第一轮复习第四节简单的逻辑联结词

第四节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(见学生用书第9页)考纲传真1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．2．理解全称量词与存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断(1)“p∧q”是真命题当且仅当命题“p”与“q”均为真命题，否则“p且q”是假命题；(2)“p∨q”是假命题当且仅当“p”与“q”均是假命题，否则“p∨q”是真命题．(3)命题p与綈p有且只有一个是真命题．2．量词3．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)1．命题“p∧q”与“p∨q”如何否定？【提示】“p∧q”的否定是“綈p∨綈q”；“p∨q”的否定是“綈p∧綈q”．2．全称(特称)命题的否定还是全称(特称)命题吗？其真假性与原命题有什么关系？【提示】全称命题的否定是特称命题，其真假性与原命题相反；特称命题的否定是全称命题，其真假性与原命题相反．1．(人教A版教材习题改编)已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则()A．綈p：∃x0∈R，sinx0≥1B．綈p：∀x∈R，sinx≥1C．綈p：∃x0∈R，sinx0＞1D．綈p：∀x∈R，sinx＞1【解析】全称命题的否定是特称命题，“sinx≤1”的否定是“sinx＞1”．【答案】C2．下列命题中为真命题的是()A．∀x∈R，x2＋2x＋1＝0B．∃x0∈R，－x20－1≥0C．∀x∈N*，log2x＞0D．∃x0∈R，cosx0＞x20＋2x0＋3【解析】对于A，当x＝1时，x2＋2x＋1≠0，故A错；对于B，当x0＝1时，－x20－1≥0，故B正确；对于C，当x＝1时，log2x＝0，故C错；对于D，x20＋2x0＋3＝(x0＋1)2＋2≥2，故D错．【答案】B3．设p、q是两个命题，则“p∨q为真，p∧q为假”的充要条件是()A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假C．p、q中有且只有一个为真D．p为真、q为假【解析】“p∨q”为真，则命题p、q中至少有一个为真，“p∧q”为假，则命题p、q中至少有一个为假，则“p∨q为真，p∧q为假”的充要条件是“p、q中有且只有一个为真”．【答案】C4．(2012·安徽高考)命题“存在实数x，使x1”的否定是()A．对任意实数x，都有x1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1【解析】命题的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．【答案】C(见学生用书第10页)含有逻辑联结词的命题的真假判断(2013·深圳调研)已知命题p：“对任意的a，b∈N*，都有lg(a＋b)≠lga＋lgb”；命题q：“空间两条直线为异面直线的充要条件是它们不同在任何一个平面内”，则()A．命题“p∧q”为真命题B．命题“p∨q”为假命题C．命题“(綈p)∧q”为真命题D．命题“p∨(綈q)”为真命题【思路点拨】先判断命题p、q的真假，再判断p∧q、p∨q、(綈p)∧q、p∨(綈q)的真假．【尝试解答】因为存在a＝b＝2，使得lg(a＋b)＝lga＋lgb，所以命题p是假命题；由异面直线的定义可知命题q是真命题．所以p∧q为假命题，A错误；p∨q为真命题，B错误；(綈p)∧q为真命题，C正确；p∨(綈q)为假命题，D错误．【答案】C,1．“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p、q的真假；(3)确定“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题的真假．2．p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p则是“与p的真假相反”．(2013·江南十校模拟)命题p：若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是()A．“p或q”是真命题B．“p或q”是假命题C．綈p为假命题D．綈q为假命题【解析】由a·b＞0知，a与b的夹角为锐角或0°角，故命题p是假命题．令f(x)＝－x＋1（x≤0），－x＋2（x＞0），f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，但f(x)在(－∞，＋∞)上不是减函数，故命题q是假命题．从而“p或q”是假命题．【答案】B全称命题、特称命题的真假判断(2013·珠海质检)下列命题中是假命题的是()A．∀x∈(0，π2)，x＞sinxB．∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝2C．∀x∈R，3x＞0D．∃x0∈R，lgx0＝0【思路点拨】(1)明确命题的类型，即全称命题还是特称命题．(2)根据命题的条件与结论确定判断方法．【尝试解答】对于A，令f(x)＝x－sinx，则f′(x)＝1－cosx，当x∈(0，π2)时，f′(x)＞0，f(x)在(0，π2)上是增函数，则f(x)＞f(0)＝0，即x＞sinx，故A正确；对于B，由sinx＋cosx＝2sin(x＋π4)≤2＜2知，不存在x0∈R，使得sinx0＋cosx0＝2，故B错误．易知3x＞0，故C正确；对于D，由lg1＝0知，D正确．【答案】B,1．(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立．2．要判断特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立；否则特称命题是假命题．(2013·潮州模拟)已知函数f(x)＝sin(x＋π2)，g(x)＝cos(x－π2)，设h(x)＝f(x)g(x)，则下列说法不正确的是()A．∃x0∈R，f(x0＋π2)＝g(x0)B．∀x∈R，f(x－π2)＝g(x)C．∀x∈R，h(－x)＝h(x)D．∀x∈R，h(x＋π)＝h(x)【解析】f(x)＝cosx，g(x)＝sinx，h(x)＝sinxcosx.当x0＝0时，f(x0＋π2)＝g(x0)，故A正确．又f(x－π2)＝cos(x－π2)＝sinx＝g(x)，故B正确．对于C，h(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sinxcosx＝－h(x)，故C错误；对于D，h(x＋π)＝sin(x＋π)cos(x＋π)＝sinxcosx＝h(x)，故D正确．【答案】C含有一个量词的命题的否定写出下列命题的“否定”，并判断其真假．(1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x0，使x30＋1＝0.【思路点拨】(1)分析命题所含的量词、明确命题类型．(2)从量词和结论两方面否定命题．【尝试解答】(1)綈p：∃x0∈R，x20－x0＋140，假命题，这是因为∀x∈R，x2－x＋14＝(x－12)2≥0恒成立．(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)綈r：∀x∈R，x2＋2x＋20，真命题，这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥10成立．(4)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．这是由于x＝－1时，x3＋1＝0.,1．(1)弄清命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题否定的前提．(2)全(特)称命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别，全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词(存在量词改为全称量词)，并把结论否定．2．要判断“綈p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断p的真假，因为p与綈p的真假相反．(2013·汕头质检)已知命题p：∃n∈N，2n＞1000，则綈p为()A．∀n∈N，2n≤1000B．∀n∈N，2n＞1000C．∃n∈N，2n≤1000D．∃n∈N，2n＜1000【解析】把存在量词“∃”改为全称量词“∀”，并把结果“2n＞1000”否定成“2n≤1000”．【答案】A根据命题的真假求参数的取值范围(2013·东莞模拟)已知命题P：函数y＝loga(1－2x)在定义域上单调递增；命题Q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对任意实数x恒成立，若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．【思路点拨】先求P∨Q是假命题时a的取值范围，再根据补集思想求P∨Q是真命题时a的取值范围．【尝试解答】当命题P为真时，0＜a＜1，从而命题P为假时，a≤0或a≥1，若命题Q为真，当a－2＝0，即a＝2时，－4＜0符合题意．当a≠2时，有a－2＜0，Δ＝4（a－2）2＋16（a－2）＜0，∴－2＜a＜2.故命题Q为真时，－2＜a≤2；Q为假时a≤－2或a＞2.若P∨Q为假命题，则命题P、Q同时为假命题．即a≤0或a≥1，a≤－2或a＞2，∴a≤－2或a＞2，∴P∨Q为真命题时－2＜a≤2.,1．若直接由P∨Q为真命题求a的取值范围，需分P真Q假、P假Q真、P真Q真三种情况，而利用补集的思想可化复杂为简单．2．已知命题的真假求参数的取值范围时，应首先求出当命题p、q为真命题时所含参数的取值范围；然后确定出命题p、q的真假性，并根据p、q的真假求出参数的取值范围．(2013·徐州模拟)已知a＞0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递减，q：设函数y＝2x－2a，（x≥2a），2a，（x＜2a），函数y＞1恒成立，若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．【解】若p是真命题，则0＜a＜1，若q是真命题，则ymin＝2a＞1，即a＞12.又∵p∨q为真，p∧q为假，∴p与q一真一假．若p真q假，则0＜a≤12；若p假q真，则a≥1.故a的取值范围为0＜a≤12或a≥1.一个关系逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．两类否定含有一个量词的命题的否定(1)全称命题的否定是存在性命题：全称命题p：∀x∈M，p(x)，綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．(2)存在性命题的否定是全称命题：存在性命题p：∃x0∈M，p(x0)，綈p：∀x∈M，綈p(x)．错误!(见学生用书第12页)从近两年高考试题看，命题的真假判断与含量词命题的否定是考查的重点，但从命题的趋势看，本节内容有淡化的意向．题型为选择题或填空题，属中低档题目．在对含有一个量词的命题进行否定时，常因理解不到位而致误．易错辨析之二特称命题的否定不当致误(2012·湖北高考)命题“∃x0∈∁RQ，x30∈Q”的否定是()A．∃x0∉∁RQ，x30∈QB．∃x0∈∁RQ，x30∉QC．∀x∉∁RQ，x3∈QD．∀x∈∁RQ，x3∉Q【错解】错解一“∃x0∈∁RQ”的否定为“∃x0∉∁RQ”，故原命题的否定为“∃x0∉∁RQ，x30∈Q，”故选A.错解二“x30∈Q”的否定为“x30∉Q”，故原命题的否定为∃x0∈∁RQ，x30∉Q，故选B.错解三“∃x0∈∁RQ”的否定为“∀x∉∁RQ”，故原命题的否定为“∀x∉∁RQ，x3∈Q”，选C.错因分析：(1)错解一否定了条件，没有否定量词．(2)错解二没有否定量词．(3)错解三否定了条件，没有否定结论．防范措施：(1)弄清楚是全称命题还是特称命题，尤其是省略了量词的命题．(2)全(特)称命题的否定应从两个方面着手：一是量词变化，“∀”与“∃”互换；二是否定命题的结论，但不能否定条件．【正解】特称命题的否定是全称命题．“∃”的否定是“∀”，x3∈Q的否定是x3∉Q.命题“∃x0∈∁RQ，x30∈Q”的否定是“∀x∈∁RQ，x3∉Q”．【答案】D1．(2012·辽宁高考)已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是()A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)0D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2