根定律计算集合元素个数公式设有限集Ａ、Ｂ、Ｃ，card（A）表示集合A的元素个数，则（１）card（Ａ∪Ｂ）＝card（Ａ）＋card（Ｂ）－card（Ａ∩Ｂ）．（２）card（Ａ∪Ｂ∪Ｃ）＝card（Ａ）＋card（Ｂ）＋card（Ｃ）－card（Ａ∩Ｂ）－card（Ｂ∩Ｃ）－card（Ｃ∩Ａ）＋card（Ａ∩Ｂ∩Ｃ）