第一部分___专题五___第3讲____直线与圆锥曲线的位置关系及轨迹问题(理)___专题训练经典化

第一部分专题五第3讲直线与圆锥曲线的位置关系及轨迹问题(理)(限时60分钟，满分100分)一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分)1．已知双曲线kx2－y2＝1的一条渐近线与直线l：2x＋y＋1＝0垂直，则此双曲线的离心率是()A.52B.32C．43D.5解析：由题知，双曲线的渐近线方程为kx2－y2＝0，即y＝±kx.由题知直线l的斜率为－2，则可知k＝14，代入双曲线方程kx2－y2＝1，得x24－y2＝1，于是，a2＝4，b2＝1，从而c＝a2＋b2＝5，所以e＝52.答案：A2．抛物线y2＝8x的焦点到双曲线x212－y24＝1的渐近线的距离为()A．1B.3C.33D.36解析：由题意可知，抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，双曲线x212－y24＝1的渐近线为y＝±33x，所以焦点到双曲线的渐近线的距离为|2×±3|3＋9＝1.答案：A3．(2010·厦门模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线为l1、l2，过右焦点且垂直于x轴的直线与l1、l2所围成的三角形面积为()A.2a3＋2b3aB.2a2b＋2b3aC.a3＋b3aD.a2b＋b3a解析：由题意可知，过右焦点且垂直于x轴的直线与两渐近线的交点坐标分别为(c，bca)、(c，－bca)，所以三条直线围成的三角形面积为S＝12·c·2bca＝bc2a＝a2b＋b3a.答案：D4．(2010·新课标全国卷)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为()A.x23－y26＝1B.x24－y25＝1C.x26－y23＝1D.x25－y24＝1解析：设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有：x21a2－y21b2＝1x22a2－y22b2＝1，两式作差得：y1－y2x1－x2＝b2x1＋x2a2y1＋y1＝－12b2－15a2＝4b25a2，又AB的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是x24－y25＝1.答案：B5．(2010·福州模拟)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()A．5B．8C.17－1D.5＋2解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P到抛物线的准线距离为d，根据抛物线的定义有d＝|PF|，∴|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝17－1.答案：C6．(2010·福建质检)已知椭圆x24＋y2b2＝1(0＜b＜2)与y轴交于A、B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为()A．1B．2C．4D．8解析：不妨设点F的坐标为(4－b2，0)，而|AB|＝2b，∴S△ABF＝12×2b×4－b2＝b4－b2＝b24－b2≤b2＋4－b22＝2(当且仅当b2＝4－b2，即b2＝2时取等号)．故△ABF面积的最大值为2.答案：B二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分)7．已知过点P(－3,0)的直线l与双曲线x216－y29＝1交于A、B两点，设直线l的斜率为k1(k1≠0)，弦AB的中点为M，OM的斜率为k2(O为坐标原点)，则k1·k2＝________.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点M的坐标是(x1＋x22，y1＋y22)，直线AB的斜率k1＝y2－y1x2－x1，直线OM的斜率k2＝y1＋y2x1＋x2，故k1·k2＝y22－y21x22－x21，又双曲线的方程为y2＝916(x2－16)，故y22－y21＝916(x22－x21)，故k1·k2＝916.答案：9168．(2010·全国卷Ⅱ)已知抛物线C：y2＝2px(p0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若AM＝MB，则p＝________.解析：由题知准线l为x＝－p2(p0)，过M(1,0)且斜率为3的直线为y＝3(x－1)，则A(－p2，3(－p2－1))，设B(x0，y0)，由AM＝MB知M为AB的中点，又M(1，0)，所以－p2＋x0＝23－p2－1＋y0＝0即x0＝2＋p2y0＝3p2＋1，代入y2＝2px(p0)得，3(p2＋1)2＝2p(2＋p2)，整理得，p2＋4p－12＝0，解得p＝2或p＝－6(舍去)．答案：29．已知双曲线x2－y23＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则1PA·2PF的最小值为________．解析：由题可知A1(－1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x≥1)，则1PA＝(－1－x，－y)，2PF＝(2－x，－y)，1PA·2PF＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5，∵x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝18，∴当x＝1时，1PA·2PF取最小值－2.答案：－2三、解答题(本大题共3个小题，共46分)10．(本小题满分15分)(2010·辽宁六校联考)已知中心在原点，焦点在x轴上，离心率为255的椭圆的一个顶点是抛物线y＝14x2的焦点，过椭圆右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴于点M，且MA＝λ1AF，MB＝λ2BF.(1)求椭圆的方程；(2)证明：λ1＋λ2为定值．解：(1)由题易知b＝1，e＝1－ba2＝255，解得a2＝5，故椭圆的方程为x25＋y2＝1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，由F(2,0)，MA＝λ1AF，得x1＝2λ11＋λ1y1＝y01＋λ1.由MB＝λ2BF，得x2＝2λ21＋λ2y2＝y01＋λ2.又A、B在椭圆上，将其分别代入椭圆方程整理知，λ1，λ2是方程λ2＋10λ＋5－5y20＝0的两根，所以λ1＋λ2＝－10为定值．11．(本小题满分15分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝22，原点到过点A(0，－b)和B(a,0)的直线的距离为63.(1)求椭圆C的方程；(2)已知定点M(2,0)，若过点M的直线l(斜率不等于零)与椭圆C交于不同的两点E、F(E在M与F之间)，记λ＝S△OMES△OMF，求λ的取值范围．解：(1)由题知直线AB的方程为xa＋y－b＝1，即bx－ay－ab＝0.依题意，得ca＝22c2＝a2－b2aba2＋b2＝63，解得a＝2，b＝1，∴椭圆C的方程为x22＋y2＝1.(2)由题意知直线l的斜率存在且不为零，故可设l的方程为y＝k(x－2)，将l的方程代入椭圆方程x22＋y2＝1，整理得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－2＝0.由Δ＞0，得(－8k2)2－4(2k2＋1)(8k2－2)＞0，即2k2－1＜0，∴0＜k2＜12.设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则x1＞x2，且x1＋x2＝8k22k2＋1x1x2＝8k2－22k2＋1，(*)由λ＝S△OMES△OMF，得λ＝|ME||MF|，由此可得ME＝λMF，则λ＝x1－2x2－2，且0＜λ＜1.由(*)知，(x1－2)＋(x2－2)＝－42k2＋1，(x1－2)·(x2－2)＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＝22k2＋1，∴λ1＋λ2＝x1－2x2－2x1＋x2－42＝2k2＋18，即k2＝4λ1＋λ2－12，∵0＜k2＜12，∴0＜4λ1＋λ2－12＜12，又∵0＜λ＜1，解得3－22＜λ＜1.即λ的取值范围是(3－22，1)．12．(本小题满分16分)(2010·广东惠州)已知点P是⊙O：x2＋y2＝9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足DQ＝23DP.(1)求动点Q的轨迹方程；(2)若点G(1,1)，则在动点Q的轨迹上是否存在不重合的两点M、N，使OG＝12(OM＋ON)(O是坐标原点)．若存在，求出直线MN的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设P(x0，y0)，Q(x，y)，依题意，则点D的坐标为(x0,0)，∴DQ＝(x－x0，y)，DP＝(0，y0)．又DQ＝23DP，∴x－x0＝0y＝23y0，即x0＝xy0＝32y.∵点P在⊙O上，∴x20＋y20＝9，∴x29＋y24＝1，∴点Q的轨迹方程为x29＋y24＝1.(2)假设x29＋y24＝1上存在不重合的两点M(x1，y1)，N(x2，y2)使OG＝12(OM＋ON)，则G(1,1)是线段MN的中点，有x1＋x22＝1y1＋y22＝1，即x1＋x2＝2y1＋y2＝2.又M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆x29＋y24＝1上，∴x219＋y214＝1①x229＋y224＝1②，①－②，得x1－x2x1＋x29＋y1－y2y1＋y24＝0，∴kMN＝y1－y2x1－x2＝－49，∴直线MN的方程为4x＋9y－13＝0，∴椭圆上存在不重合的两点M、N，使OG＝12(OM＋ON)，此时直线MN的方程为4x＋9y－13＝0.1．若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数为()A．至多一个B．2C．1D．0解析：由直线和圆没有交点可得：4m2＋n2＞2，整理得m2＋n2＜4，故点P(m，n)必在椭圆内，故过该点的直线与椭圆必有两个公共点．答案：B2．从抛物线y2＝8x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△PFM的面积为()A．56B．65C．102D．52解析：抛物线的焦点F(2,0)，准线方程为x＝－2.设P(m，n)，则|PM|＝m＋2＝5，解得m＝3.代入抛物线方程得n2＝24，故|n|＝26，则S△PFM＝12|PM|·|n|＝12×5×26＝56.答案：A3．已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若|PF1|2|PF2|的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1,2]C．(1，3]D．(1,3]解析：依题意知|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|2|PF2|＝4a2＋|PF2|2＋4a|PF2||PF2|＝4a＋4a2|PF2|＋|PF2|≥8a，当且仅当4a2|PF2|＝|PF2|时等号成立．此时|PF2|＝2a，|PF1|＝4a，因为|PF1|＋|PF2|≥2c，所以6a≥2c，即1＜e≤3.答案：D4．(2010·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点K(－1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.(1)证明：点F在直线BD上；(2)设FA·FB＝89，求△BDK的内切圆M的方程．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，－y1)，l的方程为x＝my－1(m≠0)．(1)证明：将x＝my－1代入y2＝4x并整理得y2－4my＋4＝0，从而y1＋y2＝4m，y1y2＝4.①直线BD的方程为y－y2＝y2＋y1x2－x1·(x－x2)，即y－y2＝4y2－y1·(x－y224)．令y＝0，得x＝y1y24＝1.所以点F(1,0)在直线BD上．(2)由①知，x1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝4m2－2，x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝1.因为FA＝(x1－1，y1)，FB＝(x2－1，y2)，FA·FB＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝8－4m2，故8－4m2＝89，解得m＝±43.所以l的方程为3x＋4y＋3＝0或3x－4y＋3＝0.又由①知y2－y1＝±